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对数对数函数
2.3.1 对数
(1)
教学目标:
1.理解对数的概念;
2.能够进行对数式与指数式的互化;
3.会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值
教学重点:
对数的概念,对数式指数式的相互转化,并求一些特殊的对数式的值;
教学难点:
对数概念的引入与理解.
教学过程:
一、情境创设
假设2005年我国的国民生产总值为a亿元,如每年平均增长8%,那么经过多少年,国民生产总值是2005年的2倍?
根据题目列出方程:
______________________.
提问:
此方程的特征是什么?
已知底数和幂,求指数!
情境问题:
已知底数和指数求幂,通常用乘方运算;而已知指数和幂,则通常用开方运算或分数指数幂运算,已知底数和幂,如何求指数呢?
二、数学建构
1.对数的定义.
一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN,即b=logaN.
其中,a叫作对数的底数,N叫做对数的真数.
2.对数的性质:
(1)真数N>0,零和负数没有对数;
(2)loga1=0(a>0,a≠1);
(3)logaa=1(a>0,a≠1);
(4)a
=N(a>0,a≠1).
3.两个重要对数:
(1)常用对数(commonlogarithm):
以10为底的对数lgN.
(2)自然对数(naturallogarithm):
以无理数
为底的对数lnN.
三、数学应用
例1 将下列指数式改写成对数式.
(1)24=16;
(2)
;(3)
;(4)
.
例2 求下列各式的值.
(1)log264;
(2)log832.
基础练习:
log10100=log255=;log2
=;log
4=;
log33=logaa=;log31=;loga1=.
例3 将下列对数式改写成指数式
(1)log5125=3;
(2)log
3=-2;(3)lga=-1.699.
例4已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.
练习:
1.
(1)lg(lg10)=;
(2)lg(lne)=;
(3)log6[log4(log381)]=;(4)log3
=1,则x=________.
2.把logx
=z改写成指数式是.
3.求2
的值.
4.设
,则满足
的x值为_______.
5.设x=log23,求
.
四、小结
1.对数的定义:
b=logaNab=N.
2.对数的运算:
用指数运算进行对数运算.
3.对数恒等式.
4.对数的意义:
对数表示一种运算,也表示一种结果.
五、作业
课本P79习题1,2.
2.3.1 对数
(2)
教学目标:
1.理解并掌握对数性质及运算法则,能初步运用对数的性质和运算法则解题;
2.通过法则的探究与推导,培养学生从特殊到一般的概括思想,渗透化归思想及逻辑思维能力;
3.通过法则探究,激发学生学习的积极性.培养大胆探索,实事求是的科学精神.
教学重点:
对数的运算法则及推导与应用;
教学难点:
对数的运算法则及推导.
教学过程:
一、情境创设
1.复习对数的定义.
2.情境问题
(1)已知loga2=m,loga3=n,求am+n的值.
(2)设logaM=m,logaN=n,能否用m,n表示loga(M·N)呢?
二、数学建构
1.对数的运算性质.
(1)loga(M·N)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);
(2)loga
=logaM-logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);
(3)logaMn=nlogaM(a>0,a≠1,M>0,nR).
2.对数运算性质的推导与证明
由于am·an=am+n,设M=am,N=an,于是MN=am+n.
由对数的定义得到logaM=m,logaN=n,loga(M·N)=m+n.所以有
loga(M·N)=logaM+logaN.
仿照上述过程,同样地由am÷an=am-n和(am)n=amn分别得出对数运算的其
他性质.
三、数学应用
例1 求值.
(1)log5125;
(2)log2(23·45);
(3)(lg5)2+2lg5·lg2+(lg2)2;(4)
.
例2 已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,求下列各式的值(结果保留4位小数):
(1)lg12;
(2)
;(3)
.
例3 设lga+lgb=2lg(a-2b),求log4
的值.
例4 求方程lg(4x+2)=lg2x+lg3的解.
练习:
1.下列命题:
(1)lg2·lg3=lg5;
(2)lg23=lg9;(3)若loga(M+N)=b,则M+N=ab;(4)若log2M+log3N=log2N+log3M,则M=N.其中真命题有
(请写出所有真命题的序号).
2.已知lg2=a,lg3=b,试用含a,b的代数式表示下列各式:
(1)lg54;
(2)lg2.4;(3)g45.
