上学期九年级数学专题课利用二次函数求“最值”的应用举例.ppt
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上学期九年级数学专题课利用二次函数求“最值”的应用举例.ppt
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课题3.3.提高学习过程中提高学习过程中的的“动手操作动手操作”能力,培养合作学习的能力,培养合作学习的意识和对知识探索精神意识和对知识探索精神.1.1.熟悉用二次函数熟悉用二次函数的的“最值最值”来解决实际问题的几种常见来解决实际问题的几种常见题型,掌握其解答的基本思路,继续巩固二次函数的性质;题型,掌握其解答的基本思路,继续巩固二次函数的性质;2.2.认识到数学建模思想独特作用,感受数学的价值和魅力;认识到数学建模思想独特作用,感受数学的价值和魅力;3.3.提高学习过程中提高学习过程中的的“动手操作动手操作”能力,培养能力,培养合作学习合作学习的的意识和对知识意识和对知识探索精神探索精神.若a0,则则时时,最小最小则则时时,最大最大若a0,可配方为可配方为目标复习2.写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标,并写出其最值.y=x2-4x-5;(配方法)
(2).y=-x2-3x+4.(公式法)预备练习预备练习顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴y的的“最值最值”y=-x2+4y=3(x-1)2-5y=-(x+2)2+3y=-0.2(x-5)2+21.1.填表:
填表:
函函数数项项目目(0,4(0,4)(1,-(1,-5)5)(-(-2,3)2,3)(5,2(5,2)yy轴轴(x=0)(x=0)直线直线x=1x=1直线直线x=-2x=-2直线直线x=5x=5最大值最大值44最小值最小值-5-5最大值最大值33最大值最大值22.略解:
先直接添项配方为y=(x-2)2-9.开口方向:
向上;对称轴:
直线x=2;顶点坐标:
(2,-9);最小值:
-9.略解:
先计算.开口方向:
向下;对称轴:
直线;顶点坐标:
;最大值:
.预备练习题型一题型一.最大面积最大面积题型一.探究探究探究:
(:
(新人教版九年级数学上册49页探究1)用总长60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S与矩形一边长的变化而变化;当是多少米时,场地的面积S最大?
分析:
先可以表示出S与的函数解析式,并求出使S最大的的值.即由于表示出的是S关于的二次函数,我们都知道当a0a0时,二次函数有最大值.略解:
矩形的周长为60m,所以矩形的两邻边和为30m,由于矩形的一边长为,所以另一边长为,根据矩形的面积得:
因此,当二次函数时,S有最大值.也就是说当是15m时,S的面积最大.例1.如图,在ABC中,AB=8cm,BC=6cm,B=90;点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点B以1厘米/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后PBQ的面积最大?
最大面积为多少?
分析:
可先用时间来表示PBQ的两直角边,并以此表示PBQ的面积,可建立起一个二次函数,通过其“最值”解决问题.略解:
设经过x秒后PBQ的面积为ycm2,AP=2xcm,PB=(8-2x)cm,QB=xcm.根据题意,得:
整理配方:
a=-10抛物线的开口向下,y有最大值.P、Q分别从A、B同时出发2秒后PBQ的面积y最大,最大面积为44.题型一.例1.例2.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与直线交于A(-1,0)、C(2,3)两点,与y轴交于点G,其顶点为D.求抛物线和直线AC的解析式;.若P点是抛物线上位于直线AC的上方的一个动点,求APC的最大面积.略析:
.可以直接通过点A、C的坐标利用待定系数法的解答方式求得两个的解析式.可采用割补法来表示出APC的面积(这里采用“割”的办法,通过作垂线化成两个三角形,见后面的解答),以此建立二次函数解决问题.这里用二次函数的解析式表示出动点的横纵坐标比较关键.略解:
.(请同学们在草稿上完成书面解答).可采用割补法来表示出APC的面积(这里采用“割”的办法,通过作垂线化成两个三角形,见后面的解答),以此建立二次函数解决问题.这里用二次函数的解析式表示出动点的横纵坐标比较关键.题型一.例2.过P作x轴的垂线,垂足为点M,交直线AC于K;过C作x轴的垂线,垂足为点N.若设点K的横坐标为x,则代入y=x+1后可得点K(x,x+1);同样代入y=-x2+2x+3后可得点P(x,-x2+2x+3);所以得到PK=(,-x2+2x+3)-(x+1)=-x2+x+2;又A(-1,0)、C(2,3),所以AN=3.SAPC=SAKP+SPKCSAPC当时,APC的面积有最大值,最大值为追问:
若抛物线的对称轴与直线AC相交于点Q,E为直线AC上的任意一点,过点E作EFBQ交抛物线于点F,以Q,D,F,E为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(提示:
本问注意分类讨论,作为同学们课外研究.)例2解析AN=3AN=31.1.注意利用平行于注意利用平行于yy轴的两点的轴的两点的横坐标相同进行纵坐标的转换;横坐标相同进行纵坐标的转换;2.2.也要注意利用平行于也要注意利用平行于xx轴的两点的纵坐轴的两点的纵坐标相同进行横坐标的转换标相同进行横坐标的转换.水平距离水平距离.主要就是横纵坐标都要用代表自主要就是横纵坐标都要用代表自变量的同一个字母的式子表示变量的同一个字母的式子表示.牛刀小试1求几何图形“最大面积”注意用同一个未知数(自变量)表示与面积相关的线段的长!
在平面直角坐标系中要注意用坐标来表示与面积相关的线段长,有的坐标还需要借助于题中函数来转换(比如例2),最终把问题转化为一个二次函数来解决,是“数学建模”思想的一个具体体现.2.如图,在ABC中,B=90,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发,那么经过秒,四边形APQC的面积最小.1.在一幅长60cm,宽40cm矩形风景画的四周镶一条宽度一样的金色纸边,制成一幅矩形挂图(如图所示),若要使这个挂图的面积为ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数为()AA33牛刀小试23.如图,在一面靠墙的空地上用一长为24米的篱笆,围成中间隔两道篱笆的长方形花圃;设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.求S与x的函数关系式及自变量的取值范围:
.当x为何值时花圃的面积最大,最大值为多少?
.若墙的最大可用长度为8米,求围成花圃的最大面积.
(1).
(1).
(2).
(2).(3).(3).当x=3时,S有最大值36;当x=4时,花圃的最大面积32.因为因为a0a0时,在对称轴的右时,在对称轴的右侧侧yy随随xx的增大而减小!
的增大而减小!
4.如图,已知二次函数的图象与x轴交于B、C两点,A是抛物线与y轴的交点,点D是线段AC上的动点,过点D作x轴的垂线与抛物线相交于点E,四边形ABCE的面积有最大值吗?
如果有,最大值是多少?
并求出此时点E的坐标.2525(3,-5)(3,-5)OC=6OC=6题型二题型二.高度、长度的最值高度、长度的最值题型二.探究探究探究:
(:
(新人教版九年级数学上册49页问题)从地面竖直向上跑出一个小球,小球的而高度h(单位:
m)与小球的运动时间t(单位:
s)之间的关系式是h=30t-5t2(0t6),小球运动的时间为多少时,小球最高?
小球运动的最大高度是多少?
探究:
画出h=30t-5t2(0t6)的图象发现是一条开口向下的抛物线;既然是开口向下的抛物线,所以当t取最高点顶点的横坐标时,这个函数有最大值,即h最大.因此,当二次函数时,h有最大值.也就是说小球的运动时间为3s时,小球最高,小球在空中的最大高度为45m.师生共同重温前面的师生共同重温前面的“复习复习”.课题二.例1把抛物线设为y=ax2+k.由题中题中条件可知A(-3,1.7)A(-3,1.7)、B(1.5,3.05)B(1.5,3.05)的坐标代入列方程组:
故此二次函数的解析式为解得:
例1.小强某次练习投篮恰好命中篮筐中心,篮球的运动路线是一条抛物线,篮球在离地面垂直距离1.7m处出手,篮球在水平距离为3m处到达的最高点;小强与篮筐中心的水平距离L是4.5m,篮筐中心到地平面的垂直距离为3.05米;求篮球离地面到达的最大高度为多少?
