第十二章 123离散型随机变量的分布列及均值方差.docx
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第十二章123离散型随机变量的分布列及均值方差
§12.3 离散型随机变量的分布列及均值、方差
最新考纲
考情考向分析
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列刻画随机现象的重要性,会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.
2.了解超几何分布,并能进行简单应用.
3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主,经常以频率分布直方图为载体,结合频率与概率,考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法.在高考中以解答题的形式进行考查,难度多为中低档.
1.离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量.
(2)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,具有如下性质:
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②i=1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
2.两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1-p
p
其中0
其中p=P(X=1)称为成功概率.
3.离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,并称其算术平方根为随机变量X的标准差.
4.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b为常数)
5.超几何分布
一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么
P(X=k)=(k=0,1,2,…,m),即
X
0
1
…
m
P
…
其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.
概念方法微思考
1.随机变量和函数有何联系和区别?
提示 区别:
随机变量和函数都是一种映射,随机变量是随机试验结果到实数的映射,函数是实数到实数的映射;
联系:
随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.
2.离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是什么?
提示 代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.
3.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确?
提示 可用pi≥0,i=1,2,…,n及p1+p2+…+pn=1检验.
4.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的?
提示 随机变量的均值、方差是一个常数,样本均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( √ )
(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ )
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.( √ )
(4)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(5)随机变量的均值是常数,样本的平均数是随机变量,它不确定.( √ )
(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小.( √ )
题组二 教材改编
2.[P77A组T1]设随机变量X的分布列如下:
X
1
2
3
4
5
P
p
则p为( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由分布列的性质知,++++p=1,
∴p=1-=.
3.[P68A组T1]已知X的分布列为
X
-1
0
1
P
设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )
A.B.4C.-1D.1
答案 A
解析 E(X)=-+=-,
E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.
4.[P49A组T1]有一批产品共12件,其中次品3件,每次从中任取一件,在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________.
答案 0,1,2,3
解析 因为次品共有3件,所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.
题组三 易错自纠
5.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是( )
A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数D.取到的球的个数
答案 C
解析 选项A,B表述的都是随机事件;选项D是确定的值2,并不随机;选项C是随机变量,可能取值为0,1,2.
6.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为______.
答案
解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球,
故P(X=4)==.
题型一 分布列的求法
例1设某人有5发子弹,当他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完.
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率;
(2)求他所耗用的子弹数X的分布列.
解 记“第k发子弹命中目标”为事件Ak,则A1,A2,A3,A4,A5相互独立,且P(Ak)=,P(k)=,k=1,2,3,4,5.
(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为
P(A12)+P(1A2)=P(A1)P
(2)+P
(1)P(A2)
=×+×=.
方法二 由独立重复试验的概率计算公式知,他前两发子弹只命中一发的概率为P=C××=.
(2)X的所有可能值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(12)
=×+×=,
P(X=3)=P(A123)+P(1A2A3)
=×2+×2=,
P(X=4)=P(A12A3A4)+P(1A234)
=3×+3×=,
P(X=5)=P(A12A34)+P(1A23A4)
=2×2+2×2=.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P
思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列.
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
跟踪训练1已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:
元),求X的分布列.
解
(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)==.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X=200)==,
P(X=300)==,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)
=1--=.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
题型二 均值与方差
例2某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:
新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;
项目二:
通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
解 若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为
X1
300
-150
P
∴E(X1)=300×+(-150)×=200.
若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为
X2
500
-300
0
P
∴E(X2)=500×+(-300)×+0×=200.
D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×
=35000,
D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140000.
