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双曲线中常见结论
双曲线中常见结论:
一、离心率e=
=
二、焦半径
3、通径及通径长
4、核心到准线的距离
,中心到准线的距离
五、核心到渐近线的距离为b,垂足恰好在准线上。
六、P为双曲线上任一点,三角形PF1F2的内切圆圆心在直线x=a或x=-a上。
7、P为双曲线上任一点,以PF1直径的圆和x2+y2=a2相切。
八、双曲线
(λ≠0)和
有相同的渐近线和相同的离心率。
九、P为双曲线上一点,那么
的面积为S=
设PF1=m,PF2=n。
则m-n=2a
m2+n2-2mncosθ=4c2
mn=,∴S=
10、F1,F2是双曲线的两个核心,P为双曲线上任一点,∠PF1F2=α,∠PF1F2=β。
那么双曲线的离心率为e=
例(湖南卷)已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的右核心为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为
(O为原点),那么两条渐近线的夹角为 (D)
A.30º B.45º C.60º D.90º
例双曲线
的离心率为2,那么
的值为()
A.3 B.
C.3或
D.以上都不对
椭圆的几何性质
一、教学目标
(一)知识教学点
通过椭圆标准方程的讨论,使学生把握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用.
(二)能力训练点
通过对椭圆的几何性质的教学,培育学生分析问题和解决实际问题的能力.
(三)学科渗透点
使学生把握利用方程研究曲线性质的大体方式,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的明白得,如此才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等.
二、教材分析
1.重点:
椭圆的几何性质及初步运用.
(解决方法:
引导学生利用方程研究曲线的性质,最后进行归纳小结.)
2.难点:
椭圆离心率的概念的明白得.
(解决方法:
先介绍椭圆离心率的概念,再分析离心率的大小对椭圆形状的阻碍,最后通过椭圆的第二概念讲清离心率e的几何意义.)
3.疑点:
椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
(解决方法:
利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.)
三、活动设计
提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结.
四、教学进程
(一)温习提问
1.椭圆的概念是什么?
2.椭圆的标准方程是什么?
学生口述,教师板书.
(二)几何性质
依照曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是
b>0)来研究椭圆的几何性质.说明:
椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.
1.范围
即|x|≤a,|y|≤b,这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18).注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围之外的点.
2.对称性
先请大伙儿阅读讲义椭圆的几何性质2.
设问:
什么缘故“把x换成-x,或把y换成-y?
,或把x、y同时换成-x、-y时,方程都不变,因此图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢?
事实上,在曲线的方程里,若是把x换成-x而方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,点P关于y轴的对称点Q(-x,y)也在曲线上,因此曲线关于y轴对称.类似能够证明其他两个命题.
同时向学生指出:
若是曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种,那么它必然具有另一种对称.如:
若是曲线关于x轴和原点对称,那么它必然关于y轴对称.
事实上,设P(x,y)在曲线上,因为曲线关于x轴对称,因此点P1(x,-y)必在曲线上.又因为曲线关于原点对称,因此P1关于原点对称点P2(-x,y)必在曲线上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲线上,因此曲线关于y轴对称.
最后指出:
x轴、y轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.
3.极点
只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0,得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.强调指出:
椭圆有四个极点A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b).
教师还需指出:
(1)线段A1A2、线段B1B2别离叫椭圆的长轴和短轴,它们的长别离等于2a和2b;
(2)a、b的几何意义:
a是长半轴的长,b是短半轴的长;
这时,教师能够小结以下:
由椭圆的范围、对称性和极点,再进行描点画图,只须描出较少的点,就能够够取得较正确的图形.
4.离心率
教师直接给出椭圆的离心率的概念:
等到介绍椭圆的第二概念时,再讲清离心率e的几何意义.
先分析椭圆的离心率e的取值范围:
∵a>c>0,∴0<e<1.
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的阻碍:
(2)当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆;
(3)当e=0时,c=0,a=b两核心重合,椭圆的标准方程成为x2+y2=a2,图形确实是圆了.
(三)应用
为了加深对椭圆的几何性质的熟悉,把握用描点法画图的大体方式,给出如下例1.
例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、核心和极点的坐标,并用描点法画出它的图形.
本例前一部份请一个同窗板演,教师予以订正,估量不难完成.后一部份由教师讲解,以引发学生重视,步骤是:
(2)描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性就能够够画出整个椭圆(图2-19).要强调:
利用对称性能够使计算量大大减少.
本例实质上是椭圆的第二概念,是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一概念做预备的,同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一样步骤,因此,要详细讲解:
设d是点M到直线l的距离,依照题意,所求轨迹确实是集合P={M
将上式化简,得:
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).
这是椭圆的标准方程,因此点M的轨迹是椭圆.
由此例不难归纳出椭圆的第二概念.
(四)椭圆的第二概念
1.概念
平面内点M与一个定点的距离和它到必然直线的距离的比是常数
线叫做椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率.
2.说明
这时还要讲清e的几何意义是:
椭圆上一点到核心的距离和它到准线的距离的比.
(五)小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的,同一曲线由于坐标系选取不同,方程的形式也不同,可是最后得出的性质是一样的,即与坐标系的选取无关.前面咱们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质,类似能够明白得第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生最后小结以下表格:
五、布置作业
1.求以下椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个极点和核心坐标、准线方程:
(1)25x2+4y2-100=0,
(2)x2+4y2-1=0.
2.我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个核心的椭圆,近地址距地面266Km,远地址距地面1826Km,求这颗卫星的轨道方程.
3.点P与必然点F(2,0)的距离和它到必然直线x=8的距离的比是1∶2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
的方程.
作业答案:
4.极点(0,2)可能是长轴的端点,也可能是短轴的一个端点,故分两种情形求方程:
六、板书设计
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- 双曲线 常见 结论