中考最值问题大全.docx
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中考最值问题大全
AP+BP=PE+BP,然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”,再利用“垂线段最短”转
中考最值问题解题策略
垂线段最短在最值问题中的应用
模型一点到直线的所有线段中,垂线段最短
点P在直线I夕卜,过点P作I的垂线PH,垂足为H,则点P到直线I的最短距离为线段PH的长,即垂线段最短”.
1、如图,。
O的半径为5,弦AB=6,M是AB上任意一点,则线段OM的取值围是
2、如图,在锐角厶ABC中,BC=4,/ABC=45°BD平分/ABC,AM、N分别是BD、BC上的动点,贝UCM+MN的最小值是
3、如图,在RtAAOB中,0A=0B=3,2,OO的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作OO的一条切线PQ(点Q为切点),则线段PQ的最小值为
模型二“胡不归”问题
基本模型:
两定一动,动点在定直线上
问题:
点A为直线I上一定点,点B为直线外一定点,P为直线I上一动点,要使最小.
J2
解决:
过点A作/NAP=45°过点P作PE丄AN,在直角三角形中将12AP转化为pE,使
得丄
2
化为求BF的长度.
此类题的解题步骤:
第一步:
以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角,使其正弦值等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角);
第二步:
过动点作第一步中角的边的垂线,构造直角三角形;第三步:
根据两点之间线段最短,将“折”变“直”,再利用
“垂线段最短”找到最小值的位置.
4.如图,菱形ABCD中,/ABC=60°边长为3,P是对角线
1
BD上的一个动点,贝U-BP+PC的最小值是(
2
A.3B.空C.3D.33
22
5.如图,在△ACE中,CA=CE,ZCAE=30°OO经过点C,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点(不含端
1
点),连接0D,当-CD+OD的最小值为6时,求OO的直径AB
2
的长.
2
&如图6—2-4,二次函数y=ax+2ax+4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,tan/CBO
=2.⑴此二次函数的解析式为:
;
⑵动直线I从与直线AC重合的位置出发,绕点A顺时针方向旋转,到与直线AB重合
时终止运动,直线
l与线段BC交于点D,P是线段AD的中点.
7•如图6-2-5,等边△ABC的边长为3,N为AC的三等分点,三角形边上的动点M从点
A出发,沿AfBfC的方向运动,到达点C时停止.设点M运动的路程为x,与x的函数图象大致是()
对称性质在最值问题中的应用
模型一两点一线
类型1异侧和最小值问题
问题:
两定点A、B位于直线I异侧,在直线I上找一点P,使PA+PB值最小.
问题解决:
」连扌妾4血更
直线/于点P
I
结论:
根据两点之间线段最短,PA+PB的最小值即为线段AB长.
类型2同侧和最小值问题
问题:
两定点A、B位于直线I同侧,在直线I上找一点P,使得PA+PB值最小.问题解决:
作点〃关于/的对称点肥连接個与/更于点『
PA+PB最小值为AB'.
在直线I上找一点P,使得|PA—PB|的值最小.
结论:
将两定点同侧转化为异侧问题,
类型3同侧差最小值问题
问题:
两定点A、B位于直线I同侧,问题解决:
百
«
连接d从作/W的中垂线与克
.线?
交于点
A/
*
[~*
灯1
结论:
根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,当PA=PB时,|PA—PB|=0.
类型4同侧差最大值问题
问题:
两定点A、B位于直线I同侧,在直线I上找一点P,使得|PA—PB|的值最大.问题解决:
i1连接才/?
并延长,Jb
丄与直线/交于点P
结论:
根据三角形任意两边之差小于第三边,|PA—PB|QB,则|PA—PB|的最大值为线段AB的长.
类型5异侧差最大值问题
问题:
两定点A、B位于直线I异侧,在直线I上找一点P,使得|PA—PB|的值最大.问题解决:
作点B关于克线f的对称点/T•连j
接并延长,与V*、屮
.宜线2交于点尸.
11
lir
结论:
将异侧点转化为同侧,同类型4,|PA—PB|的最大值为AB'.
1•如图,正方形ABCD的边长为8,点M在边DC上,且DM=2,点
是对角线AC上一动点,则线段DN+MN的最小值为
2•如图,点C的坐标为(3,丫),当厶ABC的周长最小时,
则y的值为3•如图,已知△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,/BCD=15°
P为射线CD上的动点,贝U|PA—PB|的最大值为-
DC
P
E
AB
图6-1-1③
4、如图6-1—1④,已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是BC、CD的
中点,P是对角线BD上一点,贝UPM+PN的最小值=.
