一次函数一元一次不等式与一次函数的关系.docx

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一次函数一元一次不等式与一次函数的关系

一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系

一次函数、一元一次不等式与一次函数的关系

基础知识回顾

一、正比例函数

1、正比例函数及性质

定义：

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：

正比例函数一般形式：

y=kx

k≠0

x的指数为1

例题1.下列说法中不成立的是（）

A．在y=3x-1中y+1与x成正比例；B．在y=-

中y与x成正比例

C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例；D．在y=x+3中y与x成正比例

思考1：

如何判断两个量是不是成正比例？

练习：

已知y-5与3x-4成正比例，且当x=1时，y=2，求当y=11时，x的值.

知识点：

（1）解析式：

y=kx（k是常数，k≠0）必过点：

（0，0）、（1，k）

例题2：

当a=________时，函数y=（a－3）x＋a2－9是正比例函数.

思考2：

给出一个解析式是正比例函数，应当列出哪几个式子？

（2）走向：

k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

（3）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

例题3.已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系是（）

A．y1>y2B．y1

练习：

已知正比例函数y=（2m-1）x的图象上两点A（x1,y1）、B（x2,y2），当x1y2,那么m的取值范围是（）

A.m<

B.m>

C.m<2D.m>0

思考3：

表示正比例函数增减性的数学表述语言有哪些？

？

（4）倾斜度：

|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

思考4：

这句话有什么作用？

？

例题4.已知y-5与3x-4成正比例，且当x=1时，y=2，求当y=11时，x的值.

例题5.已知正比例函数

的图象上有一点P（x，y）和一点A（6，0），O为坐标原点，且△PAO的面积等于12，你能求出P点坐标吗？

思考5：

如何解答一次函数与面积的结合问题？

二、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：

一次函数一般形式y=kx+b

k≠0

x指数为1

b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

一次函数y=kx＋b的图象的画法——两点法：

根据几何知识：

经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：

是先选取它与两坐标轴的交点：

（0，b），

.即横坐标或纵坐标为0的点.

（1）解析式：

y=kx+b（k、b是常数，k

0），必过点：

（0，b）和（-

，0）

例题6：

已知函数y＝2x-1与y＝3x+2的图象交于点P，则点P在（）

A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限

练习：

已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点,则

的值是（）

A.4B.-2C.

D.-

思考6：

碰到与坐标轴的交点问题，马上想到什么？

求函数解析式的例题

一、定义法

1、已知函数

是一次函数，求其解析式。

2、已知函数y=

当m取什么值时，y是x的一次函数？

当m取什么值是，y是x的正比例函数。

思考：

解答此类问题需要注意的问题是什么？

二、待定系数法

3、已知一次函数y=kx-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

4、已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

思考：

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

二、数形结合法

5、已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

思考：

已知图象求解析式的方法是什么？

三、与面积问题结合

6.已知四条直线y＝kx-3，y＝-1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，则k的值为（）

A．1或－2　　　B．2或－1　　　C．3　　　D．4

总结：

要注意数形结合！

！

！

练习1：

直线y＝3x＋b与坐标轴围成的三角形面积为6，求与y轴的交点坐标（）

A.（0，2）B.（0，－2）（0，2）C.（0，6）D.（0，6）、（0，－6）

思考：

与面积结合的题型，我们怎么去表示面积？

练习2：

在直角坐标系中，直线

与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式。

练习3：

已知直线y＝kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

四、平移问题

7、将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线__________;将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线___________

练习：

把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

思考：

直线平移规律是什么？

五、直线位置关系

思考：

直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：

（2）两直线相交：

（3）两直线重合：

8、若直线

平行于直线

，且过点（2，-1），则k=，b=

练习：

已知直线y=kx+b与直线y=－2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

（2）走向与增减性：

b>0

b<0

b=0

k>0

经过第一、二、三象限

经过第一、三、四象限

经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0

经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限

经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

例题7：

已知直线y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在坐标系内它的大致图象是（）

练习：

下图中表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m，n是常数，且mn

0）图像的是（）

思考7：

解答此类题目的思路与方法是什么？

例题8：

函数

中y随x的增大而减小，且图象交y轴于正半轴，则m的取值范围是

练习：

若m是整数，且一次函数

的图象不过第二象限，则m=。

（3）倾斜度：

|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

注：

作用与正比例函数相同

综合题——拓展提高：

如图，直线L:

与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0,4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；

（3）当t为何值时，△COM与△AOB全等，求此时M点坐标。

6、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：

当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

例题9：

已知一次函数

的图象如图所示，一元一次方程

的根是；方程

的根是

思考8：

解答此类问题的关键是找准什么？

7、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：

当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.（或者说：

不等式仅表示了一次函数图像上的一部分）

强化训练：

1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）

A．x>1B．x≥1C．x<1D．x≤1

2．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0的解集是（）

A．x>-2B．x≥-2C．x<-2D．x≤-2

思考：

有哪几种方法？

并比较哪种方法简单。

3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）

A．（0，1）B．（-1，0）C．（0，-1）D．（1，0）

思考：

该题与1、2题的区别是什么？

？

4.已知函数y=8x－11，要使y＞0，那么x应取（）

A.x＞

B.x＜

C.x＞0D.x＜0

综合以上4道题，思考：

解答此类问题关键是找准什么？

拓展延伸：

非坐标轴上的点，怎么办？

5.已知函数y=（2m－1）x的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（）

A.m＜

B.m＞

C.m＜2D.m＞0

思考：

该题考查的知识点是什么？

？

6.若一次函数y=（m－1）x－m+4的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是________.

思考：

该题需要注意的问题是什么？

7．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．

8．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2的解集是________．

思考：

有哪几种方法？

并比较简易程度。

9．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12的解集是________．

10．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x轴的交点是__________．

11．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是_________．

综合9-10题，思考：

不等式解集中的端点值其实就是什么？

12.如果一次函数y=kx+2，当x=5时，y=4，那么当x________时，y＜0.

思考：

有几种方法？

比较简易程度。