3.化简:
(1)
;
(2)
;
(3)
.
4.若lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,求
的值.
四、小结
1.对数的运算性质;
2.对数运算性质的应用.
五、作业
课本P63习题3,5.
六、课后探究
化简:
(1)
;
(2)
.
2.3.1 对数(3)
教学目标:
1.进一步理解对数的运算性质,能推导出对数换底公式;
2.能初步利用对数运算求解一些常见问题的近似值;
3.通过换底公式的研究,培养学生大胆探索,实事求是的科学精神.
教学重点:
对数的换底公式及近似计算;
教学难点:
对数的换底公式的引入及推导.
教学过程:
一、情境创设
1.复习对数的定义与对数运算性质;
2.情境问题.
已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,如何求log23的近似值?
二、学生探究
log23与lg2、lg3之间的关系,并推广到logaN与logbN、logba的关系.
三、数学建构
1.对数的换底公式
logaN=
(a>0,a≠1,b>0,b≠1,N>0).
2.换底公式的推导
3.对数型问题的近似求值.
四、数学应用
例1 计算log89×log332的值.
练习:
若log34×log25×log5m=2,则m=.
例2 已知xa=yb=zc,且
.求证:
z=xy.
练习:
已知正实数a、b、c满足3a=4b=6c.
(1)求证:
;
(2)比较3a、4b、6c的大小.
例3 如图,2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元,如果我国的GDP年均增长7.8%左右,按照这个增长速度,在2000年的基础上,经过多少年后,我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标?
(lg2≈0.3010,lg1.078≈0.0326,结果保留整数).
例4 在本章第2.2.2节的开头问题中,已知测得出土的古莲子中
的残余量占原来的87.9%,试推算古莲子的生活年代(lg2≈0.3010,lg0.879≈-0.0560,结果保留整数).
练习:
课本78页练习1,2,3.
化简:
(1)
=;
(2)
=.
证明:
<1.
四、小结
1.对数的换底公式.
2.对数的运算性质在解决实际问题中的应用.
五、作业
课本P80习题6,7,8.
2.3.2 对数函数
(1)
教学目标:
1.掌握对数函数的概念,熟悉对数函数的图象和性质;
2.通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质;
3.培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力.
教学重点:
理解对数函数的定义,初步掌握对数函数的图象和性质.
教学难点:
底数a对图象的影响及对对数函数性质的作用.
教学过程:
一、问题情境
在细胞分裂问题中,细胞个数y是分裂次数x的指数函数y=2x.因此,知道x的值(输入值是分裂的次数),就能求出y的值(输出值是细胞个数).
反之,知道了细胞个数y,如何确定分裂次数x?
x=log2y.
在这里,x与y之间是否存在函数的关系呢?
同样地,前面提到的放射性物质,经过的时间x(年)与物质的剩余量y的关系为y=0.84x.反之,写成对数式为x=log0.84y.
二、学生活动
1.回顾指数与对数的关系;引出对数函数的定义,给出对数函数的定义域
2.通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质.
3.类比指数函数的定义、图象、性质得到对数函数的定义、图象、性质.
三、建构数学
1.对数函数的定义:
一般地,当a>0且a≠1时,函数y=logax叫做对数函数,自变量是x;函数的定义域是(0,+∞).
值域:
R.
2.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像特征和性质.
a
a>1
0<a<1
图像
定义域
值域
性
质
(1)恒过定点:
(2)当x>1时,
当0<x<1时,
当x>1时,
当0<x<1时,
(3)在上是函数
在上是函数
3.对数函数y=logax(a>0且a≠1)与指数函数y=ax(a>0且a≠1)的关系——互为反函数.
四、数学运用
1.例题.
例1 求下列函数的定义域:
(1)
;
(2)
;
变式:
求函数
的定义域.
例2 比较大小:
(1)
;
(2)
;(3)
.
2.练习:
课本P851,2,3,4.
五、要点归纳与方法小结
(1)对数函数的概念、图象和性质;
(2)求定义域;
(3)利用单调性比较大小.
六、作业
课本P80习题2,3,4.
2.3.2 对数函数
(2)
教学目标:
1.掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.
2.运用对数函数的图形和性质.