∴E(X1)=E(X2),D(X1) 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资. 思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解. (2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值. (3)由已知条件,作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义,对实际问题作出判断. 跟踪训练2为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是: 滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与均值E(ξ),方差D(ξ). 解 (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0,40,80元, 甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为=,=. 两人都付0元的概率为P1=×=, 两人都付40元的概率为P2=×=, 两人都付80元的概率为P3=×=, 则两人所付费用相同的概率为 P=P1+P2+P3=++=. (2)设甲、乙所付费用之和为ξ,ξ的可能取值为0,40,80,120,160,则 P(ξ=0)=×=, P(ξ=40)=×+×=, P(ξ=80)=×+×+×=, P(ξ=120)=×+×=, P(ξ=160)=×=. 所以ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)=0×+40×+80×+120×+160×=80. D(ξ)=(0-80)2×+(40-80)2×+(80-80)2×+(120-80)2×+(160-80)2×=. 题型三 超几何分布 例3 (2017·山东)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下: 将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与均值E(X). 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M, 则P(M)==. (2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, P(X=4)==. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以X的均值 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×+2×+3×+4×=2. 思维升华 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题; ②随机变量为抽到的某类个体的个数. (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事); ②已知各类对象的个数; ③从中抽取若干个个体. 跟踪训练3PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示: PM2.5日均值(微克/立方米) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85] 频数 3 1 1 1 1 3 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率; (2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列. 解 (1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A, 则P(A)==. (2)由条件知,ξ服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=3,且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ=k)=(k=0,1,2,3). ∴P(ξ=0)==, P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, P(ξ=3)==. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 离散型随机变量的均值与方差问题 例(12分)为回馈顾客,某商场拟通过模拟兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定: 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: ①顾客所获的奖励额为60元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及均值; (2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 规范解答 解 (1)设顾客所获的奖励额为X. ①依题意,得P(X=60)==, 即顾客所获的奖励额为60元的概率为.[2分] ②依题意,得X的所有可能取值为20,60. P(X=60)=,P(X=20)==, 故X的分布列为 X 20 60 P [4分] 所以顾客所获的奖励额的均值为 E(X)=20×+60×=40.[5分] (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元, 所以,先寻找均值为60的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案, 因为60元是面值之和的最大值,所以均值不可能为60元; 如果选择(50,50,50,10)的方案, 因为60元是面值之和的最小值, 所以均值也不可能为60元; 因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况, 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案, 所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析. 对于方案1,即方案(10,10,50,50), 设顾客所获的奖励额为X1, 则X1的分布列为 X1 20 60 100 P [7分] X1的均值为E(X1)=20×+60×+100×=60, X1的方差为D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=.[9分] 对于方案2,即方案(20,20,40,40), 设顾客所获的奖励额为X2, 则X2的分布列为 X2 40 60 80 P [10分] X2的均值为E(X2)=40×+60×+80×=60, X2的方差为D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=. 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.[12分] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步: 确定随机变量的所有可能取值; 第二步: 求每一个可能取值所对应的概率; 第三步: 列出离散型随机变量的分布列; 第四步: 求均值和方差; 第五步: 根据均值、方差进行判断,并得出结论(适用于均值、方差的应用问题); 第六步: 反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范性. 1.若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 则X的均值E(X)等于( ) A.2B.2或C.D.1 答案 C 解析 由题意知,+=1,a>0,所以a=1, 所以E(X)=0×+1×=.故选C. 2.设随机变量X的分布列如下,则P(|X-2|=1)等于( ) X 1 2 3 4 P m A.B.C.D. 答案 C 解析 由++m+=1,得m=, 所以P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=+=.故选C. 3.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字和为X,则X≥8的概率是( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 由题意知,X的取值为6,9,12, 又P(X=9)==,P(X=12)==, 所以X≥8的概率为+=,故选C. 4.设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则P等于( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 由题意知,分布列为 ξ 1 P a 2a 3a 4a 5a 由分布列的性质可得,a+2a+3a+4a+5a=1, 解得a=. 所以P=P+P+P=++=.故选C. 5.一个袋中有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球,则小明得分大于6分的概率是( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 记得分为X,则X的可能取值为5,6,7,8,P(X=7)==;P(X=8)==,所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=+=. 6.设X是一个离散型随机变量,其分布列为 X -1 0 1 P 2-3q q2 则q等于( ) A.1B.± C.-D.+ 答案 C 解析 ∵+2-3q+q2=1,∴q2-3q+=0,解得q=±.又由题意知0 7.口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的分布列为______________________. 答案 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 解析 X的取值为3,4,5. 又P(X=3)==0.1,P(X=4)==0.3, P(X=5)==0.6. 所以X的分布列为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 8.随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________,公差d的取值范围是________. 答案 解析 ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. 又a+b+c=1,∴b=,∴P(|X|=1)=a+c=. 又a=-d,c=+d, 根据分布列的性质,得0≤-d≤,0≤+d≤, ∴-≤d≤. 9.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,则这两次取出白球数η的分布列为________________________________. 答案 η 0 1 2 P 解析 ∵η的所有可能值为0,1,2. P(η=0)==,P(η=1)==, P(η=2)==. ∴η的分布列为 η 0 1 2 P 10.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是过去200例类似项目开发的实施结果: 投资成功 投资失败 192例 8例 则估计该公司一年后可获收益的均值是________元. 答案 4760 解析 由题意知,一年后获利6000元的概率为0.96,获利-25000元的概率为0.04,故一年后收益的均值是6000×0.96+(-25000)×0.04=4760(元). 11.(2018·河南豫南九校联考)为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示. (1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数; (2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及均值. 解 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人, 送考2次的有100人,送考3次的有80人, ∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为=2.3. (2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人送考1次,另一人送考2次”为事件A,“这两人中一人送考2次,另一人送考3次”为事件B,“这两人中一人送考1次,另一人送考3次”为事件C,“这两人送考次数相同”为事件D, 由题意知X的所有可能取值为0,1,2, P(X=1)=P(A)+P(B)=+=, P(X=2)=P(C)==, P(X=0)=P(D)==, ∴X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=
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