完整版高数公式汇总.docx
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完整版高数公式汇总
导数公式:
(tgx)secx
(ctgx)cscx
(secx)secxtgx
(cscx)cscxctgx
(ax)axlna
(logax)1
xlna
基本积分表:
tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx
~2
ax
dx
~2
xa
dx
~2
ax
dx
2
ax
高等数学公式
IncosxC
InsinxC
InsecxtgxC
IncscxctgxC
1
x
-arctg—
C
a
a
1
xa
——In
C
2a
xa
1
ax
——In
C
2aax
arcsin仝Ca
In
2
sinxdx
cos
x2
2a'
x2
2a'
a2
x2
dx
dx
dx
o
三角函数的有理式积分:
2u
sinx2,cosx
1u2
2
u
2,
1u
(arcsinx)
(arccosx)
(arctgx)
(arcctgx)
dx
2~cosx
dx
~~~2-
sinx
xdx
x2
—x
2
2a
x2
—x
2
2a
x2
1a
2x
n
2
o
tgi,
1
1
1x2
1
1x2
sec2xdxtgxC
2
cscxdxctgxC
secxtgxdxsecxC
cscxctgxdxcscxC
x
axdx—C
Ina
shxdxchxC
chxdxshxC
22
In(x、xa)C
22v7xa
In
2a—In(x
2
2a.一Inx
2
2
a.xarcsinC
2
x2a2)C
、x2a2
dx
2du
1u2
一些初等函数:
两个重要极限:
sinx’
lim1
x0x
lim(1-)xe2.718281828459045…
x
archxIn(xx21)
三角函数公式:
•诱导公式:
、\函数
角A
sin
COS
tg
Ctg
-a
-sina
COSa
-tga
-Ctga
90°a
COsa
sina
Ctga
tga
90°a
COsa
-sina
-Ctga
-tga
180°a
sina
-COSa
-tga
-Ctga
180°a
-sina
-COSa
tga
Ctga
270°a
-COSa
-sina
Ctga
tga
270°a
-COSa
sina
-Ctga
-tga
360°a
-sina
COSa
-tga
-Ctga
360°a
sina
COSa
tga
Ctga
-和差角公式:
sin(
)sin
COS
COS
sin
COS(
)COS
COS
sin
sin
tg(
)汽
tg
1tg
tg
Ctg(
)Ctg
Ctg
1
Ctg
Ctg
-和差化积公式:
sin
sin
2sin
COS
2
2
sin
sin
2cos
sin
2
2
COSCOS2COSCOS
22
COS
COS
2sin
sin
2
2
sin2
2sincos
cos2
2cos21
ctg2
ctg21
2ctg
tg2
2tg
2
1tg
•倍角公式:
12sin2
-半角公式:
2cos
2sin
sin3
3sin4sin3
cos3
4cos3cos
tg3
3tgtg3
13tg2
tg2
1
cos
Y2
1
cos
sin—
2
1cos
1cos
sin
sin
1cos
cos—
2
'1
cos
X
2
ctg—j
2\
:
1
cos
1cos
sin
1
cos
sin
1cos
-余弦定理:
-正弦定理:
ab
sinAsinB
c
sinC
2R
c2a2b22abcosC
•反三角函数性质:
arcsinxarccosx
2
arctgx
arcctgx
高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
f(a)f()(ba)
柯西中值定理:
丄型
f(a)
f()
F(b)
F(a)
F()
n
(n)k(nk)(k)
(uv)Cnuv
k0
(n)(n1)n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)
uvnuvuvuv
当F(x)x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理
曲率:
uv
(n)
定积分应用相关公式:
弧微分公式:
ds.1y2dx,其中ytg
平均曲率:
K.:
从M点到M点,切线斜率的倾角变化量;s:
MM弧长。
y1)
yiyn1]
2(y2y4yn2)伽gyni)]
功:
W
水压力:
引力:
F
函数的平均值:
y1f(x)dx
baa
b
2
f(t)dt
a
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
dM1M2向量在轴上的投影:
PrjuAB
Prju(aia2)PrjaiPJa?
(X2X1)2占2yi)2(Z2Z1)2
ABcos,是AB与u轴的夹角。
abcos
axbx
ayby
azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角:
cos
axbxaybyazbz
22
axay
y
az2.bx2
bz2
cab
ax
bx
ay
by
az
bz
absin
例:
线速度:
wr.