5、如图6—1—1⑤,在RtAABC中,/C=90°/B=60°点D是BC边上的点,CD=V3,
将厶ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则厶PEB的周长的最小值是.
6.
(1)如图6—1—2①,在等边厶ABC中,AB=6,点E是AB的中点,AD是高,在AD上
C在OO上,OA丄OB,ZAOC=60°,
找一点P,使PB+PE的值最小,最小值为
(2)如图6—1—2②O的半径为2,点A、B、
(3)
P是OB上一动点,贝UPA+PC的最小值是
(4)如图6—1—2③,点D、E分别是△ABC的AC、AB边的中点,BC=6,BC边上的高为4,P在BC边上,则△PDE周长的最小值为.
7.
(1)如图6—1—3①,Rt^OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,、3),点C的坐标为(1,0),点P为斜边OB上的一动点,贝UPA+PC的最小值为:
(2)如图6—1—3②,菱形ABCD中AB=2,ZA=120°,点P,Q,K分别为线段BC,
CD,BD上的任意一点,贝UPK+QK的最小值为.
(3)如图6-1—3③,锐角△ABC中,AB=4迈,/BAO45°AD平分/BAC
M、N分别是AD和AB上的动点,贝UBM+MN的最小值是
8.
(1)如图6—1—4①,/AOB=45°,P是/AOB一点,P0=10,Q、R分别是0A、OB
上的动点,则△PQR周长的最小值是:
(2)如图6—1—4②,点A(a,1)、B(—1,b)都在双曲线y=.?
(x<0)上,点P、Qx
分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ在直线的解析式是().
9.如图6-1—5已知,直线a//b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点
别交于点A,B,D为AB的中点,C、A关于原点对称.P为OB
上一动点,请直接写出丨PC—PD丨的围:
•
14.如图6—1—16,抛物线y=ax2+bx—4a经过A(—1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.⑴抛物线及对称轴分别为;
⑵点D所在抛物线的对称轴上,求丨DB—DC丨的最大值.
模型二一点两线
类型1一定点与两条直线上两动点问题
问题:
点P在/AOB的部,在0B上找一点D,在0A上找一点C,使得△PCD周长最小.
问题解决:
分别作点尸关于0H转对称点严,连接厂严交于o\.on于点aD
结论:
要使△PCD周长最小,即PC+PD+CD值最小,根据两点之间线段最短,将三条线段转化到同一直线上即可,则△PCD周长最小为线段的长.
类型2两定点与两条直线上两动点问题
问题:
点P、Q在/AOB的部,在0B上找点D,在OA上找点C,使得四边形PQDC周长最小.
问题解决:
图6-1-7②图6-1-7③图6-1-7④
(2)6—1—7②,底面半径为3cm的圆锥的主视图是个正三角形,C是母线0B的中点,则从圆锥表面从A到C的最短距离等于cm.
(3)6—1—7③,圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,爬行
的最短路程(n取3)是()cm.
A.20B.10C.14D.无法确定
(4)如图6—1—7④,ABCDEFGH是个无上底长方体容器,M在容器侧,位于侧棱BF
上,已知AB=5,BF=9,FM=3,则从外部的点A到部的点M的最短距离等于.
2•如图6—1—8,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A和B是这个台阶两相对的端点,A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物,则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm?
模块五折叠最值
【规律】折叠背景下的最值问题,考查的是动手操作能力、合
B'
情推理能力•方法是:
(1)在折叠中感受大小变化规律,
(2)通过特殊位置求最值.