3.培养学生数形结合的思想,以及分析推理的能力.
教学重点:
对数函数性质的应用.
教学难点:
对数函数图象的变换.
教学过程:
一、问题情境
1.复习对数函数的定义及性质.
2.问题:
如何解决与对数函数的定义、图象和性质有关的问题?
二、学生活动
1.画出
、
等函数的图象,并与对数函数
的图象进行对比,总结出图像变换的一般规律.
2.探求函数图象对称变换的规律.
三、建构数学
1.函数
(
)的图象是由函数
的图象
得到;
2.函数
的图象与函数
的图象关系是;
3.函数
的图象与函数
的图象关系是.
四、数学运用
例1 如图所示曲线是对数函数y=logax的图像,
已知a值取0.2,0.5,1.5,e,则相应于C1,C2,
C3,C4的a的值依次为.
例2 分别作出下列函数的图象,并与函数y=log3x的图像进行比较,找出它们之间的关系
(1)y=log3(x-2);
(2)y=log3(x+2);
(3)y=log3x-2;(4)y=log3x+2.
练习:
1.将函数y=logax的图像沿x轴向右平移2个单位,再向下平移1个单位,所得到函数图像的解析式为.
2.对任意的实数a(a>0,a≠1),函数y=loga(x-1)+2的图像所过的定点坐标为.
3.由函数y=log3(x+2),y=log3x的图象与直线y=-1,y=1所围成的封闭图形的面积是.
例3 分别作出下列函数的图象,并与函数y=log2x的图像进行比较,找出它们之间的关系
(1)y=log2|x|;
(2)y=|log2x|;
(3)y=log2(-x);(4)y=-log2x.
练习 结合函数y=log2|x|的图象,完成下列各题:
(1)函数y=log2|x|的奇偶性为;
(2)函数y=log2|x|的单调增区间为,减区间为.
(3)函数y=log2(x-2)2的单调增区间为,减区间为.
(4)函数y=|log2x-1|的单调增区间为,减区间为.
五、要点归纳与方法小结
(1)函数图象的变换(平移变换和对称变换)的规律;
(2)能画出较复杂函数的图象,根据图象研究函数的性质(数形结合).
六、作业
1.课本P876,8,9.
2.课后探究:
试说出函数y=log2
的图象与函数y=log2x图象的关系.
.2.3.2 对数函数(3)
教学目标:
1.进一步理解对数函数的性质,能运用对数函数的相关性质解决对数型函数的常见问题.
2.培养学生数形结合的思想,以及分析推理的能力.
教学重点:
对数函数性质的应用.
教学难点:
对数函数的性质向对数型函数的演变延伸.
教学过程:
一、问题情境
1.复习对数函数的性质.
2.回答下列问题.
(1)函数y=log2x的值域是;
(2)函数y=log2x(x≥1)的值域是;
(3)函数y=log2x(0<x<1)的值域是.
3.情境问题.
函数y=log2(x2+2x+2)的定义域和值域分别如何求呢?
二、学生活动
探究完成情境问题.
三、数学运用
例1 求函数y=log2(x2+2x+2)的定义域和值域.
练习:
(1)已知函数y=log2x的值域是[-2,3],则x的范围是________________.
(2)函数
,x(0,8]的值域是.
(3)函数y=log
(x2-6x+17)的值域.
(4)函数
的值域是_______________.
例2 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=lg
(2)f(x)=ln(
-x)
例3 已知loga0.75>1,试求实数a取值范围.
例4 已知函数y=loga(1-ax)(a>0,a≠1).
(1)求函数的定义域与值域;
(2)求函数的单调区间.
练习:
1.下列函数
(1)y=x-1;
(2)y=log2(x-1);(3)y=
;(4)y=lnx,其中值域为R的有(请写出所有正确结论的序号).
2.函数y=lg(
-1)的图象关于对称.
3.已知函数
(a>0,a≠1)的图象关于原点对称,那么实数m=.
4.求函数
,其中x
[
,9]的值域.
五、要点归纳与方法小结
(1)借助于对数函数的性质研究对数型函数的定义域与值域;
(2)换元法;
(3)能画出较复杂函数的图象,根据图象研究函数的性质(数形结合).
六、作业
课本P70~71-4,5,10,11.
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