向量的混合积:
[abc](a
b)c
ax
bx
Cx
ay
by
Cy
az
bz
Cz
ccos,为锐角时,
代表平行六面体的体积。
平面的方程:
1、点法式:
A(xx0)B(y
y°)C(zZo)0,其中n{A,B,C},M°(x°,y°,z°)
2、一般方程:
AxByCzD0
3、截距世方程:
xy-1
abc
空间直线的方程:
x
x°
m
yy0zz°
nP
二次曲面:
2
2
2
1、椭球面:
务
y
.2
z
~2
1
a
b
c
2
2
2、抛物面:
』
y
乙(
;p,q同号)
P
2q
3、双曲面:
平面外任意一点到该平面的距离:
d
222
单叶双曲面:
与占令1
abc
222
双叶双曲面:
务占务1(马鞍面)
abc
xx0mt
t,其中s{m,n,p};参数方程:
yy0nt
zzopt
多元函数微分法及应用
全微分:
dz—dx—dy
xy
全微分的近似计算:
zdz
多元复合函数的求导法:
du—dx—dy—dzyz
fy(x,y)y
fx(x,y)x
z
f[u(t),v(t)]
dzdt
zu
ut
zv
vt
z
z
uz
v
z
f[u(x,y),v(x,y)]
X
u
Xv
X
当u
u(x,y),vv(x,y)时,
du
—dx—dy
dv
v
dx
—dy
xy
X
y
隐函数的求导公式:
隐函数F(x,y)0,
dy
Fx
d2y
.2
(
dx
卜y
dx
X
隐函数F(x,y,z)0,
z
Fx
•
z
Fy
X
Fz
y
卜z
隐函数方程组:
F(x,y,u,v)
0
j
(F,G
G(x,y,u,v)
0
(u,v:
u
1(F,G)
v
1
(F,G)
X
J(x,v)
X
J
(u,x)
u
1(F,G)
v
1
(F,G)
y
J(y,v)
y
J
(u,y)
微分法在几何上的应用:
x
空间曲线y
F
v
G
v
Fu
Gu
Fv
Gv
(t)
(t)在点M(xo,yo,zo)处的切线方程:
(t)
XXo
(to)
yo
(to)
zZo
(to)
在点M处的法平面方程:
(to)(xXo)(to)(y
yo)
(to)(ZZo)
FyFz
GyGzG
FzFxF
Gx,G
若空间曲线方程为:
F(x,y,z)°,则切向量t{
G(x,y,z)o
曲面F(x,y,z)o上一点M(Xo,yo,Zo),则:
过此点的法向量:
n{Fx(Xo,yo,Zo),Fy(Xo,yo,Zo),Fz(x。
y。
Zo)}过此点的切平面方程:
Fx(Xo,yo,Zo)(xXo)Fy(Xo,yo,Zo)(yy。
)
1、
2、
3、
过此点的法线方程:
xXo
yyo
Fy
Gy
Fz(xo,yo,Zo)(zZo)0
方向导数与梯度:
zZo
Fx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo,yo,Zo)Fz(Xo,yo,Zo)
函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为:
——cos—^in
lxy
其中为x轴到方向I的转角。
函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)—i—j
xy
它与方向导数的关系是:
-fgradf(x,y)e,其中ecosisinj,为I方向上的单位向量。
f是gradf(x,y)在I上的投影。
多元函数的极值及其求法:
2
2
曲面zf(x,y)的面积A
1
I.1
dxdy
D
yx
y
x(x,y)d
M
平面薄片的重心:
xMx
D
y
M
(x,y)d
D
M
D
D
y(x,y)d
D
(x,y)d
D
平面薄片的转动惯量:
对于X轴lxy2(x,y)d,
D
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a
柱面坐标和球面坐标:
zz
其中:
F(r,,z)f(rcos,rsin,z)
x
rsincos
球面坐标:
y
rsinsin,
dv
rd
rsin
d
drr2sindrdd
zrcos
2
r(,)
f(x,y,
z)dxdydzF(r,
)r2
sin
drdd
d
dF(r,,)r2
sin
dr
0
00
重心:
x
1
xdv,y
1
y
dv,z
1
zdv,其中
M
xdv
M
M
M
转动惯量:
Ix
/22、
(yz)
dv,
I
y(x2
2z
)dv,Iz
(x2
y2)dv
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
X(t),(t),则:
y(t)
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
二元函数的全微分求积:
QP
在——=一时,PdxQdy才是二兀函数u(x,y)的全微分,其中:
xy
(x,y)
u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0y00。
曲面积分:
对面积的曲面积分:
22
f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1Zx(x,y)Zy(x,y)dxdy
Dxy
对坐标的曲面积分:
P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中:
R(x,y,z)dxdy
R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
Dxy
P(x,y,z)dydz
P[x(y,z),y,z]dydz取曲面的前侧时取正号;
Dyz
Q(x,y,z)dzdx
Q[x,y(z,x),z]dzdx取曲面的右侧时取正号。
Dzx
两类曲面积分之间的关系:
PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds
高斯公式:
PQ
(Q
xy
-R)dvz
二PdydzQdzdxRdxdy二(PcosQcos
Rcos)ds
咼斯公式的物理意义—
通量与散度:
散度:
div-
PQ
—,即:
单位体积内所产生
的流体质量,若
div0,则为消失
xy
z
通量:
Ands
Ands
