人教版八年级下册181平行四边形解答题专练包含答案.docx
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人教版八年级下册181平行四边形解答题专练包含答案
18.1平行四边形
1.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证:
AE=CF.
2.已知▱ABCD的周长为36cm,过点A作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E、F.若AE=2cm,AF=4cm.求▱ABCD的各边长.
3.
(1)如图1,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EF分别交AD,BC于点E,F.求证:
OE=OF;
(2)如图2,在▱ABCD中,若过点O的直线与BA,DC的延长线分别交于点E,F,能得到
(1)中的结论吗?
由此你能得到什么样的一般性结论?
4.如图,已知在▱ABCD中,AB=5,BC=3,AC=2
.
(1)求▱ABCD的面积;
(2)求证:
BD⊥BC.
5.已知:
如图,点E、G在平行四边形ABCD的边AD上,EG=ED,延长CE到点F,使得EF=EC。
求证:
AF∥BG。
6.如图所示,平行四边形ABCD内有一点E,满足ED⊥AD于D,∠EBC=∠EDC,∠ECB=45°。
请找出与BE相等的一条线段,并给予证明。
7.如图,已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点,且BE⊥AC,DF⊥AC。
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形(不再添加辅助线)。
8.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F。
求证:
△ABE≌△CDF。
9.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=32°。
分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF,使BE=BC,DF=DC,∠EBC=∠CDF,延长AB交边EC于点G,点G在E、C两点之间,连接AE、AF。
(1)求证:
△ABE≌△FDA;
(2)当AE⊥AF时,求∠EBG的度数。
10.在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若BD=7,AD=24,求线段DE的长.
11.如图所示,平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD,边AB和EF在同一条直线上,AC⊥CD且AC=AF,过点A作AH⊥BC交CF于点G,交BC于点H,连接EG.
(1)若AE=2,CD=5,求△BCF的周长;
(2)求证:
BC=AG+EG.
12.已知:
平行四边形ABCD中,∠ABC=45°,对角线AC⊥CD.
(1)如图1,若AD=6,求平行四边形ABCD的面积.
(2)如图2,连接BD交AC于O点,过点A作AE⊥BD于E,连接EC.求证:
ED=AE+
13.如图,在△ABC中,AB=BC=12cm,∠ABC=80°,BD是∠ABC的平分线,点E是AB边的中点。
(1)求∠EDB的度数;
(2)求DE的长。
14.已知:
如图,等边△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P。
(1)求证:
DP=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长。
15.如图,E是▱ABCD的边CD的中点,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:
△ADE≌△FCE;
(2)若∠BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.
16.如图,已知▱ABCD的周长为60cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长少8cm.求这个平行四边形的各边长.
参考答案
1.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF.
2.解:
∵▱ABCD中,AB=CD,BC=AD,又∵▱ABCD的周长为36cm.即AB+BC+CD+AD=36,即BC+CD=18,又∵S▱ABCD=BC·AE=CD·AF,∴2BC=4CD,即BC=2CD,解方程组
,得
,∴AB=CD=6cm,AD=BC=12cm.
3.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC.
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO.
∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴OE=OF.
(2)能得到
(1)中的结论.证明如下:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC.
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO.
∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴OE=OF.
一般性结论是:
过平行四边形对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于E,F两点,则OE=OF.
4.解:
(1)作CE⊥AB交AB的延长线于点E.
设BE=x,CE=h,
在Rt△CEB中,x2+h2=9①,
在Rt△CEA中,(5+x)2+h2=52②,
联立①②,解得x=
,h=
.
∴▱ABCD的面积为AB·h=12.
(2)证明:
作DF⊥AB,垂足为F,
∴∠DFA=∠CEB=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠DAF=∠CBE.
又∵∠DFA=∠CEB=90°,AD=BC,
∴△ADF≌△BCE(AAS).
∴AF=BE=
,BF=5-
=
,DF=CE=
.
在Rt△DFB中,BD2=DF2+BF2=(
)2+(
)2=16,
∴BD=4.
∵BC=3,DC=5,
∴CD2=DB2+BC2.
∴BD⊥BC.
