初中数学教材知识梳理系统复习pdf.docx

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第一单元数与式第1讲实数

知识点一：

实数的概念及分类

关键点拨及对应举例

1.实数

（1）按定义分

（2）按正、负性分正有理数

有理数0有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数0

实数

正无理数负实数

无理数无限不循环小数负无理数

（1）0既不属于正数，也不属于负数.

（2）无理数的几种常见形式判断：

①含π的式子；②构造型：

如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；

③开方开不尽的数：

如，；④三角函数型：

如sin60°，tan25°.

（3）失分点警示：

开得尽方的含根号的数属于

有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.

知识点二：

实数的相关概念

2.数轴

（1）三要素：

原点、正方向、单位长度

（2）特征：

实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大

例：

数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.

3.相反数

（1）概念：

只有符号不同的两个数

（2）代数意义：

a、b互为相反数a+b=0

（3）几何意义：

数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等

a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.

例：

3的相反数是-3，-1的相反数是1.

4.绝对值

（1）几何意义：

数轴上表示的点到原点的距离

（2）运算性质：

|a|=a（a≥0）；|a-b|=a-b（a≥b）

-a（a＜0）.b-a（a＜b）

（3）非负性：

|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.

（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.

（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.

例：

5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等

于3的是±3;|1-|=-1.

5.倒数

（1）概念：

乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a（a≠0）

（2）代数意义：

ab=1a,b互为倒数

例：

-2的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数有±1.

知识点三：

科学记数法、近似数

6.科学记

数法

（1）形式：

a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数

（2）确定n的方法：

对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）

例：

21000用科学记数法表示为2.1×104；

19万用科学记数法表示为1.9×105；

0.0007用科学记数法表示为7×10-4.

7.近似数

（1）定义：

一个与实际数值很接近的数.

（2）精确度：

由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.

例：

3.14159精确到百分位是3.14；精确

到0.001是3.142.

知识点四：

实数的大小比较

8.实数的

大小比较

（1）数轴比较法：

数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.

（2）性质比较法：

正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

（3）作差比较法：

a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.

（4）平方法：

a＞b≥0a2＞b2.

例：

把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为_1＞0＞-2＞-2.3_.

知识点五：

实数的运算

9

.

常见运算

乘方

几个相同因数的积;负数的偶（奇）次方为正（负）

例：

（1）计算：

1-2-6=_-7;（-2）2=4;3-1=_1/3_;π0=__1;

（2）64的平方根是_±8,算术平方根是8_,立方根是4__.

失分点警示：

类似“的算术平方根”计算错误.例：

相互对比填一填：

16的算术平方根是4,的算术平方根是_2.

零次幂

a0=_1_（a≠0）

负指数幂

a-p=1/ap（a≠0，p为整数）

平方根、

算术平方根

若x2=a（a≥0）,则x=±a.其中a是算术平方根.

立方根

若x3=a,则x=3a.

10.混合运算

先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，

使问题简单化

第2讲整式与因式分解

知识点一：

代数式及相关概念

关键点拨及对应举例

1.代数

式

（1）代数式：

用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．

（2）求代数式的值：

用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做

求代数式的值．

求代数式的值常运用整体代入法计算.例：

a－b＝3，则3b－3a＝－9.

2.整式

（单项式、多项式）

（1）单项式：

表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.

（2）多项式：

几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.

（3）整式：

单项式和多项式统称为整式.

（4）同类项：

所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.

例：

（1）下列式子：

①-2a2;②3a-5b；③x/2;

④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②

⑥；同类项是①和⑤.

（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是1.

知识点二：

整式的运算

3.整式

的加

减运算

（1）合并同类项法则:

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

（2）去括号法则:

若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，

则括号里的各项都变号.

（3）整式的加减运算法则：

先去括号，再合并同类项.

失分警示：

去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.

例：

－2（3a－2b－1）＝－6a＋4b＋2.

4.幂运

算法则

（1）同底数幂的乘法：

am·an＝am＋n；

（2）幂的乘方：

（am）n＝amn；

（3）积的乘方：

（ab）n＝an·bn；

（4）同底数幂的除法：

am÷an＝am－n（a≠0）.

其中m,n都在整数

（1）计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：

已知2m+n=2,则3

×2m×2n=6.

（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：

2m·4m=23m.

5.整式

的乘

除运算

（1）单项式×单项式：

①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．

（2）单项式×多项式：

m（a+b）=ma+mb.

（3）多项式×多项式:

（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.

（4）单项式÷单项式：

将系数、同底数幂分别相除.

（5）多项式÷单项式：

①多项式的每一项除以单项式；②商相加．

失分警示：

计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：

（2a－1）（b＋2）＝2ab＋4a－b－2.

（6）乘法

公式

平方差公式：

（a＋b）（a－b）＝a2－b2.

注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用

完全平方公式：

（a±b）2＝a2±2ab＋b2.变形公式：

a2+b2=（a±b）2∓2ab,ab=【（a+b）2-（a2+b2）】/2

6.混合

运算

注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：

化简、代入替换、计算．

例：

（a-1）2-（a+3）（a-3）-10=_-2a__.

