高中数学 第四章《圆与方程》复习教案 新人教A版必修2.docx
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高中数学第四章《圆与方程》复习教案新人教A版必修2
2019-2020年高中数学第四章《圆与方程》复习教案新人教A版必修2
复习知识点:
一:
圆的方程。
(1)标准方程(几何式):
(圆心为A(a,b),半径为r)
(2)圆的一般方程(代数式):
()
圆心半径
提示:
求圆的方程的主要方法有两种:
一是定义法,二是待定系数法。
定义法是指用定义求出圆心坐标和半径长,从而得到圆的标准方程;待定系数法即列出关于的方程组,求而得到圆的一般方程,一般步骤为:
(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为
(2)根据已知条件,建立关于的方程组;(3)解方程组。
求出的值,并把它们代人所设的方程中去,就得到所求圆的一般方程.
二:
点与圆的位置关系的判断方法,,:
若,则点P在圆上;若,则点P在圆外;若,则点P在圆内;
三:
直线与圆的位置关系判断方法:
(1)几何法:
由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断。
(1)相交
(2)相切(3)相离
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系,也适用于其中有参数,对参数
谈论的问题。
利用这种方法,可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长,以及当直线与
圆相离时,圆上的点到直线的最远、最近距离等。
(2)代数法:
由直线与圆的方程联立消元得到,然后由判别式△来判断。
(1)相交
(2)相切(3)相离
利用这种方法,可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。
四:
圆与圆的位置关系判断方法:
(1)几何法:
两圆的连心线长为,圆的半径与圆的半径,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
1)当时,圆与圆相离;2)当时,圆与圆外切;
3)当时,圆与圆相交;4)当时,圆与圆内切;
5)当时,圆与圆内含;
(2)代数法:
由两圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程,然后由判别式△来判断。
△=0为外切或内切,△>0为相交,△<0为相离或内含。
若两圆相交,两圆
方程相减得公共弦所在直线方程。
五:
直线与圆的方程的应用:
利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系。
典型例题与练习:
类型一:
求圆的方程
例1:
已知一圆经过点A(2,-3)和B(-2,-5),且圆心C在直线l:
上,求此圆的标准方程(三种方法求解)。
类型二:
轨迹方程与切线方程
例2:
已知点P(10,0),Q为圆上一点动点,当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程(参照课本例题求解,答案:
)。
例题3:
求由下列条件所决定圆的圆的切线方程:
(1)经过点,
(2)经过点,(3)斜率为。
(参照成才之路P85页)
结论:
已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程(答案)。
类型三:
直线与圆、圆与圆的位置关系
例题4:
已知直线,直线以及上一点.求圆心在
上且与直线相切于点的圆的方程.
例题5:
一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为2,求此圆的方程.
例6:
求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
例7:
已知圆C:
(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:
(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
(1)证明:
不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
类型四:
弦长问题
例8:
已知圆C:
内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.
(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程;
(3)当直线l的倾斜角为45º时,求弦AB的长.
类型五:
对称问题与距离最值问题
例9:
一束光线l自A(-3,3)发出,射到x轴上,被x轴反射到⊙C:
x2+y2-4x-4y+7=0上.
(1)求反射线通过圆心C时,光线l的方程;
(2)求在x轴上,反射点M的范围.
例题10:
已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求
(1)的最大值和最小值;
(2)y-x的最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.
精选精练:
一、选择题
1圆:
和圆:
交于两点,则的垂直平分线的方程是()
A.BCD
2方程表示的曲线是()
A一个圆B两个半圆C两个圆D半圆
3已知圆:
及直线,当直线被截得的弦长为时,则()
ABCD
4圆的圆心到直线的距离是()
A B C D
5直线截圆得的劣弧所对的圆心角为()
ABCD
6圆上的点到直线的距离的最小值是()
A6B4C5D1
7两圆和的位置关系是()
A相离B相交C内切D外切
8直线与圆交于两点,则(是原点)的面积为()
A B C D
9直线过点,与圆有两个交点时,斜率的取值范围是()
A BC D
10已知圆C的半径为,圆心在轴的正半轴上,直线与圆C相切,则
圆C的方程为()
AB
CD
11若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点,则的取值范围是()
ABCD
12设直线过点,且与圆相切,则的斜率是( )
ABCD
二、填空题
1若点在轴上,且,则点的坐标为
2若曲线与直线始终有交点,则的取值范围是___________;
若有一个交点,则的取值范围是________;若有两个交点,则的取值范围是_______;
3已知圆的方程为,过点的直线与圆交于两点,若使最小,则直线的方程是________________
4如果实数满足等式,那么的最大值是________
5过圆外一点,引圆的两条切线,切点为,则直线的方程为________
6直线被曲线所截得的弦长等于
7圆:
的外有一点,由点向圆引切线的长______
8.对于任意实数,直线与圆的位置关系是
9动圆
的圆心的轨迹方程是
10为圆上的动点,则点到直线的距离的最小值为_______
必修②第四章圆与方程复习提纲答案
例题1:
解:
因为A(2,-3),B(-2,-5),
所以线段AB的中点D的坐标为(0,-4),
又,所以线段AB的垂直
平分线的方程是.
