江苏省南京师范大学附属中学届高三数学模拟考试试题Word版含答案.docx

江苏省南京师范大学附属中学届高三数学模拟考试试题Word版含答案.docx

《江苏省南京师范大学附属中学届高三数学模拟考试试题Word版含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南京师范大学附属中学届高三数学模拟考试试题Word版含答案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

江苏省南京师范大学附属中学届高三数学模拟考试试题Word版含答案

江苏省南京师范大学附属中学2019届高三数学模拟考试试题

（满分160分，考试时间120分钟）

参考公式：

锥体的体积公式：

V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2－x－2＜0}，则A∩B＝________.

2.若复数z＝1－i，则z＋的虚部是________．

3.某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

4.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－2x＋y的最大值是________．

5.小明随机播放A，B，C，D，E五首歌曲中的两首，则A，B两首歌曲至少有一首被播放的概率是________．

6.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．

（第6题）

（第7题）

7.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱

长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________

．

8.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝2x，它的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点相同，则双曲线的方程是________________．

9.若直线y＝2x＋b是曲线y＝ex－2的切线，则实数b＝________.

10

.“a＝1”是“函数f（x）＝＋sinx－a2为奇函数”的________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

11.在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝________.

12.已知直线x－y＋b＝0与圆x2＋y2＝9交于不同的两点A，B.若O是坐标原点，且|＋|≥||，则实数b的取值范围是________________．

13.在△ABC中，已知·＋2·＝3·，则cosC的最小值是________．

14.已知函数f（x）＝x3－3x2＋1，g（x）＝若方程g（f（x））－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝（－1，），n＝（cosA，sinA），且m·n＝1.

（1）求A的值；

（2）若＝－3，求tanC的值．

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.

（1）求证：

AB∥EF；

（2）若AF⊥EF，求证：

平面PAD⊥平面ABCD.

17.（本小题满分14分）

如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向6千米处．

（1）警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；

（2）警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时

出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长．

18.（本小题满分16分）

如图，已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C经过点（0，），离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；

（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G,E．连结AE，BD，试问：

当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？

若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝lnx－ax＋a，a∈R.

（1）若a＝1，求函数f（x）的极值；

（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；

（3）对于曲线y＝f（x）上的两个不同的点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），记直线PQ的斜率为k，若y＝f（x）的导函数为f′（x），证明：

f′＜k.

20.（本小题满分16分）

已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，

2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；

（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，的前n项和为An.若数列{pn}满足p1＝c1，且对∀n≥2，n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：

Sn＜4＋4lnn.

数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A.（选修41：

几何证明选讲）

在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：

BN＝2AM.

B.（选修42：

矩阵与变换）

已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值．

C.（选修44：

坐标系与参数方程）

在极坐标系中，已知圆C：

ρ＝2cosθ和直线l：

θ＝（ρ∈R）相交于A，B两点，求线段AB的长．

D.（选修45：

不等式选讲）

已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：

＋≥.

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22.如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.

（1）求S＝的概率；

（2）求S的分布列及数学期望E（S）．

23.设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．

（1）若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对（A，B）的个数；

（2）若M＝{a1，a2，a3，…，an}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对（A，B）的个数．

江苏省南京师范大学附属中学2019届高三模拟考试

数学试题参考答案

1.{0，1}　2.－　3.10　4.5　5.　6.4　7.　8.－＝1　9.－2ln2　10.充分不必要　11.9　12.（－3，－]∪[，3）　13.　14.

15.解：

（1）因为m·n＝1，所以（－1，）·（cosA，sinA）＝1，即sinA－cosA＝1，（2分）

则2＝1，即sin＝.（4分）

又0

（2）由题知＝－3，整理得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0.（8分）

又cosB≠0，所以tan2B－tanB－2＝0，解得tanB＝2或tanB＝－1.（10分）

又当tanB＝－1时cos2B－sin2B＝0，不合题意舍去，所以tanB＝2.（12分）

故tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝－＝.（14分）

16.证明：

（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.（2分）

又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平

面PDC.（4分）

因为AB⊂平面ABE，平

面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.（7分）

（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.（8分）

因为AF⊥EF，AB∥EF，所以AB⊥AF.（9分）

又AB⊥AD，点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，所以AF∩AD＝A.

又AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.（12分）

又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.

（14分）

17.解：

（1）在△ABC中，AB＝6，∠A＝60°，∠APB＝75°，

由正弦定理，得＝，

即BP＝＝＝＝3（－），

故PB的距离是9－3千米.（4分）

（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．

设甲、乙之间的距离为f（t），要保持通话则需要f（t）≤9.

①当0≤t≤1时，

f（t）＝＝3≤9，（6分）

即7t2－16t＋7≤0，解得≤t≤.

又t∈[0，1]，所以≤t≤1，（8分）

故两人通过对讲机保持联系的时长为小时.

②当1

f（t）＝＝3≤9，（10分）

即t2－6t＋3≤0，解得3－≤t≤3＋.

又t∈（1，4]，所以1

故两人通过对讲机保持联系的时长为3小时．

由①②可知，两人通过对讲机能保持联系的总时长为3＋＝（小时）.

答：

两人通过对讲机能保持联系的

总时长是小时.（14分）

（注：

不答扣1分）

18.解：

（1）由题意知b＝.因为＝，所以＝，解得a＝2，

所以椭圆C的方程为＋＝1.（4分）

（2）因为点N为△F1AF2的内心，

所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，

则＝＝＝＝.（8分）

（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，

此时AE与BD交于F2G的中点.（9分）

下面证明：

当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T.

设直线l的方程为y＝k（x－1），

联立化简得（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0.

因为直线l经过椭圆C内的点（1，0），所以Δ＞0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝.（11分）

由题意，得D（4，y1），E（4，y2），则直线AE的方程为y－y2＝（x－4）．

令x＝，此时y＝y2＋×＝

＝＝

＝＝

＝＝＝0，

所以点T在直线AE上．

同理可证，点T在直线BD上.

（16分）

所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T.

19.

（1）解：

f′（x）＝－a＝，x>0，

当a≤0时，f′（x）>0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无极值；（2分）

当a>0时，x∈，f′（x）>0，f（x）在上单调递增，

x∈，f′（x）<0，f（x）在上单调递减．

故函数有极大值f＝a－lna－1，无极小值.（4分）

（2）解：

由

（1）可知当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，不可能有两个零点；

当a＞0时，函数有极大值f＝a－lna－1.

令g（x）＝x－lnx－1（x＞0）,则g′（x）＝1－＝.

当x∈（0，1），g′（x）<0，g（x）在（0，1）上单调递减；

当x∈（1，＋∞），g′（x）>0，g（x）在（1，＋∞）上单调递增，

函数g（x）有最小值g

（1）＝0.

若要使函数f（x）有两个零点，必须满足a>0且a≠1.（6分）

下面证明a>0且a≠1时，函数有两个零点．

因为f

（1）＝

0，所以下面证明f（x）还有另一个零点．

①当00，

f＝－2lna＋a－＝＝－.

令h（a）＝2alna－a2＋1（0

h（a）在（0，1）上单调递减，h（a）>h

（1）＝0，则f<0，所以f（x）在上有零点．

又f（x）在上单调递减，

所以f（x）在上有唯一零点，从而f（x）有两个零点．

②当a>1时，f＝a－lna－1>0，

f＝－a－a×＋a＝－a×<0.

易证ea>a，可得<，所以f（x）在上有零点．

又f（x）在上单调递减，

所以f（x）在上有唯一零点，从而f（x）有两个零点．

综上，a的取值范围是（0，1）∪（1，＋∞）.（10分）

（3）证明：

f（x1）－f（x2）＝lnx1－lnx2＋a（x2－x1），

k＝＝＝－a.

又f′（x）＝－a＝，f′＝－a，（12分）

所以f′－k＝－＝

＝.

不妨设0＜

x2＜x1,t＝，则t＞1，则－ln＝－lnt.

令h（t）＝－lnt（t>1），则h′（t）＝－<0，

因此h（t）在（1，＋∞）上单调递减，所以h（t）＜h

（1）＝0.

又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，

所以f′－k＜0，即f′＜k.（16分）

20.解：

（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列的公比为q（q≠1），

由题意，得⇒解得d＝1，q＝2，（4分）

所以an＝n，bn＝2n－1.

（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有2amanbi＝ambj＋anbk，即2mn·2i－1＝m·2j－1＋n·2k－1.

