非线性方程的解法.docx
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非线性方程的解法
20世纪60年代中期以后,发展了两种求解非线性方程组
(1)的新方法。
一种称为区间迭代法或称区间牛顿法,它用区间变量代替点变量进行区间迭代,每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。
这是区间迭代法的主要优点,其缺点是计算量大。
另一种方法称为不动点算法或称单纯形法,它对求解域进行单纯形剖分,对剖分的顶点给一种恰当标号,并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程
(1)的近似解。
这种方法优点是,不要求f(□)的导数存在,也不用求逆,且具有大范围收敛性,缺点是计算量大
编辑摘要
目录
∙1正文
∙2牛顿法及其变形
∙3割线法
∙4布朗方法
∙5拟牛顿法
∙
∙1正文
∙2牛顿法及其变形
∙3割线法
∙4布朗方法
∙5拟牛顿法
∙6最优化方法
∙7连续法
∙8参考书目
∙
非线性方程组数值解法-正文
n个变量n个方程(n>1)的方程组表示为
(1)
式中ƒi(x1,x2,…,xn)是定义在n维欧氏空间Rn的开域D上的实函数。
若ƒi中至少有一个非线性函数,则称
(1)为非线性方程组。
在Rn中记
ƒ=
则
(1)简写为ƒ(尣)=0。
若存在尣*∈D,使ƒ(尣*)=0,则称尣*为非线性方程组的解。
方程组
(1)可能有一个解或多个解,也可能有无穷多解或无解。
对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟,现有的解法也不象线性方程组那样有效。
除极特殊的方程外,一般不能用直接方法求得精确解,目前主要采用迭代法求近似解。
根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0,1,…),即可得到求解非线性方程组的各种迭代法,其中最著名的是牛顿法。
非线性方程组数值解法-牛顿法及其变形
牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序:
(2)
式中
是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程
(1)的解尣*的初始近似。
这个程序至少具有2阶收敛速度。
由尣k算到尣k+的步骤为:
①由尣k算出ƒ(尣k)及
;②用直接法求线性方程组
的解Δ尣k;③求
。
由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值,并求解一次n阶线性方程组。
为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣,通常用效率
作为衡量标准,其中P为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值ƒi及偏导数值
的总个数(每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内)。
效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义,牛顿法
(2)的效率为
。
牛顿法有很多变形,如当
奇异或严重病态时,可引进阻尼因子λk,得到阻尼牛顿法,即
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