《数学模型 第三版 》学习笔记.docx
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《数学模型第三版》学习笔记
《数学模型(第三版)》学习笔记
写在开始
---小康社会欢迎您
今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想可能印象比较深刻。
可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是.
整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:
(一) “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;
(二) 模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释”,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始,前面的求解似乎是家常便饭了;
(三) 用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。
从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。
最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~
——TonySun July2012,TJU
(目前已更新:
全12章)
第1章建立数学模型
关键词:
数学模型意义特点
第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。
其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。
但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。
椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:
用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。
第2章初等模型
关键词:
初等数学简化技巧思想
这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。
如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。
2.1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。
有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:
不存在满足上述公理的分配方法。
这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。
这给我们什么启示呢?
有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?
答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。
录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。
2.7实物交换——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。
2.10量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:
仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。
这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。
关键:
恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。
物理知识和经验是关键。
第2章小结:
本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。
第3章简单的优化模型
关键词:
简单优化微分法建模思想
本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。
在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。
虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。
3.1存贮模型
分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。
对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。
3.2生猪出售时机
关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。
3.3森林救火
亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。
只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。
3.4最优价格
主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。
3.5血管分支
是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。
3.6消费者的选择
一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。
分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。
3.7冰山运输
也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。
其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。
第4章数学规划模型
关键词:
数学规划方法lingo/lindo软件结果深入分析变量个数
约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。
本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:
常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。
这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:
1.lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;
2.一些细节之处:
把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);
3.多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;
4.同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种furtherdiscussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:
“这是偶然的吗?
”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。
如p109选课策略。
5.减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。
6.求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。
第5章微分方程模型
关键词:
动态模型合理假设分析预测控制
这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。
对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。
自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。
一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。
5.1传染病模型
本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:
SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。
可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节。
其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。
模型改进、建模目的性、方法三者配合,是本节亮点。
5.2经济增长模型
通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。
本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。
本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。
5.3正规战与游击战
这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。
重点在于建模过程:
如何描述战争双方的特性,如何作假设。
然后用来分析硫磺岛战役。
这节很好地体现了微分方程的强大。
5.4药物在体内的分布与排除
本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。
重点在于1)模型的假设:
尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。
先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。
5.5香烟过滤嘴的作用
看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。
本例是经典的建模案例。
5.6人口的预测和控制
本节模型与之前的区别在于:
考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。
过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。
5.7烟雾的扩散与消失
这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。
5.8万有引力定律的发现
十分有意义的一节。
我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。
这个模型告诉我们:
正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。
我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。
第6章稳定性模型
关键词:
稳定性理论建而不解平衡状态趋势相轨线
本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。
这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。
*6.6微分方程稳定性理论简介
这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。
数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。
6.1捕鱼业的持续收获
研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。
这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。
在稳定的前提下步步深入。
6.2军备竞赛
这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。
正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:
一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。
6.3种群的相互竞争6.4种群的相互依存6.5食饵-捕食者模型
这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。
其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:
从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。
第7章差分方程模型
关键词:
差分方程稳定性离散时段差分阻滞增长混沌
将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。
这章与第8章讨论的是确定性离散模型。
实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。
离散的一个优势在于,便于计算机求解。
7.5差分方程简介:
介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。
本章要用到的知识。
7.1市场经济中的蛛网模型
先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。
本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。
本节最后对结果的解释也非常值得学习:
启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。
7.2减肥计划——节食与运动
这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI衡量)。
我认为这个模型的两点仍然在建模本身:
及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。
其中p208的“基本方程”式
(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。
注意到,式
(1)其实是一个“建而不解”的方程。
但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。
但我们先要学习的还是建模这一步。
7.3差分形式的阻滞增长模型
此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。
有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。
(按:
本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)
要注意的是:
若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。
推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:
此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。
我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。
这里微分、差分方程判别上有区别。
P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。
然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。
混沌的特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。
7.4按年龄分组的种群增长
这个模型的主要区别在于:
将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。
这一节的数学推导稍繁。
第8章离散模型
关键词:
层次分析排名次冲量过程“分赃”群体决策
(本章是确定性离散模型的应用、方法)
8.1层次分析模型
社会经济系统分析工具。
排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。
关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。
8.2循环比赛的名次
这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:
邻接矩阵+得分向量。
转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。
按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。
对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。
(p246)
8.3社会经济系统的冲量过程
区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。
主要工具有:
带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。
其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。
这是实际问题关注的。
8.4效益的合理分配
几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?
也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。
本节介绍了3类方法:
Shapley值,协商解等,Raiffa解。
最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。
3种方法特点在p262。
是客观求各因素权重的有力途径。
8.5存在公正的选举规则吗
这一节类似第2章的“公平席位”。
主要讨论的是“群体决策”这一类问题。
首先是简单的选举规则。
接着介绍ArrowK的工作:
提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。
然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。
第9章概率模型
关键词:
随机模型基础概率生灭过程数值解分析
相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。
概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。
关键点有:
1.如何定义随机因素相关的量。
针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。
2.随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。
3.要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。
4.一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。
5.有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。
第10章统计回归模型
关键词:
数据拟合 MATLAB统计残差分析自相关逐步回归
对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。
关键点有:
1.做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。
2.用MATLAB统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:
如何由MATLAB输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。
3.(考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。
4.利用好回归变量的预测(置信)区间。
5.改进回归模型:
逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。
若MATLAB拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。
还可加上作图对比前后模型(p300)。
6.残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。
7.p307评注内容:
0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。
8.线性化(p309),及非线性MATLAB求解(p310);p315最后两段。
9.自相关的考虑(10.4节):
若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。
我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。
10.逐步回归:
因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。
第11章马氏链模型
关键词:
离散随机过程无后效性转移概率状态选取
基本概念
这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。
总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。
1.无后效性/Markov性:
系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于1)这个时期状态2)转移概率,与以前各时期状态无关。
2.马氏链(MarkovChain)模型通常描述:
已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。
3.一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。
一、健康与疾病
主要介绍马氏链基本概念、要素:
系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。
本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。
同时介绍2种主要类型——
1)正则链:
从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);
2)吸收链:
首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。
吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。
二、钢琴销售的存贮策略
动态随机存贮。
一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。
判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。
这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。
三、基因遗传
用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。
随机交配过程推导的结果是(p^2,2pq,q^2)分布将保持下
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