知识点五：

因式分解

7.因式

分解

（1）定义：

把一个多项式化成几个整式的积的形式．

（2）常用方法：

①提公因式法：

ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）.

②公式法：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）；a2±2ab＋b2＝（a±b）2.

（3）一般步骤：

①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式

法分解；③检查各因式能否继续分解.

（1）因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；

（2）因式分解与整式的乘法互为逆运算．

第3讲分式

知识点一：

分式的相关概念

关键点拨及对应举例

1.分式的

概念

A

（1）分式：

形如（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）

B

的式子.

（2）最简分式：

分子和分母没有公因式的分式.

在判断某个式子是否为分式时，应注意：

（1）判断化简之间的式子；

（2）π是常数，不是字母.

例：

下列分式：

①;②;③;④2x+2，其中是分

x2-1

式是②③④；最简分式③.

A

失分点警示：

在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.

x2-1

例：

当的值为0时，则x＝-1.

x-1

（1）无意义的条件：

当B＝0时，分式无意义；

B

2.分式的

A

（2）有意义的条件：

当B≠0时，分式有意义；

B

意义

A

（3）值为零的条件：

当A＝0，B≠0时，分式＝0.

B

3.基本性

质

AA⋅CA÷C

（1）基本性质：

==（C≠0）．

BB⋅CB÷C

（2）由基本性质可推理出变号法则为：

由分式的基本性质可将分式进行化简：

x2-1x-1

例：

化简：

=.

x2+2x+1x+1

A=-A=-（-A）；-A=-A=A.

B-BBBB-B

知识点三：

分式的运算

4.分式的

约分和通分

（1）约分（可化简分式）：

把分式的分子和分母中的公因式约去，

ama

即=；

bmb

（2）通分（可化为同分母）：

根据分式的基本性质，把异分母的分

acacbd

式化为同分母的分式，即,⇒,

bdbcbc

分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分.

例：

分式1和1的最简公分母

x2+xx（x-1）

为x（x2-1）.

5.分式的

加减法

（1）同分母：

分母不变，分子相加减.即a±b＝a±b；

ccc

（2）异分母：

先通分，变为同分母的分式，再加减.即a±c＝ad±bc

.

bdbd

例：

1+x＝－1.

x-11-x

1+1=2a.

a+1a-1a2-1

6.分式的

乘除法

（1）乘法：

a·c＝ac；

（2）除法：

a÷c＝ad；

bdbdbdbc

⎛a⎫nan

（3）乘方：

ç⎪＝n（n为正整数）.

⎝b⎭b

例：

a⋅b＝1；2÷1＝2y；

2ba2xxy

⎛3⎫3＝27.

ç-⎪-3

⎝2x⎭8x

7.分式的混合运算

（1）仅含有乘除运算：

首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.

（2）含有括号的运算：

注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，

再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．

失分点警示：

分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到

整体代入.

第4讲二次根式

知识点一：

二次根式

关键点拨及对应举例

1.有关概念

（1）二次根式的概念：

形如a（a≥0）的式子.

（2）二次根式有意义的条件：

被开方数大于或等于0.

（3）最简二次根式：

①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

失分点警示：

当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0

1

等.例：

若代数式有意义，则x的取值

x-1

范围是x＞1.

2.二次根式的性质

（1）双重非负性：

①被开方数是非负数，即a≥0；

②二次根式的值是非负数，即a≥0.

注意：

初中阶段学过的非负数有：

绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.

利用二次根式的双重非负性解题：

（1）值非负:

当多个非负数的和为0时，可得

各个非负数均为0.如a+1+b-1=0，则a=-1，b=1.

（2）被开方数非负:

当互为相反数的两个数同

时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知

b=a-1+1-a,则a=1,b=0.

（2）两个重要性质：

⎧⎪a（a≥0）

①（a）2＝a（a≥0）；②a2＝|a|＝⎨；

⎪⎩-a（a<0）

（3）积的算术平方根：

ab＝a·b（a≥0，b≥0）；

（4）商的算术平方根：

a=a（a≥0，b＞0）．

bb

例：

计算：

3.142＝3.14；（-2）2＝2；

24=；=2；4=4=2

993

知识点二：

二次根式的运算

3.二次根式的

加减法

先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．

例：

计算：

2-8+32＝32.

4.二次根式的

乘除法

（1）乘法：

（2）除法：

a·

ab

=

b=ab（a≥0，b≥0）；

a（a≥0，b＞0）．

b

注意：

将运算结果化为最简二次根式.例：

计算：

3⋅2＝1；32=32=4.

2322

5.二次根式的

混合运算

运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．

运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.

例：

计算：

（2+1）（2-1）=1.

知识点一：

方程及其相关概念

关键点拨及对应举例

1.等式的基

本性质

（1）性质1：

等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c.

（2）性质2：

等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），

所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，a=b（c≠0）．

cc

（3）性质3：

（对称性）若a=b,则b=a.

