讲案练案考案数学高三第一轮复习方案大纲.docx
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讲案练案考案数学高三第一轮复习方案大纲
讲案2.11对数函数
课前自主研习
温故而知新 可以为师矣
知识导读
1.定义
函数__________叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域为__________.
2.对数函数及其图象和性质
y=logax(a>0且a≠1)的图象特征和性质
图象
a>1
0<a<1
性质
值域__________
当x=1时,__________
当x>1时,______;
当0<x<1时,______
当x>1时,______
当0<x<1时,______
在________上是增函数
在(0,+∞)上是____
导读校对:
1.y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞) 2.R y=0 y>0 y<0 y<0 y>0 (0,+∞) 减函数
基础热身
1.已知图中曲线C1、C2、C3、C4是函数y=logax的图象,则曲线C1、C2、C3、C4对应的a的值依次可能为( )
A.3、2、、
B.2、3、、
C.2、3、、
D.3、2、、
解析:
设C1:
y=loga1x,C2:
y=loga2x,C3:
y=loga3x,C4:
y=loga4x.当y=1时,由图象可知a3<a4<1<a1<a2.
答案:
B
2.将y=2x的图象作怎样变化,再作关于直线y=x的对称图象,可得函数y=log2(x+1)的图象( )
A.先向左平移1个单位
B.先向右平移1个单位
C.先向上平移1个单位
D.先向下平移1个单位
解析:
y=log2(x+1)的反函数为y=2x-1,由此可知由y=2x先向下平移1个单位便得到y=2x-1.
答案:
D
3.函数f(x)=-log3(x2-2x)的单调递减区间为( )
A.(1,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,1)D.(2,+∞)
解析:
y=-log3x递减,y=x2-2x在(2,+∞)上递增,
∴f(x)=-log3(x2-2x)单调递减区间为(2,+∞).
答案:
D
4.已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若f(3)·g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )
解析:
首先清楚这两类函数图象在坐标中的位置和走向,另外还应知道f(x)=ax与g(x)=logax(a>0,a≠1)互为反函数,于是可排除A、D.
因B、C中关于y=x对称,最后利用函数值关系式f(3)·g(3)<0,排除B.
答案:
C
5.(2010·天津卷)若a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( )
A.a<c<bB.b<c<a
C.a<b<cD.b<a<c
解析:
a=log54<1,log53<log54<1,b=(log53)2<log53,c=log45>1,故b<a<c.
答案:
D
6.函数f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=-x对称,则函数y=f(4x-x2)的递增区间是__________.
解析:
设(x,y)是f(x)的图象上任意一点,
则点(x,y)关于直线y=-x的对称点(-y,-x)在函数y=2x的图象上,
∴-x=2-y即-y=log2(-x),
∴y=-log2(-x),这就是f(x)的解析式,
即f(x)=-log2(-x)(x<0).
∴f(4x-x2)=-log2(x2-4x)(x<0或x>4).
当x<0时,u=x2-4x是递减的,y=-log2u也是递减的,故f(4x-x2)的递增区间为(-∞,0).
答案:
(-∞,0)
思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思
疑难精讲
1.对数的大小比较
(1)比较同底数的两个对数值的大小,例如比较logaf(x)与logag(x)的大小,其中a>0且a≠1.
①若a>1,f(x)>0,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0.
②若0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x).
(2)同真数的对数值大小关系如图:
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)是互为反函数的两个函数.
(2)y=ax与y=logax(a>0且a≠1)的图象关于y=x对称.
3.解对数方程的基本思路是化为代数方程,常见的可解类型有:
(1)形如logaf(x)=logag(x)(a>0且a≠1)的方程,化成f(x)=g(x)求解.
(2)形如F(logax)=0的方程,换元法求解.
(3)形如logf(x)g(x)=c的方程,化成指数式[f(x)]c=g(x)求解.
互动探究
题型1对数型函数的定义域与值域
例1.对于函数f(x)=log
(x2-2ax+3),解答下列问题:
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)在[-1,+∞)内有意义,求实数a的取值范围;
(4)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;
(5)若函数f(x)的值域为(-∞,-1],求实数a的值;
(6)若函数f(x)在(-∞,1]内为增函数,求实数a的取值范围.
【思维点拨】 定义域为自变量x的取值范围,值域为对应函数值的集合,单调区间为定义域的子区间.
【解析】 设u=g(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2.
