春上海教育版数学七下143《等腰三角形》word教案1.docx

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春上海教育版数学七下143《等腰三角形》word教案1

教学目标

1．等腰三角形的概念．

2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用．

教学重点

1．等腰三角形的概念及性质．

2．等腰三角形性质的应用．

教学难点

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教学方法

探究归纳法．

教学过程

Ⅰ．知识回顾，

在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：

①三角形是轴对称图形吗？

②什么样的三角形是轴对称图形？

有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．

那什么样的三角形是轴对称图形？

满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．

我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．

Ⅱ．导入新课

同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．

A点可以取直线L上的任意一点．

按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，剪出一个等腰三角形．

按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．

有了上述概念，同学们来想一想．

1．等腰三角形是轴对称图形吗？

请找出它的对称轴．

2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

底边上的高所在的直线呢？

等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．它们是同一条直线．

现在同学们来归纳等腰三角形的性质．

沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．

（演示课件）

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求：

△ABC各角的度数．

根据等边对等角的性质，我们可以得到

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．

再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．

如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．

（课件演示）

[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，

所以∠ABC=∠C=∠BDC．

∠A=∠ABD（等边对等角）．

设∠A=x，则

∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在△ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

解得x=36°．

在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P143练习1、2、3．

练习

1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

答案：

（1）72°

（2）30°

2．如右图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

答案：

∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．

3．如右图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

答：

∠B=77°，∠C=38.5°．

（二）阅读课本，然后小结．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P149─1、3、4、8题．

（二）1．预习课本．

2．预习提纲：

等腰三角形的判定．

Ⅵ．活动与探究

如右图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：

AE=CE．

过程：

通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．

结果：

证明：

延长CD交AB的延长线于P，如右图，在△ADP和△ADC中

∴△ADP≌△ADC．

∴∠P=∠ACD．

又∵DE∥AP，

∴∠4=∠P．

∴∠4=∠ACD．

∴DE=EC．

同理可证：

AE=DE．

∴AE=CE．

板书设计

§14．3．1．1等腰三角形

（一）

一、设计方案作出一个等腰三角形

二、等腰三角形性质

1．等边对等角

2．三线合一

三、例题分析

四、随堂练习

五、课时小结

六、课后作业

备课资料

参考练习

一、选择题

1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）

A．某一条边上的高;B．某一条边上的中线

C．平分一角和这个角对边的直线;D．某一个角的平分线

2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）

A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°

答案：

1．C2．C

二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．

求这个等腰三角形的边长．

解：

设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得

2（x+2）+x=16．

解得x=4．

所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．

§14．3．1．2等腰三角形

（二）

第八课时

教学目标

（一）教学知识点

探索等腰三角形的判定定理．

（二）能力训练要求

探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．

（三）情感与价值观要求

通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．

教学重点

等腰三角形的判定定理及其应用．

教学难点

探索等腰三角形的判定定理．

教学方法

讲练结合法．

教具准备

多媒体课件、投影仪．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

上节课我们学习了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？

这就是我们这节课要研究的问题．

Ⅱ．导入新课

同学们看下面的问题并讨论：

思考：

如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

[师]为什么它们所对的边相等呢？

同学们思考一下，给出一个简单的证明．

[例1]已知：

在△ABC中，∠B=∠C（如图）．

求证：

AB=AC．

证明：

作∠BAC的平分线AD．

在△BAD和△CAD中

∴△BAD≌△CAD（AAS）．

∴AB=AC．

在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形．也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形．