分析:
由于篮球的运动路线是一条抛物线,所以可以通过建立适当的平面直角坐标系,利用二次函数的“最值”来解决问题.略解:
如图,以地平线为x轴,过篮球运动的最高点垂直于地平线的直线为y轴建立平面直角坐标系(其它条件见图中标示).因此,当二次函数时,y有最大值.所以篮球离地面到达的最大高度为3.5m.例2.如图,某公路隧道的横断面为抛物线,其中最大高度为6m,底部宽度OM为12m,现以点O为原点,OM所在的直线为x轴建立直角坐标系.直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;,求出这条抛物线的解析式;.若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB;使C、D点在抛物线上;A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”的总长的最大值是多少?
分析:
问可以根据高度、宽度等直接写出;问在问的基础上把解析式设成顶点式,把顶点P和点M的坐标代入即可解决;问以通过函数坐标表示出“支撑架”长宽,以周长建立二次函数解决问题;要注意的是“支撑架”总长未包括AB的长,应为AD+DC+CB的和.略解:
.M(12,0)M(12,0)、P(6,6);P(6,6);.设该抛物线为y=a(x+m)2+n,由P(6,6)得y=a(x-6)2+6.解得:
故此二次函数的解析式为:
即又M(12,0),则课题二.例2.设A(m,0).A(m,0).则B(12-m,0).B(12-m,0).“支撑架”的总长=AD+DC+CB抛物线的开口向下当m=3米时,AD+DC+CB有最大值15米.牛刀小试1由抛物线和矩形的轴对称性易证由抛物线和矩形的轴对称性易证OA=MB=m.OA=MB=m.2.某烟花厂为庆祝一运动会圆满闭幕而专门研制了一种新型礼炮,这种礼炮的升空的高度h(m)与飞行时间t(s)之间的关系式,这种礼炮点火升空到最高处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.3sB.4sC.5sD.6s1.直接在横线上写出下列函数,当x取何值时的y的最大或最小值:
.;.当当x=1x=1时,时,yy有最大值有最大值1212当当x=-2x=-2,yy有最小值有最小值-7-7BB5.如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线交于A、B两点,其中点A的横坐标是-2.求这条直线的函数关系式及点B的坐标;.在x轴上是否存在点C,使得ABC是直角三角形?
若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;.过线段AB上一点P作,PMx轴,交抛物线于点M,点M在第一象限;点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?
最大值是多少?
4.如图,从地面上竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:
m)与小球运动的时间t单位:
s)的函数关系式,那么小球运动的最大高度h=米.3.蔡老师对小苇推铅球的录像进行了技术分析,发现铅球行进的高度y(单位:
m)与水平距离x(单位:
m)满足函数关系式,根据这关系式可知出小苇推出铅球离开地面的的最大高度为.3m3m2020本题供同学们课外提升;本题供同学们课外提升;放映时单击右边图放映时单击右边图片可打开片可打开“参考解答参考解答”,再单击则关闭,再单击则关闭.牛刀小试2题型三题型三.最大利润最大利润探究探究:
(新人教版九年级数学上册50页探究2)某商品现在的售价为每件60件,每星期可可卖出300件,市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,则每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
题型三.探究分分析析:
总利润=单件利润实际件数.总利润=(60-40+涨价)(300-少买的件数);.总利润=(60-40-降价)(300+多买的件数).略解:
.设每件涨价x元,则每周少买件数为10x件,单件利润为(60-40+x)元,实际件数为(300-10x);若设总利润为y元,则:
其中a=-100当x=5时,yy
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- 上学 九年级 数学 专题 利用 二次 函数 应用 举例