由于i

所以2mn＝m·2j－i＋n·2k－i≥2m＋4n，（6分）

可得mn≥m＋2n,即＋≤1.

①当1≤m≤2时，不等式＋≤1不成立；

②当或时，2mn·2i－1＝m·2j－1＋n·2k－1成立；（8分）

③当n≥4时，>0，<1，即m>2，则有m＋n>6；

所以m＋n的最小值为6，

当且仅当j－i＝1，k－i＝2，且或时取得.（10分）

（3）由题意，得p2＝＋c2，p3＝＋c3，…

Sn＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝（c1＋c2＋c3＋…＋cn）（11分）

＝Tn.

Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn　①，

Tn＝c1＋c2＋…＋cn　②.

①－②，得Tn＝1＋＋＋＋…＋－＝2－2－n，（12分）

解得Tn＝4－（n＋2）<4，

所以Sn<4.

设f（x）＝lnx＋－1（x>1），则f′（x）＝－＝>0，

所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，有f（x）>f

（1）＝0，可得lnx>1－.（14分）

当k≥2，且k∈N*时，>1，有ln>1－＝，

所以

可得1＋＋＋…＋<1＋ln＋ln＋…＋ln＝1＋lnn，

所以Sn<4<4＋4lnn.（16分）

21.A.证明：

在△ABC中，因为CM是∠ACB的平分线，所以＝.

又AC＝AB，所以＝　①.（4分）

因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，

所以BM·BA＝BN·BC，即＝　②.（8分）

由①②可知＝，所以BN＝2AM.（10分）

B.解：

矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－1）（λ－x）－4.（3分）

因为λ1＝3是方程f（λ）＝0的一个根，

所以（3－1）（3－x）－4＝0，解得x＝1.　（6分）

由（λ－1）（λ－1）－4＝0，解得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.（10分）

C.解：

圆C：

ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即（x－）2＋y2＝2.

直线l：

θ＝（ρ∈R）的直角坐标方程为y＝x，即x－y＝0.（6分）

圆心C（，0）到直线l的距离d＝＝1.（8分）

所以AB＝2＝2.　（10分）

D.证明：

（证法1）　因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，

所以[（2a＋1）＋（2b＋1）]＝1＋4＋＋

≥5＋2＝9.（8分）

而（2a＋1）＋（2b＋1）＝4，所以＋≥.　　（10分）

（证法2）因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得

[（2a＋1）＋（2b＋1）]≥

＝（1＋2）2＝9.　（8分）

由a＋b＝1，得（2a＋1）＋（2b＋1）＝4,所以＋≥.（10分）

22.解：

（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，

其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形（如△P1P4P5），共6×2＝12种，

所以P＝＝.　　（3分）

（2）S的所有可能取值为，，.

S＝的为顶角是120°的等腰三角形（如△P1P2P3），共6种，所以P＝＝.（5分）

S＝的为等边三角形（如△P1P3P5），共2种，所以P＝＝.　（7分）

又由

（1）知P＝＝，故S的分布列为

S

P

所以E（S）＝×＋×＋×＝.　（10分）

23.解：

（1）若集合B含有2个元素，即B＝{a1，a2}，

则A＝∅，{a1}，{a2}，则（A，B）的个数为3；

若集合B含有1个元素，则B有C种，不妨设B＝{a1}，则A＝∅，

此时（A，B）的个数为C×1＝2.

综上，（A，B）的个数为5.　（3分）

（2）集合M有2n个子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，

则不同的有序集合对（A，B）的个数为2n（2n－1）.（5分）

若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对（A，B）的个数为

C（C－1）＋C（C－1）＋C（C－1）＋…＋C（C－1）

＝（C）2＋（C）2＋（C）2＋…＋（C）2－（C＋C＋C＋…＋C）.（7分）

又（x＋1）n（x＋1）n的展开式中xn的系数为（C）2＋（C）2＋（C）2＋…＋（C）2，

且（x＋1）n（x＋1）n＝（x＋1）2n的展开式中xn的系数为C，

所以（C）2＋（C）2＋（C）2＋…＋（C）2＝C.

因为C＋C＋C＋…＋C＝2n，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，

有序集合对（A，B）的个数为C－2n.（9分）

所以当A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对（A，B）的个数为

＝.（10分）