（演示课件）

等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用．

（演示课件）

[例2]求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．

已知：

∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．

求证：

AB=AC．

（演示课件，括号内部分由学生来填）

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC（等角对等边）．

已知：

如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．

求证：

AB=AD．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．

又∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD（等角对等边）．

[例3]如图

（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？

这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．

解：

选取比例尺为1：

100（即为1cm代表1m）．

（1）作线段DE=4cm；

（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；

（3）在MN上截取BC=2.5cm；

（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P1451、2、3．

1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．

答案：

∠1=72°，∠2=36°．

等腰三角形有：

△ABC、△ABD、△BCD．

2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？

为什么？

答案：

是等腰三角形．因为，如图可证∠1=∠2．

3．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：

OC=OD．

答案：

证明：

∵OA=OB，

∴∠A=∠B．

又∵AB∥DC，

∴∠A=∠C，∠B=∠D．

∴∠C=∠D．

∴OC=OD（等角对等边）．

（二）补充练习：

如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．

（1）求证：

△ABD是等腰三角形．

（2）求∠BAD的度数．

答案：

（1）证明：

∵AC⊥BD，

∴∠ACB=∠ACD=90°．

又∵AC=AC，BC=CD，

∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等腰三角形．

（2）解：

由

（1）可知AB=AD，

∴∠B=∠D．

又∵AC=BC，

∴∠B=∠BAC，

AC=CD．

∴∠D=∠DAC（等边对等角）．

在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°，

∴2（∠BAC+∠DAC）=180°．

∴∠BAC+∠DAC=90°，

即∠BAD=90°．

（鼓励学生思考其他解法）

Ⅳ．课时小结

本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P149─2、4、5、9、13题．

（二）预习．

Ⅵ．活动与探究

[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等．

过程：

利用等腰三角形的性质即等边对等角，全等三角形的判定及性质．

结果：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线．

求证：

BD=CE．

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，

∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

[探究2]等腰三角形两腰上的高相等．

过程：

同探究1．

结果：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC的高．

求证：

BE=CF．

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

又∵BE、CF分别是△ABC的高，

∴∠BFC=∠CEB=90°．

在△BFC和△CEB中，

∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB，

∴△BFC≌△CEB（AAS）．

∴BE=CF．

[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等．

过程：

同探究1．

结果：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线．

求证：

BD=CE．

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

又∵CD=

AC，BE=

AB，

∴CD=BE．

在△BEC和△CDB中，

∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB，

∴△BEC≌△CDB（SAS）．

∴BD=CE．

板书设计

§14．3．1．2等腰三角形

（一）

一、等腰三角形的判定定理──等角对等边

二、等腰三角形判定定理的应用

三、随堂作业

四、课时小结

五、课后作业

备课资料

墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平．他拿来一个如下图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤．小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点．如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的．你能说明其中的道理吗？

答案：

根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC（即木条），如果重锤过点A，说明直线AD垂直于水平线，那么木条就是水平的．根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

§14．3．2．1等边三角形

（一）

第九课时

教学目标

（一）教学知识点

经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．

（二）能力训练要求

1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

（三）情感与价值观要求

1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

等边三角形判定定理的发现与证明．

教学难点

1．等边三角形判定定理的发现与证明．

2．引导学生全面、周到地思考问题．

教学方法

探索发现法．

教具准备

多媒体课件，投影仪．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题．

（演示课件）

1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？

2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

你能证明你的结论吗？

把你的证明思路与同伴交流．

（教师应给学生自主探索、思考的时间）

Ⅱ．导入新课

探索等腰三角形成等边三角形的条件．

如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．

这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法

今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三个角都相等的三角形是等边三角形．

下面就请同学们来证明这个结论．

已知：

如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．

求证：

△ABC是等边三角形．

证明：

∵∠A=∠B，

∴BC=AC（等角对等边）．

又∵∠A=∠C，

∴BC=AC（等角对等边）．

∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．

我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到．

（演示课件）

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

三个角都相等的三角形是等边三角形．

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理．

（演示课件）

[例4]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，

测得∠APB=60°，AP=BP=200m，他们便得出一个结论：

A、B之间距离不少于200m，他们的结论对吗？

分析：

我们从该问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB=60°且AP=BP，由本节课探究结论知△APB为等边三角形．

解：

在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，

所以∠PAB=∠PBA=

（180°-∠APB）=

（180°-60°）=60°．

于是∠PAB=∠PBA=∠APB．

从而△APB为等边三角形，AB的长是200m，由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P147练习1、2．

1．等边三角形是轴对称图形吗？

它有几条对称轴？

它们分别是什么线段？

答案：

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）．

2．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？

答案：

BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF．

（二）补充练习

如图，△ABC是等边三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD、CD的垂直平分线分别交BC于E、F，求证：

BE=CF．

证明：

连结DE、DF，则BE=DE，DF=CF．

由△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．

同理∠DFE=60°，

故△DEF是等边三角形．

DE=DF，

因而BE=CF．

Ⅳ．课时小结

这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P149─5、6、7、10题．

（二）预习．

Ⅵ．活动与探究

探究：

如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？

试说明理由．

过程：

通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定．

结果：

已知：

三角形ABC为等边三角形．D、E为边AB、AC上两点，且AD=AE．判断△ADE是否是等边三角形，并说明理由．

解：

△ADE是等边三角形，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°．

又∵AD=AE，

∴△ADE是等腰三角形．

∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

板书设计

§14．3．2．1等边三角形

（一）

一、探索等边三角形的性质及判定

问题：

一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形

二、等边三角形的性质及判定

三、应用例题讲解

四、随堂练习

五、课时小结

六、课后作业

备课资料

等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定．

性质

判定的条件

等腰三角

形（含等

边三角形）

等边对等角

等角对等边

“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合

有一角是60°的等腰三角形是等边三角形

等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60°

三个角都相等的三角形是等边三角形

参考例题

1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．

解：

在△ABC中，

∵AB=AC（已知），

∴∠B=∠C（等边对等角）．

∴∠B=∠C=

（180°-∠BAC）=40°（三角形内角和定理）．

又∵AD⊥BC（已知），

∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）．

∴∠BAD=∠CAD=50°．

2．已知：

如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．

求证：

DB=DE．

证明：

∵△ABC是等边三角形，且BD是中线，

∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°．

又∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E=

∠ACB=30°．

∴∠DBC=∠E．

∴DB=DE．

3．已知：

如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．

求证：

△ADE是等边三角形．

证明：

∵△ABC是等边三角形（已知），

∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）．

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．

∴∠A=∠ADE=∠AED．

∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．

§14．3．2．2等边三角形

（二）

第十课时

教学目标

（一）教学知识点

1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．

2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．

（二）能力训练要求

1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．

2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．

（三）情感与价值观要求

1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．

2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．

教学重点

含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．

教学