北师大版九年级数学上12 第1课时 矩形及其性质 同步练习含答案.docx
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北师大版九年级数学上12第1课时矩形及其性质同步练习含答案
2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形及其性质
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对角线互相平分B.邻角互补C.对角相等D.对角线相等
2.如图1,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
图1
3.如图3,A,B,C三点的连线恰好构成一个直角三角形,A,B之间的距离为40km,D恰好为AB的中点,则点D与点C之间的距离是________km.
图3
4.如图4,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为( )
图4
A.5B.4C.
D.
5.如图5,矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8,BD的垂直平分线交AD于点E,交BC于点F,交BD于点O,则△BOF的面积为________.
图5
6.如图6,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC,交BC于点E,∠BDE=15°,求∠COD与∠COE的度数.
图6
7.如图7,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,E为AD的中点,F为BC边上任一点,过点F分别作EB,EC的垂线,垂足分别为G,H,则FG+FH的值为( )
图7
A.
B.
C.
D.
8.在矩形ABCD中,∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1∶3,若矩形ABCD的面积为36,则其周长为________.
9.⑤在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中,曾利用了如图8所示的方法.该图中,四边形ABCD是矩形,E是BA延长线上一点,F是CE上一点,∠ACF=∠AFC,∠FAE=∠FEA.若∠ACB=21°,求∠ECD的度数.
图8
10.如图9,已知在矩形ABCD中,F是BC边上的一点,且AF=BC,DE⊥AF,垂足是E,连接DF.
求证:
(1)△ABF≌△DEA;
(2)DF是∠EDC的平分线.
图9
11.2017·葫芦岛如图10,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C′处,点B落在点B′处,其中AB=9,BC=6,则FC′的长为( )
图10
A.
B.4C.4.5D.5
12.2017·贵阳如图11,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,E是AB的中点,F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是________.
图11
13.如图12①,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.
(1)求证:
△BDF是等腰三角形.
(2)如图②,过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;
②若AB=6,AD=8,求FG的长.
图12
14.如图13,BE,CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是__________.
图13
15.如图14,△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,DE⊥AB于点E,FD⊥BC于点D,G是FC的中点,连接GD.求证:
GD⊥DE.
图14
16.如图15,在矩形ABCD中,AB=12,AC=20,两条对角线相交于点O.以OB,OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C,对角线相交于点A1;再以A1B1,A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C,对角线相交于点O1;再以O1B1,O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1;…,依此类推.
图15
(1)矩形ABCD的面积为________;
(2)第1个平行四边形OBB1C的面积为__________,第2个平行四边形的面积为__________,第6个平行四边形的面积为__________.
17.在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D在边AC上,将边OA沿OD折叠,点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3,则点A′的坐标为________.
参考答案
1.D 2.B
3.20 4D.
5.
6.解:
因为DE平分∠ADC,所以∠ADE=45°,所以∠ADB=∠ADE-∠BDE=45°-15°=30°,所以∠ODC=∠ADC-∠ADB=90°-30°=60°.因为四边形ABCD为矩形,所以△OCD为等腰三角形,所以∠COD=180°-2∠ODC=60°,所以△OCD是等边三角形,所以OC=CD.又在Rt△ECD中,∠EDC=45°,所以CE=CD,所以OC=CE.又因为四边形ABCD是矩形,所以∠OCE=∠ADB=30°,所以在△CEO中,∠COE=
(180°-∠OCE)=
×(180°-30°)=75°.
7D.
8.30或14
9.解:
∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°,AB∥CD,AD∥BC,∴∠FEA=∠ECD,∠DAC=∠ACB=21°.∵∠ACF=∠AFC,∠FAE=∠FEA,∴∠ACF=2∠FEA.
设∠ECD=x°,则∠ACF=2x°,∴∠ACD=3x°.
在Rt△ACD中,3x°+21°=90°,解得x=23.
∴∠ECD的度数为23°.
10.证明:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AFB.
∵DE⊥AF,∴∠DEA=∠B=90°.
∵AF=BC,∴AF=AD.
在△ABF和△DEA中,∠AFB=∠DAE,∠B=∠DEA,AF=AD,
∴△ABF≌△DEA(AAS).
(2)由
(1)知△ABF≌△DEA,∴DE=AB.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,DC=AB,
∴DC=DE,∠C=∠DEF.
在Rt△DEF和Rt△DCF中,DF=DF,DE=DC,
∴Rt△DEF≌Rt△DCF,∴∠EDF=∠CDF,
即DF是∠EDC的平分线.
11.D
12.
-1
13.解:
(1)证明:
根据折叠知,∠DBC=∠DBE.
又AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,∴∠DBE=∠ADB,∴DF=BF,∴△BDF是等腰三角形.
(2)①四边形BFDG是菱形.理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∴FD∥BG.
又∵DG∥BE,∴四边形BFDG是平行四边形.
又∵DF=BF,∴四边形BFDG是菱形.
②∵AB=6,AD=8,∴BD=10,
∴OB=
BD=5.
设DF=BF=x,∴AF=AD-DF=8-x.
在Rt△ABF中,AB2+AF2=BF2,即62+(8-x)2=x2,
解得x=
,即BF=
,
∴FO=
=
=
,
∴FG=2FO=
.
14.13
15.证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB,FD⊥BC,
∴∠BED=∠FDC=90°,
∴∠1+∠B=90°,∠3+∠C=90°,∴∠1=∠3.
∵G是Rt△FDC的斜边的中点,
∴GD=GF,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2.
∵∠FDC=∠2+∠4=90°,
∴∠1+∠4=90°,
∴∠2+∠FDE=90°,即GD⊥DE.
16.
(1)192
(2)96 48 3
[解析]
(1)∵四边形ABCD是矩形,AC=20,AB=12,
∴∠ABC=90°,BC=
=
=16,
∴S矩形ABCD=AB·BC=12×16=192.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OC,∴▱OBB1C是菱形,
∴OB1⊥BC,A1B=
BC=8,OA1=
OB1=
=6,∴OB1=2OA1=12,
∴S菱形OBB1C=
BC·OB1=
×16×12=96.
∵BC⊥OB1,∴四边形A1B1C1C是矩形,
∴S矩形A1B1C1C=A1B1·A1C=6×8=48.
…
第n个平行四边形的面积Sn=
,
∴S6=
=3.
17.(
,3)或(
,1)或(2
,-2)
[解析]∵点A(0,4),B(7,0),C(7,4),
∴BC=OA=4,OB=AC=7.
分两种情况:
(1)当点A′在矩形AOBC的内部时,过点A′作OB的垂线交OB于点F,交AC于点E,如图①所示.
当A′E∶A′F=1∶3时,
∵A′E+A′F=BC=4,∴A′E=1,A′F=3.
由折叠的性质得OA′=OA=4.
在Rt△OA′F中,
由勾股定理得OF=
=
,
∴A′(
,3);
当A′E∶A′F=3∶1时,同理得A′(
,1).
(2)当点A′在矩形AOBC的外部时,此时点A′在第四象限,过点A′作OB的垂线交OB于点F,交AC于点E,如图②所示.
∵A′F∶A′E=1∶3,∴A′F∶EF=1∶2,
∴A′F=
EF=
BC=2.
由折叠的性质得OA′=OA=4.
在Rt△OA′F中,由勾股定理得OF=
=2
,∴A′(2
,-2).
故点A′的坐标为(
,3)或(
,1)或(2
,-2).
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