5.证明:
连接FG,FD,GC。
∵EG=ED,EF=EC,∴四边形FGCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),∴FG∥DC,FG=DC(平行四边形对边相等且平行),在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,∴AB∥FG,AB=FG,∴四边形ABGF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),∴AF∥BG。
6.解:
CD=BE。
证明:
延长DE交BC于点H,作C关于EH的对称点G,连接EG。
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC。
又ED⊥AD,∴ED⊥BC。
∵∠ECH=45°,∴∠HEC=45°,∴∠DEC=135°,∵G与C关于EH对称,所以EG=EC,∠EGC=∠ECG=45°,∴∠BGE=135°,在△BGE和△DEC中,
,∴△BGE≌△DEC(AAS),∴CD=BE。
7.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF。
又∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF(AAS);
(2)解:
①△ABC≌△CDA,②△BCE≌△DAF。
8.证明:
在平行四边形ABCD中,AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵∠ABE=
∠ABD,∠CDF=
∠CDB,∴∠ABE=∠CDF。
在△ABE与△CDF中,
,∴△ABE≌△CDF。
9.
(1)证明:
在平行四边形ABCD中,AB=DC。
又∵DF=DC,∴AB=DF。
同理EB=AD。
在平行四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC。
又∵∠EBC=∠CDF,∴∠ABE=∠FDA,∴△ABE≌△FDA。
(2)解:
∵△ABE≌△FDA,∴∠AEB=∠FAD。
∵∠EBG=∠AEB+∠EAB,∴∠EBG=∠DAF+∠EAB。
∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°。
∵∠BAD=32°,∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°,∴∠EBG=58°。
10.∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AC,
∴∠CAD=∠ADE,
∴∠BAD=∠ADE,
∴AE=DE,
∵AD⊥DB,
∴∠ADB=90°,
∴∠EAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°,
∴∠ABD=∠BDE,
∴DE=BE,
∵在Rt△ABD中,∠ADB=90°
∴AB2=AD2+BD2,
∴AB=25,
∴DE=BE=AE=0.5AB=12.5
11.∵四边形ABCD,四边形CDEF是平行四边形,
∴AB=CD=5,CD=EF,AB∥CD,
∴AB=EF=5,
∴AE=BF=2,
∴AF=AC=3,
∵AB∥CD,AC⊥CD
∴AB⊥AC,
(2)证明:
在AD上取一点M,使得AM=AG,连接CM.
∵四边形ABCD,四边形EFCD都是平行四边形,
∴AB=CD=EF,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,
∵AH⊥BC,
∴AH⊥AD,
∵AC⊥AB,
∴∠BAC=∠GAM=90°,
∴∠FAG=∠CAM,
∵AF=AC,AG=AM,
∴△FAG≌△CAM(SAS),
∴∠ACM=∠AFG=45°,FG=CM.
∵∠ACD=∠BAC=90°,
∴∠MCD=45°=∠EFG,
∵EF=CD,FG=CM,
∴△EFG≌△DCM(SAS),
∴EG=DM,
∴AG+EG=AM+DM=AD=BC.
即BC=AG+EG.
12.
(1)∵∠ABC=45°,AC⊥CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∵AD=6,
(2)过C作FC⊥BD于F,
∵AE⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°,
∵∠AOE=∠COF,
∵平行四边形ABCD中,AO=CO,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF,OE=OF,
∵∠ABC=45°,AC⊥CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
设AC=AB=2x,
13.解:
(1)∵BD是∠ABC的平分线,AB=BC,∴点D是AC边的中点,又∵点E是AB边的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC。
∵∠ABC=80°,∴∠EDB=∠CBD=
∠ABC=40°;
(2)∵BC=12cm,由
(1)可知DE=
BC=6cm。
14.
(1)证明:
取BC的中点F,连接DF,则DF∥AB。
∵△ABC为等边三角形,∴∠CDF=∠A=60°,∴△CDF为等边三角形,∴DF=CD,又BE=CD,∴BE=DF,又DF∥AB,∴∠PEB=∠PDF。
∵在△DFP和△EBP中,∵
,∴△DFP≌△EBP(AAS),∴DP=PE,
(2)解:
由
(1)得△DFP≌△EBP,可得FP=BP,∵D为AC中点,DF∥AB,∴BF=
BC=
a,∴BP=
BF=
a。
15.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠DAE=∠F,∠D=∠ECF,∵E是▱ABCD的边CD的中点,∴DE=CE,在△ADE和△FCE中,∠DAE=∠F,∠D=∠ECF,DE=CE,∴△ADE≌△FCE(AAS);
(2)解:
∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF=3,∵AB∥CD,∴∠AED=∠BAF=90°,在▱ABCD中,AD=BC=5,∴DE=
=
=4,∴CD=2DE=8.
16.解:
根据题意,得
,解得:
BC=19,AB=11.∴▱ABCD的各边长分别为11cm,19cm,11cm,19cm.
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- 人教版八 年级 下册 181 平行四边形 解答 题专练 包含 答案