正弦余弦定理解三角形学案4课时.docx
- 文档编号:26857683
- 上传时间:2023-06-23
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:100.24KB
正弦余弦定理解三角形学案4课时.docx
《正弦余弦定理解三角形学案4课时.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《正弦余弦定理解三角形学案4课时.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
正弦余弦定理解三角形学案4课时
第11章 解三角形
11.1.1 余弦定理
(1)
1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系.
2.掌握余弦定理及简单的应用.
活动一探索余弦定理
思考►►►
在三角形中,若已知两边及其夹角,如何求第三条边?
【解析】
结论:
余弦定理:
cosA=,cosB=,cosC=,
a2=,b2=,c2=.
活动二掌握余弦定理的简单应用
例1根据下列条件解三角形.
(1)已知b=3,c=1,A=60°,求a;
(2)已知a=2
,b=2,c=2,求A.
反思与感悟
如三角形中已知两边及夹角,或已知三边,求其他边或角时,常常使用余弦定理解决.
(1)在△ABC中,b2+c2=a2+bc,求A;
(2)在△ABC中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.
例2在△ABC中,A=120°,BC=
,D是AC的中点.若AB+AC=2,求BD的长.
反思与感悟
认清余弦定理的特征,求边和角时,要放在恰当的三角形中解决.
在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足b2=a2+c2-ac.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=4,求b的最小值.
1.在△ABC中,若a=7,b=4
,c=
,则△ABC的最小角为( )
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则A的大小为( )
A.60°B.45°C.120° D.30°
3.(多选)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足B=
,a+c=
b,则
的值为( )A.2B.3C.
D.
4.在△ABC中,已知a=5,b=4,C=120°,则c=________.
5.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2
x+2=0的两个根,且
2cos(A+B)=1.求:
(1)角C的大小;
(2)AB的长.
11.1.2 余弦定理
(2)
1.熟练掌握余弦定理的应用.
2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
活动一巩固余弦定理
1.回顾余弦定理(两种形式):
形式一:
形式二:
a2=cosA=
b2=cosB=
c2=cosC=
2.用余弦定理证明:
在△ABC中,当C是锐角时,a2+b2>c2;当C是钝角时,a2+b2<c2.
思考1►►►
上述结论反过来也成立吗?
若C为最大值,且a2+b2>c2,则△ABC是;
若a2+b2 若a2+b2=c2,则△ABC是. 活动二利用余弦定理判断三角形的形状 例1在△ABC中,AB=4,BC=5,CA=6,试判断△ABC的形状. 反思与感悟 判断三角形形状,可以用边之间的关系去判断(如满足勾股定理就是直角三角形),也可以用角(包括三角函数值)去判断. 已知在钝角三角形ABC中,B>90°,a=2x-5,b=x+1,c=4,求实数x的取值范围. 活动三利用余弦定理证明三角形中的有关结论 例2如图,AM是△ABC中BC边上的中线,求证: AM= . 思考2►►► 本题还有其他解法吗? 反思与感悟 三角形中边之间的关系,主要依靠余弦定理来联结. 平面四边形ABCD如图所示,其中△ABD为锐角三角形,AB=4,BC=1,CD=3,C=2A,cosA= ,求AD的长. 活动四利用余弦定理解决一些实际问题 例3A,B两地之间隔着一个水塘,现选择另一点C,测得CA=182m,CB=126m,∠ACB=60°,求A,B两地之间的距离(精确到1m). 反思与感悟 对于实际问题,先构造三角形,然后利用余弦定理,解决边角问题,最后回到实际中去. 在长江某渡口处,江水以5km/h的速度向东流.一渡船在江南岸的A码头出发,预定要在0.1h后到达江北岸B码头.设 为正北方向,已知B码头在A码头的北偏东15°,并与A码头相距1.2km.该渡船应按什么方向航行? 速度是多少? (角度精确到0.1°,速度精确到0.1km/h) 1.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则 · 的值为( ) A.79 B.69C.5 D.-5 2.已知锐角三角形的三边长分别为1,3,a,那么实数a的取值范围是( ) A.(8,10) B.(2 , )C.(2 ,10) D.( ,8) 3.(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果b2+c2=a2+bc, cosB+cosC=2cosA,那么△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰不等边三角形D.直角三角形 4.在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是____________. 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c,且(2a-c)2=4b2-3c2. (1)求角B的大小; (2)若b=1,求△ABC周长的最大值. 