联立方程组,解得.
所以,圆心坐标为C(-1,-2),半径
,
所以,此圆的标准方程是.
例题4:
解:
设圆心为,半径为,依题意,.设直线的斜率,过两点的直线斜率,因,故,∴,解得.
.所求圆的方程为
.
例题5:
解:
因圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.
又因为直线y=x截圆得弦长为2,则有()2+()2=9b2,解得b=±1.故所求圆方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
评述:
在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点:
(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程;
(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F(3)待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数.
例题6:
剖析:
根据已知,可通过解方程组
得圆上两点,
(x+3)2+y2=13,
x2+(y+3)2=37
由圆心在直线x-y-4=0上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;
也可根据已知,设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+λ[x2+(y+3)2-37]=0,再由圆心在直线x-y-4=0上,定出参数λ,得圆方程.
解:
因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,
所以设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+λ[x2+(y+3)2-37]=0.
展开、配方、整理,得(x+)2+(y+)2=+.
圆心为(-,-),代入方程x-y-4=0,得λ=-7.
故所求圆的方程为(x+)2+(y+)2=.
评述:
圆C1:
x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:
x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆C1、C2相交,那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R且λ≠-1).它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.
特别提示
在过两圆公共点的图象方程中,若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程.
例题7:
剖析:
直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.
(1)证明:
l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.
得
∵m∈R,∴
2x+y-7=0,x=3,
x+y-4=0,y=1,
即l恒过定点A(3,1).∵圆心C(1,2),|AC|=<5(半径),
∴点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点.
(2)解:
弦长最小时,l⊥AC,由kAC=-,
∴l的方程为2x-y-5=0.评述:
若定点A在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢?
例题8:
解:
(1)已知圆C:
的圆心为C(1,0),因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-20.
(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的方程为,即x+2y-6=0
(3)当直线l的倾斜角为45º时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0圆心C到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为
例题9:
解:
⊙C:
(x-2)2+(y-2)2=1
(Ⅰ)C关于x轴的对称点C′(2,-2),过A,C′的方程:
x+y=0为光线l的方程.
(Ⅱ)A关于x轴的对称点A′(-3,-3),设过A′的直线为y+3=k(x+3),当该直线与⊙C相切时,
有或
∴过A′,⊙C的两条切线为
令y=0,得
∴反射点M在x轴上的活动范围是
例题10:
解:
(1)如图,方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆.
设=k,即y=kx,由圆心(2,0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由=,解得k2=3.所以kmax=,kmin=-.(也可由平面几何知识,有OC=2,OP=,∠POC=60°,直线OP的倾斜角为60°,直线OP′的倾斜角为120°解之)
(2)设y-x=b,则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式,得=,即b=-2±,故(y-x)min=-2-.
(3)x2+y2是圆上点与原点距离之平方,故连结OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,则(x2+y2)max=|OC′|=2+,(x2+y2)min=|OB|=2-.
