优秀课件垂径定理.ppt
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优秀课件垂径定理.ppt
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人教版九年级上册人教版九年级上册问题问题:
你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗?
它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离)为为7.2m7.2m,你能求出赵州桥主你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
桥拱的半径吗?
赵州桥主桥拱的半径是多少?
赵州桥主桥拱的半径是多少?
由此你能得到圆的什么特性?
由此你能得到圆的什么特性?
可以发现:
可以发现:
圆是轴对称图形。
任何圆是轴对称图形。
任何一条直径所在直线都是它的对称轴一条直径所在直线都是它的对称轴不借助任何工具,你能找到圆形不借助任何工具,你能找到圆形纸片的圆心吗纸片的圆心吗?
如图如图,AB,AB是是OO的一条弦的一条弦,直径直径CDAB,CDAB,垂足为垂足为E.E.你能发现图中有那些相等的线段你能发现图中有那些相等的线段和弧和弧?
为什么为什么?
OABCDE线段线段:
AE=BE:
AE=BE弧弧:
AC=BC,AD=BD:
AC=BC,AD=BD已知:
在已知:
在O中,中,CD是直径,是直径,AB是弦,是弦,CDAB,垂足为,垂足为E求证:
求证:
AEBE,ACBC,ADBD证明:
连结证明:
连结OA、OB,则,则OAOB垂直于弦垂直于弦AB的的直径直径CD所在的直线所在的直线既是等腰三角形既是等腰三角形OAB的的对称轴又对称轴又是是O的对称轴的对称轴当把圆沿着直径当把圆沿着直径CD折叠时,折叠时,CD两侧的两个半圆重合,两侧的两个半圆重合,A点和点和B点重合,点重合,AE和和BE重合,重合,AC、AD分别和分别和BC、BD重合重合AEBE,ACBC,ADBD叠叠合合法法DOABEC垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧CDABCDABCDCD是直径,是直径,AE=BE,AE=BE,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE老师提示老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化三种语言要相互转化,形成整体形成整体,才能运用自如才能运用自如.下列图形是否具备垂径定理的条件?
下列图形是否具备垂径定理的条件?
是是不是不是是是不是不是OEDCAB垂径定理的几个基本图形:
垂径定理的几个基本图形:
CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于EEAE=BEAC=BCAD=BD11、如图,、如图,ABAB是是OO的直径,的直径,CDCD为弦,为弦,CDABCDAB于于EE,则下列结论中,则下列结论中不成立不成立的是(的是()A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BCOABECD22、如图,、如图,OEABOEAB于于EE,若,若OO的半径为的半径为10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB=cmcm。
OABE解:
解:
连接连接OAOA,OEABOEABAB=2AE=16cmAB=2AE=16cm33、如图,在、如图,在O中,弦中,弦ABAB的长为的长为8cm8cm,圆,圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm3cm,求,求O的半径。
的半径。
OABE解:
解:
过点过点OO作作OEABOEAB于于EE,连接,连接OAOA即即O的半径为的半径为55cm.cm.44、如图,、如图,CDCD是是O的直径,弦的直径,弦ABCDABCD于于EE,CE=1CE=1,AB=10AB=10,求直径,求直径CDCD的长。
的长。
OABECD解:
解:
连接连接OAOA,CDCD是直径,是直径,OEABOEABAE=1/2AB=5AE=1/2AB=5设设OA=xOA=x,则,则OE=x-1OE=x-1,由勾股定理得,由勾股定理得xx22=5=522+(x-1)+(x-1)22解得:
解得:
x=13x=13OA=13OA=13CD=2OA=26CD=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26.练习练习1:
在圆在圆O中,直径中,直径CEAB于于D,OD=4,弦,弦AC=,求圆求圆O的半径。
的半径。
例例11:
如图,圆:
如图,圆OO的弦的弦ABAB88,DCDC22,直径,直径CEABCEAB于于DD,求半径求半径OCOC的长。
的长。
反思:
反思:
在在O中,若中,若O的半径的半径r、圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中,中,任意知道两个量,可根据任意知道两个量,可根据定理求出第三个量:
定理求出第三个量:
CDBAO反思:
反思:
在在O中,若中,若O的半径的半径r、圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中,中,任意知道两个量,可根据任意知道两个量,可根据定理求出第三个量:
定理求出第三个量:
CDBAO2如图,在如图,在O中,中,AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦,条弦,ODAB于于D,OEAC于于E,求证四边形,求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明:
证明:
四边形四边形ADOE为矩形,为矩形,又又AC=ABAE=AD四边形四边形ADOE为正方形为正方形.3.如图,如图,CD为圆为圆O的直径,弦的直径,弦AB交交CD于于E,CEB=30,DE=9,CE=3,求弦,求弦AB的长。
的长。
4.4.如图,如图,ABAB是是OO的弦,的弦,OCA=30OCA=3000,OB=5cmOB=5cm,OC=8cmOC=8cm,则,则AB=AB=;OABC3030885544DF你能利用垂径定理解决求你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗赵州桥拱半径的问题吗?
37.4m7.2mABOCD关于弦的问题,关于弦的问题,常常需要常常需要过圆心作过圆心作弦的垂线段弦的垂线段,这是,这是一条非常重要的一条非常重要的辅辅助线助线。
圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦半径、弦构成构成直角直角三角形三角形,便将问题,便将问题转化为直角三角形转化为直角三角形的问题。
的问题。
ABOCD解:
解:
如图,用如图,用ABAB表示主桥拱,设表示主桥拱,设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为OO,半径为,半径为r.r.经过圆心经过圆心OO作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为DD,与,与ABAB交于点交于点CC,则,则DD是是ABAB的中点,的中点,CC是是ABAB的中点,的中点,CDCD就是拱高就是拱高.AB=37.4mAB=37.4m,CD=7.2mCD=7.2mAD=1/2AB=18.7mAD=1/2AB=18.7m,OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2解得解得r=27.9r=27.9(mm)即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m.垂径定理的应用垂径定理的应用例例22如图,一条公路的转变处是一段圆弧如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点OO是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.n解解:
连接连接OC.OC.OCDEF如图,如图,OO的直径为的直径为1010,弦,弦AB=8,PAB=8,P为为ABAB上上的一个动点,那么的一个动点,那么OPOP长的长的取值范围取值范围是是。
C4533cmOP5cm3cmOP5cm
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- 优秀 课件 定理