11.2.1 正弦定理 (1) 1.掌握正弦定理,并能解决一些简单的三角形中边与角的计算问题. 2.体会“由特殊到一般”的数学思想方法. 活动一了解正弦定理的探求过程 思考1►►► 在上节中,我们通过等式 = + 两边同时“平方”,推出了余弦定理.还有其他途径将向量等式 = + 数量化吗? 结论: 正弦定理: = = . 思考2►►► 你能从直角三角形的角度用其他方法推导出正弦定理吗? 正弦定理指出了三角形中三条边与对应角的正弦之间的关系,描述了三角形中边与角的一种数量关系. 活动二掌握正弦定理的简单应用 例1在△ABC中,已知b=16 ,A=45°,a=16 ,求角B,C及边c. (1)在例1的条件下,将“a=16 ”改为“a=16 ”结论如何? (2)在例1的条件下,将“a=16 ”改为“a=8”结论又如何? 反思与感悟 有三种情况,两解,一解,无解.要考虑大角对大边,大边对大角,及正弦定理有a>b⇔sinA>sinB,由此确定解的情况. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=3,且bsin2A=asinB. (1)求A; (2)若sinB= ,求c. 活动三掌握正弦定理在实际问题中的应用 例2在△ABC中,已知A=75°,C=60°,A,C之间的距离b为100m,求A,B之间的距离c. 如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求BC的长. 思考3►►► 下列哪些条件可以直接使用正弦定理来解三角形? (1) (2) (3) (4) 思考4►►► 哪些类型的解三角形问题可以直接用正弦定理解决呢? 【解析】 [学生用书P77] 1.在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3 ,则AC的长度为( ) A.4 B.2 C. D. 2.在△ABC中,若sinA>sinB,则下列选项正确的是( ) A.ab D.a,b的大小无法判定 3.(多选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b= , A=30°,则B的大小为( ) A.30°B.150°C.60°D.120° 4.在△ABC中,若a=3,b= ,A= ,则C的大小为________. 5.在△ABC中,已知a= ,b= ,B=45°,求A,C及c. 11.2.2 正弦定理 (2) 1.熟练掌握正弦定理的变形与运用. 2.掌握三角形中的面积公式. 3.学会将实际问题转化成解三角形的问题来求解. 活动一巩固正弦定理 例1在△ABC中,判断下列各命题是否正确. (1) = ; (2)若a+c=2b,则sinA+sinC=2sinB; (3)若sinBsinC=sin2A,则bc=a2. 反思与感悟 在三角形中,正弦定理可以将边之间的关系全部转换成角之间的关系,反之可以将角之间的正弦关系转换成边之间的关系. 已知命题: 若cosB= ,sinA= ,则A为钝角.判断该命题的真假. 活动二利用正弦定理判断三角形的形状 例2在△ABC中,已知 = = ,试判断△ABC的形状. 反思与感悟 对于三角形的形状,可以用边之间的关系,也可以用角之间的关系,所以要把条件中的边角关系,通过正弦定理,转换为纯的边或角的关系去判断. 根据下列条件,判断△ABC的形状. (1)sin2A+sin2B=sin2C; (2)acosA=bcosB. 活动三利用正弦定理证明三角形中的有关性质 例3如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,用正弦定理证明 = . 反思与感悟 三角形中有些性质,可以通过正弦定理去证明. 在△ABC中,证明: S△ABC= absinC= bcsinA= acsinB. 活动四利用正弦定理解决实际问题 例4如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进 1000m后到达D处,又测得山顶的仰角为65°,求山的高度BC(精确到1m). 反思与感悟在实际生活中,会遇到一些长度和角度的大小的测量问题,可以将这些量放在三角形中,然后利用正弦定理或余弦定理去解决. 一艘船以42nmile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东30°,30min后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东60°.求灯塔S与A之间的距离. 【解析】 1.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a= b,sinB=sinC,则B等于( )A.60° B.30°C.135° D.45° 2.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至点E,使AE=1,连结EC,ED,则sin∠CED的值为( ) A. B. C. D. 3.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( ) A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6;B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍;D.若c=6,则△ABC外接圆半径为 4.在△ABC中,若a=3 ,cosC= ,S△ABC=4 ,则b=________. 5.在△ABC中,已知A= ,cosB= . (1)求cosC; (2)若BC= ,求 · 的值.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 正弦 余弦 理解 三角形 课时