精选精练
一、选择题
1C由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线
2B对分类讨论得两种情况
3C
4A
5C直线的倾斜角为,得等边三角形
6B
7B
8D弦长为,
9C,相切时的斜率为
10D设圆心为
11A圆与轴的正半轴交于
12D得三角形的三边,得的角
二、填空题
1设则
2;;曲线代表半圆
3当时,最小,
4设
,
另可考虑斜率的几何意义来做
5设切点为,则的方程为
的方程为,则
6,
7
8相切或相交
;另法:
直线恒过,而在圆上
9圆心为
,令
10
2019-2020年高中数学等差数列的教学设计教案
设计思想:
本节借助多媒体辅助手段,创设问题的情境,让探究式教学走进课堂,保障学生的主体地位,唤醒学生的主体意识,发展学生的主体能力,塑造学生的主体人格,让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
一、教材分析:
1、教学内容:
高中数学必修第五模块第二章第二节,等差数列,两课时内容,本节是第一课时,研究等差数列的定义、通项公式的推导,借助生活中丰富的典型实例,让学生通过分析、推理、归纳等活动过程,从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
2、教学地位:
本节是第二章的基础,为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础,是本章的重点内容。
在高考中也是重点考察内容之一,并且在实际生活中有着广泛的应用,它起着承前启后的作用。
同时也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始,它对后续内容的学习,无论在知识上,还是在方法上都具有积极的意义。
3、教学重点:
理解等差数列概念,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的关系。
4、教学难点:
对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式,概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
二、学习者分析:
高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力,且对数列的知识有了初步的接触和认识,对数学公式的运用已具备一定的技能,已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程,对函数、方程思想体会逐渐深刻。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
三、教学目标:
1、知识目标:
理解等差数列定义,掌握等差数列的通项公式。
2、能力目标:
培养学生观察、归纳能力,在学习过程中,体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识;通过概念的引入与通项公式的推导,培养学生分析探索能力,增强运用公式解决实际问题的能力。
3、情感目标:
①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般,又到特殊的认知规律,培养学生勇于创新的科学精神。
四、教法和学法的分析:
1、通过探究式教学方法充分利用现实情景,尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。
利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源,强调学生动手操作试验和主动参与,在教师的启发指导下,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而使学生即获得知识又发展智能的目的。
2、在学法上,引导学生多角度,多层面认识事物,学会探究。
教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者,在本节课的备课和教学过程中,为学生的动手实践,自主探索与合作交流的机会搭建平台,鼓励学生提出自己的见解,学会提出问题解决问题,通过恰当的教学方式让学生学会自我调适,自我选择。
五、教学媒体和教学技术的选用
多媒体计算机和几何画板
通过计算机模拟演示,使学生获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造条件,这样做,可以使学生有兴趣地学习,注意力也容易集中,符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。
本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。
六、教学程序:
(一)设置问题,引导发现形成概念
师:
看大屏幕。
情景1(播放奥运会女子举重场面)
xx年北京奥运会,女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:
kg):
48,53,58,63
情景2水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。
如果一个水库的水位18m,自然放水每天水位下降2.5m,最低降至5m。
那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:
m)
18,15.5,13,10.5,8,5.5
情景3我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是:
本利和=本金(1+利率存期)
时间
年初本金(元)
年末本利和(元)
第1年
10000
10072
第2年
10000
10144
第3年
10000
10216
第4年
10000
10288
第5年
10000
10360
例如,按活期存入10000元,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末本利和分别是:
如下表(假设5年既不加存款也不取款,且不扣利息税)
各年末本利和(单位:
元)
10072,10144,10216,10288,10360
师:
思考上述各组数据反映了什么样的信息?
每行数有何共同特点?
请同学们互相讨论。
(学生纷纷议论,有的几个人在一起商量)
(从宏观上:
情景1让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情,激发勇于拼搏的坚强意志;情景2让学生认识到保护水资源,保护生态平衡的意识;情景3倡导节约意识,纳税意识。
)
从微观上,数学研究的对象是数,我们抛开具体的背景,从表格中抽象出一般数列。
48
53
58
63
18
15.5
13
10.5
8
5.5
10072
10144
10216
10288
10360
师:
(启发学生)你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗?
学生1:
后一项与它的前一项的差等于常数。
师:
反例:
1,3,5,6,12,这样的数列特征和上述数列的特征一样吗?
学生1:
不一样,要加上同一个常数。
学生2:
每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
师:
反例:
1,3,4,5,6,7,这样的数列特征和上述数列的特征一样吗?
学生2:
不一样,必须从第二项开始。
学生3:
从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
(教师把学生的回答写在黑板上,通过反例,使学生深刻理解几组数列的共同特征:
①同一个常数;②从第二项起)
师:
能不能用数学语言表示?
学生4:
师:
等价吗?
学生4:
应加上(d是常数),.
(让学生充分讨论,注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性)
师:
对式子进行变形可得
。
这样的数列在生活中的例子,谁能再举几个?
学生5:
某剧场前8排的座位数分别是
52,50,48,46,44,42,40,38.
学生6:
全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是
21,21.5,22,22.5,23,23.5,24,24.5,25
学生7:
马路边的路灯,相邻两盏之间的距离构成的数列。
师:
如何用数列表示?
学生8:
设相邻两盏之间的距离为a,该数列为
a,a,a,a,……,为常数列,即常数列都具有这种特征。
(让学生举例,加深感性认识)
师:
满足这种特征的数列很多,我们有必要为这样的数列取一个名字?