（4）性质4：

（传递性）若a=b,b=c,则a=c.

失分点警示：

在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.

例：

判断正误.

（1）若a=b,则a/c=b/c.（×）

（2）若a/c=b/c，则a=b.（√）

2.关于方程

（1）一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，

且等式两边都是整式的方程．

在运用一元一次方程的定义解题时，

注意一次项系数不等于0.

第二单元方程（组）与不等式（组）第5讲一次方程（组）

的基本概念

（2）二元一次方程：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次

例：

若（a-2）x|a-1|+a=0是关于x的一元一次方程，则a的值为0.

数都是1的整式方程．

（3）二元一次方程组：

含有两个未知数的两个一次方程所组成的

一组方程．

（4）二元一次方程组的解：

二元一次方程组的两个方程的公共解．

知识点二：

解一元一次方程和二元一次方程组

3.解一元一

次方程的步骤

（1）去分母:

方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；

（2）去括号：

括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；（3）移项：

移项要变号；

（4）合并同类项：

把方程化成ax=-b（a≠0）；

（5）系数化为1：

方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.

失分点警示：

方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.

4.二元一次

方程组的解法

思路：

消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.

已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组.例：

已知⎧2x-y=9则x-y的值为x-y=4.

⎨x-2y=3

⎩

方法：

（1）代入消元法:

从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；

（2）加减消元法：

把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未

知数的方法.

知识点三：

一次方程（组）的实际应用

5.列方程（组）

解应用题的一般步骤

（1）审题：

审清题意，分清题中的已知量、未知量；

（2）设未知数；

（3）列方程（组）：

找出等量关系，列方程（组）；（4）解方程（组）；

（5）检验：

检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；（6）作答：

规范作答，注意单位名称．

（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.

（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.

6.常见题型及关系式

（1）利润问题：

售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.

（2）利息问题：

利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.

（3）工程问题：

工作量=工作效率×工作时间.

（4）行程问题：

路程=速度×时间.①相遇问题：

全路程=甲走的路程+乙走的路程；

②追及问题：

a.同地不同时出发：

前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：

前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

第6讲一元二次方程

知识点一：

一元二次方程及其解法

关键点拨及对应举例

1.一元二次方程的相关概念

（1）定义：

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．

（2）一般形式：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、

一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．

例：

方程axa+2=0是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.

2.一元二次方程

（1）直接开平方法：

形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，可直接开平方求解.

（2）因式分解法：

可化为（ax+m）（bx+n）=0的方程，用因式分解法求解.

（3）公式法:

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为

解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考

虑能否用直接开平方法和因

的解法

x=-b±b2-4ac（b2-4ac≥0）.

2a

（4）配方法：

当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．

式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.

例：

把方程x2+6x+3=0变形为

（x+h）2=k的形式后，h=-3,k=6.

知识点二：

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

（1）当Δ＝b2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根．

例：

方程x2+2x-1=0的判别式

3.根的判别式

（2）当Δ＝b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根．

等于8，故该方程有两个不相等的

实数根；方程x2+2x+3=0的判

（3）当Δ＝b2-4ac<0时，原方程没有实数根．

别式等于－8，故该方程没有实数

根.

*4.根与系

数的关系

（1）基本关系：

若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.

（2）解题策略：

已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.

与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：

（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1,x12+x22

=（x1+x2）2-2x1x2,1+1=x1+x2等.

x1x2x1x2

失分点警示

在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.

知识点三：

一元二次方程的应用

（1）解题步骤：

①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元

二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．

4.列一元二次方程解应

用题

（2）应用模型：

一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.

①平均增长率（降低率）问题：

公式：

b＝a（1±x）n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；

②利润问题：

利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；

③传播、比赛问题：

运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.

④面积问题：

a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.

第7讲分式方程

知识点一：

分式方程及其解法

关键点拨及对应举例

1.定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

例：

在下列方程中，①x2+1=0；②

x+y=-4；③1=x，其中是分式方程的

x-1

是③.

2.解分式方程

方程两边同乘以最简公分母

基本思路：

分式方整式方程

约去分母

例：

将方程1+2=2转化为整式方程可

x-11-x

得：

1－2＝2（x－1）.

解法步骤：

（1）去分母，将分式方程化为整式方程；

（2）解所得的整式方程；

（3）检验：

把所求得的x的值代入最简公分母中，若最

简公分母为0，则应舍去．

3.增根

使分式方程中的分母为0的根即为增根.

例：

若分式方程1=0有增根，则增根为

x-1

1.

知识点二：

分式方程的应用

4.列分式方程

解应用题的一般步骤

（1）审题；

（2）设未知数；（3）列分式方程；（4）解分式方程；（5）检验：

（6）作答．

在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是

不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.

程

第8讲一元一次不等式（组）

知识点一：

不等式及其基本性质

关键点拨及对应举例

1.不等式

的相关概念

（1）不等式：

用不等号（＞，≥，＜，≤或≠）表示不等关系的式子.

（2）不等式