最新初中中考数学云南版类型②与圆的切线有关的证明精讲教学案.docx
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最新初中中考数学云南版类型②与圆的切线有关的证明精讲教学案
类型② 与圆的切线有关的证明
备考攻略)
1.切线的证明.
2.切线的性质的运用.
证明切线连半径或者作垂直拿不准.
在证明切线时,若切点明确,则“连半径,证垂直”,若切点不明确,则“作垂直,证半径”.在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
1.若切点明确,则“连半径,证垂直”.
常见手法有:
全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;
2.若切点不明确,则“作垂直,证半径”.
常见手法:
角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;
完成两个层次的证明:
①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直.在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、总结常添加的辅助线.
典题精讲)
方法一:
若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连接OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.
【例1】(2017沈阳中考)如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AC于点E,过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交CB的延长线于点G,且∠ABG=2∠C.
(1)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)若sin∠EGC=
,⊙O的半径是3,求AF的长.
【解析】
(1)连接OE,根据圆周角定理可得∠EOG=2∠C,因∠ABG=2∠C,即可得∠ABG=∠EOG,即可判定AB∥OE,再由EF⊥AB,可得∠AFE=90°,即可得∠GEO=∠AFE=90°,即OE⊥EG,又因为OE是⊙O的半径,所以EF是⊙O的切线;
(2)根据已知条件易证BA=BC,再求得BA=BC=6,在Rt△OEG中求得OG=5,在Rt△FGB中,求得BF=
,即可得AF=AB-BF=
.
【答案】解:
(1)详见解析;
(2)
.
1.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,以B为切点的切线交OD延长线于F.
求证:
EF与⊙O相切.
证明:
连接OE,AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD.
∴
=
,∠BOD=∠EOD.
又∵OB=OE,OF=OF,
∴△BOF≌△EOF(SAS).
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切,
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=90°.
∴EF与⊙O相切.
2.已知:
如图AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=30°,BD=OB,D在AB的延长线上.
求证:
DC是⊙O的切线.
证明:
连接OC,BC.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO=∠30°.
∴∠BOC=∠A+∠ACO=60°.
又∵OC=OB,
∴△OBC是等边三角形.
∴OB=BC.
∵OB=BD,
∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
3.如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.
求证:
PC是⊙O的切线.
证明:
连接OC.
∵OA2=OD·OP,OA=OC,
∴OC2=OD·OP,
=
.
又∵∠COD=∠COD,
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD⊥AB,
∴∠OCP=90°.
∴PC是⊙O的切线.
方法二:
若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称“作垂直;证半径”(一般用于函数与几何综合题).
【例2】(2017绥化中考)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于E,∠ADC的平分线交AE于点O,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点B,交BC于另一点F.
(1)求证:
CD与⊙O相切;
(2)若BF=24,OE=5,求tan∠ABC的值.
【解析】
(1)过点O作OG⊥DC,垂足为G,先证明∠OAD=90°,从而得到∠OAD=∠OGD=90°,然后利用AAS可证明△ADO≌△GDO,则OA=OG=r,则DC是⊙O的切线;
(2)连接OF,依据垂径定理可知BE=EF=12,在Rt△OEF中,依据勾股定理可求得OF=13,然后可得到AE的长,最后在Rt△ABE中,利用锐角三角函数的定义求解即可.
【答案】解:
(1)过点O作OG⊥DC,垂足为G.
∵AD∥BC,AE⊥BC于E,
∴OA⊥AD.∴∠OAD=∠OGD=90°.
在△ADO和△GDO中,
∴△ADO≌△GDO,∴OA=OG,∴DC是⊙O的切线;
(2)如图所示:
连接OF.
∵OA⊥BC,∴BE=EF=
BF=12.
在Rt△OEF中,OE=5,EF=12,∴OF=
=13.
∴AE=OA+OE=13+5=18.∴tan∠ABC=
=
.
4.已知:
如图,AC,BD与⊙O切于A,B,且AC∥BD,若∠COD=90°.
求证:
CD是⊙O的切线.
证明:
连接OA,OB,作OE⊥CD,点E为垂足.
∵AC,BD与⊙O相切,
∴AC⊥OA,BD⊥OB.
∵AC∥BD,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∵∠COD=90°,
∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°.
∵∠4+∠5=90°.
∴∠1=∠5.
∴Rt△AOC∽Rt△BDO.
∴
=
.
∵OA=OB,
∴
=
.
又∵∠CAO=∠COD=90°,
∴△AOC∽△ODC,
∴∠1=∠2.
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
1.(邵阳中考)如图所示,AB是⊙O的直径,点C为⊙O外一点,CA,CD是⊙O的切线,A,D为切点,连接BD,AD,若∠ACD=30°,则∠DBA的大小是( D )
A.15°B.30°C.60°D.75°
(第1题图)
(第2题图)
2.(潍坊中考)如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是( D )
A.10B.8
C.4
D.2
3.(无锡中考)如图,△AOB中,∠O=90°,AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发,在边AO上以2cm/s的速度向O点运动,与此同时,点D从点B出发,
在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动,过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了__
__s时,以C点为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切.
4.(绵阳中考)如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,点D是
的中点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若OF=4,求AC的长度.
解:
(1)DE与⊙O相切.
证明如下:
连接OD,AD,
∵点D是
的中点,
∴
=
,
∴∠DAO=∠DAC,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ODA,
∴∠DAC=∠ODA,
∴OD∥AE,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE与⊙O相切;
(2)连接BC交OD于点H,延长DF交⊙O于点G,由垂径定理可得:
OH⊥BC,BH=HC,
=
=
,
∴
=
,
∴DG=BC,
∴OH=OF=4,
∵OB=OA,BH=HC,OH∥AC,
∴OH是△ABC的中位线,
∴AC=2OH=8.
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