学生(共同):
等差数列。
师:
(学生叙述,板书定义)
一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,d为公差,a1为数列的首相。
提出课题《等差数列》
对定义进行分析,强调:
①同一个常数;②从第二项起。
注意对概念严谨性的分析。
师:
回到表格中,分别说出它们的公差。
学生9:
依次是d=7,d=1,d=8,d=-6,d=5,d=-2.5,d=72.
师:
在计算年末本利和的问题中求时,能不能不按本利和=本金(1+利率存期)
求而按数列的特征求呢?
学生:
若能求得通项公式,问题就很好解决。
(再提出问题,引导发现求通项公式的必要性)
(二)启发、引导推出等差数列的通项公式
师:
把问题推广到一般情况。
若一个数列是等差数列,它的公差是d,那么数列的通项公式是什么?
启发学生:
(归纳、猜想)可用首相与公差表示数列中任意一项。
学生10:
即:
即:
即:
……
由此可得:
师:
从第几项开始归纳的?
学生10:
第二项,所以n≥2。
师:
n=1时呢?
学生10:
当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式
(n∈N*)
师:
很好!
(归纳、猜想,培养学生合理的推理能力)还有没有其他的推导方法?
学生11:
还可用下面的方法归纳:
当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式
(n∈N*)
师:
我们把这种方法称为迭代法。
大家按照该同学的思路推导一下。
(把一个学生推导的情况用投影仪投在大屏幕上)还有其他的推导方法吗?
(学生面露难色)
启发:
看方法一的第一个式子
有何规律?
学生12:
可以用累加的方法,左边累加后得,右边累加的d+d+d+…….+d共n-1个即
=d+d+d+…….+d,=(n-1)d,
师:
总结通项公式的推导方法:
递推归纳法;迭代归纳法;累差法。
共同特点:
利用观察、归纳、猜想的数学思想方法,它的合理性在以后学习的数学归纳法中可以得到证明。
注意两点:
1、对通项公式进行分析,通项公式中含有四个量,其中为基本量,当确定后,通项公式就确定了。
若已知三个量,可用方程的思想求第四个量(即知三求一)。
2、对通项公式变形,对任意的p、q∈N+。
在等差数列中,有
ap=a1+(p-1)d①
aq=a1+(q-1)d②
①-②有ap-aq=(p-q)d,
∴ap=aq+(p-q)d
其中p,q关系可以有p>q,p=q,p<q。
通项公式的变形式ap=aq+(p-q)d,请同学记熟,它在解题过程中经常被应用。
(三)通项公式的应用
大屏幕给出例题,由学生代表讲解
例1:
(1)求等差数列8,5,2…的第20项
解:
由a1=8,d=5-8=-3,n=20,等差数列的通项公式得
a20=8+(20-1)×(-3)=-49
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?
如果是,是第几项?
解:
由
得数列通项公式为:
由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-5-4(n-1)成立,解之得n=100,即-401是这个数列的第100项。
(方程思想的运用)
例2、已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数,且p≠0,那么这种数列是否一定是等差数列?
如果是,其首项与公差是什么?
师:
如何分析题意?
学生13:
由等差数列定义,要判定{an}是不是等差数列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了。
(学生叙述,教师板书)
解:
取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)。
∴an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p,
它是一个与n无关的常数,所以{an}是等差数列,且公差为p。
在通项公式中,令n=1得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p。
师:
数列的通项公式给出的是an与n之间的一种关系,一个n都对应着一个an,这与我们以前学过的什么内容类似?
由本例得到什么结论?
(引发学生联想、归纳,学生很自然会想到一次函数)
学生14:
与一次函数内容类似,即an与n之间的关系是一次函数的关系;由本例的结论可知,如果an是关于n的一次函数,那么数列{an}是等差数列。
师:
本例题的逆命题,是否也成立?
请同学们课下自己完成证明。
它也可以作为证明数列{an}是等差数列的一种方法。
那么一次函数的图象有什么特点?
你能否作出等差数列的图象?
(四)通项公式的图象
在直角坐标系中作通项公式为an=3n-5的数列的图像,并观察图像有什么特点?
用几何画板作图显示为下图:
师:
由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。
学生14:
公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行x轴(或x轴)上的均匀公布的一群孤立点。
在大屏幕上打出如下幻灯片:
等差数列an=pn+q与一次函数y=px+q的比较
不同点
关连与相同点
等差数列
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