(PcosQcosRcos
)ds,
因此,高斯公式又可写成:
divAdv R人/F ()dydz( yzz -R)dzdx : x Q (上 x dxdy —)dxdy QPdx cos Qdy cos Rdz y cos dydz dzdx 上式左端又可写成: — — — — — — x y z x y z P Q R P Q R 空间曲线积分与路径无 关的条件: - R Q P R QP y z z x xy 斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系: i 旋度: rotA一x P 向量场A沿有向闭曲线 的环流量: ■: PdxQdyRdz-Atds 常数项级数: 等比数列: 1qq2 等差数列: 23 调和级数: -- 23 级数审敛法: (n1)n 2 丄是发散的 n 1正项级数的审敛法 ——根植审敛法(柯西判别法): 1时,级数收敛 设: limnUn,则1时,级数发散 1时,不确定 2、比值审敛法: 1时,级数收敛 设: ”m,则1时,级数发散 Un1时,不确定 3、定义法: snuu2un;limsn存在,贝叫攵敛;否则发散。 n 交错级数u1u2u3u4(或u1U2U3,Un0)的审敛法莱布尼兹定理: 调和级数: 级数: p级数 绝对收敛与条件收敛: (1)u1U2Un,其中Un为任意实数; (2)U1U2U3Un 如果 (2)收敛,则 (1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数; 如果 (2)发散,而 (1)收敛,则称 (1)为条件收敛级数。 1发散,而』收敛; nn 丄收敛; n 1: p1时发散 np\p1时收敛 幕级数: 1xx2 x3 |x1时,收敛于 对于级数(3)a a-|X a2x2 数轴上都收敛,则必存 在R, |x1时,发散 ,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全 R时收敛 R时发散,其中R称为收敛半径。 n anX R时不定 0时,R- 求收敛半径的方法: 设 lim n an1 an 其中an,an1是(3)的系数,则 0时,R 时,R0 函数展开成幕级数: 函数展开成泰勒级数: f(x)f(X°)(XX。 )f4x^(xX。 )2 2! f^x0)(xx0)n n! (n1) 余项: Rn (丄(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是: limRn0 (n1)! n Xo 0时即为麦克劳林公式: f(x)f(0)f(0)x^^x2 2! f(n)(0)n x n! 些函数展开成幕级数: m (1x) 1mxm(mJ)x2 2! m(m1)(mn1)n x n! 1x1) sinxx 3x_3! 5x 5! 2n1 欧拉公式: ix ecosx isinx 三角级数: f(t)Ao 1)n1 x (2n1)! cosx 或 sinx ix e 2 ixix ee 2 ixe tn)| Ansin(n n1 aA0,anAnsinn,S 其中,a。 正交性: 1,sinx,cosx,sin2x,cos2x上的积分=0。 傅立叶级数: (ancosnx n1 AnCOsn,sinnx,cosnx bnsinnx) tX。 任意两个不同项的乘积在[ f(x) a0 2 (ancosnxbnsinnx),周期 n1 an f(x)cosnxdx (n0,1,2 其中 bn f(x)sinnxdx (n1,2,3 1 1尹 11 2242 正弦级数: 余弦级数: 1 62 an bn 81 24 0,bn 0,an 1 尸 1 22 1 歹 1 32 1 4" 1 f(x)sinnxdx f(x)cosnxdx 0 周期为2l的周期函数的傅立叶级数: 2 (相加) 6 2 一(相减) 12 1,2,3 0,1,2 f(x) f(x) bnsinnx是奇函数 a0 2 ancosnx是偶函数 a0nxnx用廿口 f(X)Qni(anC0ST恥山丁)'周期21 微分方程的相关概念: 一阶微分方程: yf(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy0 可分离变量的微分方程: 一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式,解法: g(y)dyf(x)dx得: G(y)F(x)C称为隐式通解。 2、贝努力方程: 翌P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx 全微分方程: 如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程,即: uu du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中: -P(x,y),—Q(x,y) xy u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。 二阶微分方程: 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: (*)ypyqy0,其中p,q为常数; 求解步骤: 1、写出特征方程: ()r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数; 2、求出()式的两个根几卫 3、根据r,,r的不同情况,按下表写出(*)式的通解: r,,r2的形式 (*)式的通解 两个不相等实根(p24q0) nxr2x yc®C2e2 两个相等实根(p24q0) y(c1c2x)e"x 一对共轭复根(p24q0) yex(GCOSxc2sinx) r,i,Di p寸4qp2 2,2 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x),p,q为常数 f(x)exPm(x)型,为常数; f(x)ex[R(x)cosxFn(x)sinx]型
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