1、如图6—1—9,折叠矩形纸片ABCD,使B点落在AD上一点E处,折痕的两端点M、N分别在AB、BC上(含端点),且AB=6,BC=10,设AE=x,则x的取值围是
不合题意图6向下移动N得到满足条件的x最大
【规律】A、E重合时x最小为0,折痕的两端点在AB、CD上,到C时,得x的最小值,继续沿BC向B移动N,使M上移至A时,值;2•动手操作:
在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5,如图6—1—11,折叠纸片,使点A落在BC边上的A处,折痕为PQ,当点A在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A在BC边上可移动的最大距离为
模块六圆中最长弦是直径
解法归一:
求对角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它.
a*2+b2>2ab=2mn,
⑴若m>0,只有m=
⑵若n>0,只有n=
1、如图6—3—1,等腰直角厶ABC斜边长为4,D为是斜边AB的中点,直角/FDE分别交AC、BC于F、E,则线段EF的最小
22
⑶若X>0,只有X=时,8X+-y有最小值
X
2、如图6-4-1,AB为半圆0的直径,C为半圆上与点A、B不重合的任意一点,过点C作CD丄AB,垂足为D,AD=a,DB=b.请用本题图验证a+b>2・.ab并指出等号成立时的条件.
3、如图6-4-2,已知A(-3,0),B(0,-4),P为双曲
12
线y=(x>0)上任意一点,过点P作PC丄x轴于点C,PD丄x
y轴于点D,求四边形ABCD的面积的最小值,并说明此时四
边形ABCD的形状.
4、公式:
对于任意正数a、b,总有a+b>2ab,并且只有当a=b时,等号成立.
直接应用或变形应用
1
⑴已经y1=x(x>0),y2=—(x>0),贝U当x=时,y1+y取得最小值
x
a
⑵已知函数y=x+-(a>0,x>0),当x=时,该函数有最小值•
x
⑶已知函数y1=x+1与函数y2=(x+1)2+4,当x>-1时,求上的最小值,并指出相应的
%
x的值.
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:
一是固定费用,共360元;二是燃油费费,每千米为1.6元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设汽车一次运输的路程为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?
最低是多少元?
模块八
二次函数最值
22
解法归一:
“二次整数ax+bx+c最值”完全可以借助二次函数y=ax+bx+c最值解决,
解决方案有三:
一用配方法,二用顶点公式,三图象法.(注:
a,b,c为常数,且a^0)
1、⑴x2—2x+6的最小值是;
⑵二次函数y=-x2+6x的最大值是2、如图6-6-1,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是
图6-6-1
BC上任意一点(P不与B、C重合),过点P作APIPE交CD于点E•设BP为x,CE为y,当x取何值时,y的值最大?
最大值是多少?
3、如图6-6-2,已知抛物线y=ax2+bx+4经过点B(1,0),C(5,0),交纵轴于点A,对称轴I与x轴相交于点M.
⑴请直接写出抛物线的解析式,对称轴及点A的坐标;
⑵在此抛物线的对称轴上是否存在一点卩,使厶PAB的周长最
小?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使厶NAC的面积最大?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
4、如图6-6-3,把一边长为4的正方形ABCD折叠,使B点落在AD上的E处,折痕为MN,设AE=x,问x为何值时,折起的四边形MNFE面积最小,并求出这个最小面积的值.
模块九几何探究最值类[8]
1、请阅读下列材料:
问题:
如图6-7—1①,圆柱的高AB和它的底面半径均为5dm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.
小明设计了两条路线:
路线1:
走圆柱表面最短路线(即图6—7—1②侧面展开图中的线段AC).
路线2:
走圆柱高线与度面直径(即图6—7—1①中的AB+BC的长)
计算,d2=km(用含a的式子表示).
探索归纳:
(1)①当a=4时,比较大小:
did2(填>”或域;
②当a=6时比较大小:
did2(填>”或“二”<或;
(2)请你就a(当a>1时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案二?
(1)请计算图6—7—4②中裁剪的角度/BAD;
(2)计算按图6-7-4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度
值是2•如图6—3—2,AB是。
O的一条弦,点C是。
O上一动点,
/ACB=30。
,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与。
O交点
G、H两点,若。
O的半径为6,则GE+FH的最大值为:
模块七、求两正数和的最小值[9]解法:
①由(a—b)2>0得a2+b2>2ab,当且仅当a=b时成立;
22
②对任意正数m,n可设m=a、n=b(a、b为正数),则有m+n=即m+n>2mn,当且仅当m=n时等号成立.
这是高中两个最重要的不等式•求两个正数和的最小值时就用它,并且只有这两个正数相等时和才取最小值.
1、阅读理解:
对任意实数a,b,
a—ib)2>0,二a—2ab+b>0,二a+b>2ab,只有当a=b时,等号成立.根据上述容,回答下列问题:
1
卫寸m+—有最小值
—m
2
时n+—有最小值_
n
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