(1)∵u>0对x∈R恒成立,
∴umin=3-a2>0,
∴-<a<(或由x2-2ax+3>0的解集为R得Δ=4a2-12<0求出-<a<).
(2)∵f(x)的值域为R,∴u=g(x)的值域为(0,+∞),
∴Δ=4a2-12≥0,即a≥或a≤-.
∴实数a的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).
(3)由f(x)在[-1,+∞)上有意义,
知u=x2-2ax+3>0对x∈[-1,+∞)恒成立.
∵g(x)的对称轴为x=a.
∴当a<-1时,g(-1)>0,即,
解得-2<a<-1.
当a≥-1时,Δ<0,即-<a<,
∴-1≤a<.
故所求a的取值范围是(-2,-1)∪[-1,),
即(-2,).
(4)命题等价于x2-2ax+3>0的解集为{x|x<1或x>3}.
∴x2-2ax+3=0的两根为1和3,
∴2a=1+3,即a=2.
(5)∵y=f(x)≤-1,∴u=g(x)值域为[2,+∞).
∴3-a2=2,即a=±1.
(6)命题等价于⇔⇔,
即所求a的取值范围是[1,2).
【总结点评】
(1)定义域为R的问题实质上是不等式恒成立问题,一般转化为求函数的最值问题.
(2)值域为R的问题实质是x能取遍某区间上的所有值,一般利用方程有解的条件求参数的取值范围.
题型2对数型函数的单调性
例2.已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1,如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
【解析】
(1)由题设,3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,a>0且a≠1,
∵a>0,∴g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数,从而g
(2)=3-2a>0,
∴a<,∴a的取值范围为(0,1)∪(1,).
(2)假设存在这样的实数a,由题设知f
(1)=1,
即loga(3-a)=1,∴a=,
此时f(x)=log(3-x),
当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数不存在.
题型3对数函数的综合问题
例3.已知函数f(x)=loga是奇函数(a>0,a≠1).
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明;
(3)当a>1,x∈(r,a-2)时,f(x)的值域是(1,+∞),求a与r的值.
【思维点拨】 第
(1)问利用在定义域内f(-x)=-f(x)恒成立求出m.第(3)问由f(x)∈(1,+∞)转化为x的取值.再由x∈(r,a-2)建立关系式求出a与r的值.
【解析】
(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立,
即loga=-loga,
∴1-m2x2=1-x2恒成立,
∴m=-1或m=1(舍去),
∴m=-1.
(2)由
(1)得f(x)=loga(a>0,a≠1),
任取x1,x2∈(1,+∞).
设x1<x2,令t(x)=,
则t(x1)=,t(x2)=,
∴t(x1)-t(x2)=-=,
∵x1>1,x2>1,x1<x2,
∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0.
∴t(x1)>t(x2),即>,
∴当a>1时,loga>loga,
f(x)在(1,+∞)上是减函数;
当0<a<1时f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(3)当a>1时,要使f(x)的值域是(1,+∞),
则loga>1,∴>a,
即>0,
而a>1.∴上式化为<0 ①
又f(x)=loga=loga(1+),
∴当x>1时,f(x)>0;当x<-1时,f(x)<0.
因而,欲使f(x)的值域是(1,+∞),必须x>1,
所以对于不等式①,
当且仅当1<x<时成立,
∴,解得r=1,a=2+.
错解辨析
例4.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)
【错解】 y=2-ax是减函数,则a>0.
在对数函数中底数a∈(0,1)或a∈(1,+∞)
∴0<a<1.
【错因】 本题解答时,易犯两个错误.①忽略真数为正这一条件.②其中含有字母,忘记对字母分类讨论.
【正解一】 由y=logau,知a>0,因此u=2-ax单调递减,要使复合函数y=loga(2-ax)递减,则y=logau必递增,所以a>1,排除A、C.
又因为a=2时,y=log2(2-2x)在x=1时没有意义,但原函数x的取值范围是[0,1],所以a≠2,因此排除了D.∴选B.
【正解二】 先求函数定义域,2-ax>0,ax<2,因a是对数的底数,故a>0,从而x<,递减区间[0,1]必须在其定义域内,故有1<,a<2.
若0<a<1,当x在[0,1]上增大时,2-ax减小,loga(2-ax)增大,故函数y=loga(2-ax)在[0,1]上单调递增,与题设矛盾,故a>1.
综上所述,1<a<2,选B.
【答案】 B
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