高考数学专题突破 40.docx
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高考数学专题突破40
2.2 抛物线的简单性质
第1课时 抛物线的简单性质
学习目标
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
知识点一 抛物线的简单性质
标准方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形
性质
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
x∈R,y≥0
x∈R,y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e=1
开口方向
向右
向左
向上
向下
通径
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点A,B,线段AB叫抛物线的通径,长度|AB|=2p
知识点二 焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则
y2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)
1.抛物线有一个顶点,一个焦点,一条对称轴,一条准线,一条通径.( √ )
2.当抛物线的顶点在坐标原点时,其方程是标准方程.( × )
3.抛物线的离心率均为1,所以抛物线形状都相同.( × )
4.焦准距p决定抛物线的张口大小,即决定抛物线的形状.( √ )
题型一 抛物线的简单性质
例1 已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性的简单应用
解
(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.
(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,
又焦点F是△OAB的重心,
则|OF|=|OM|.
因为F(2,0),
所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).
故设A(3,m),代入y2=8x得m2=24;
所以m=2或m=-2,
所以A(3,2),B(3,-2),
所以|OA|=|OB|=,
所以△OAB的周长为2+4.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单性质
(1)开口:
由抛物线标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.
(2)关系:
顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.
(3)定值:
焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.
跟踪训练1 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是( )
A.8p2B.4p2C.2p2D.p2
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性的简单应用
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组得或
不妨设A,B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p,-2p).
所以|AB|=4p,所以S△AOB=×4p×2p=4p2.
题型二 抛物线的焦点弦问题
例2 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 求抛物线的焦点弦长
解 因为直线l的倾斜角为60°,
所以其斜率k=tan60°=.
又F,
所以直线l的方程为y=.
联立
消去y,得x2-5x+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+
=x1+x2+p=5+3=8.
反思感悟 1.解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解.
2.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.
跟踪训练2 已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=p,求AB所在直线的方程.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 知抛物线焦点弦长求方程
解 由题意可知,焦点F.设A(x1,y1),B(x2,y2).
若AB⊥x轴,则|AB|=2p≠p,不合题意,
故直线AB的斜率存在,设为k,
则直线AB的方程为y=k.
联立消去x,整理得ky2-2py-kp2=0,
则y1+y2=,y1y2=-p2.
∴|AB|=
=·
=2p=p,
解得k=±2,
∴AB所在直线方程为y=2或y=-2.
题型三 与抛物线有关的最值问题
例3 设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若点B的坐标为(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求最值
解
(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x=-1.由抛物线的定义知,点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.
于是问题转化为在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF,AF与抛物线的交点即为点P,故最小值为=,即点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为.
(2)如图,把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2.
因为2>2,所以点B在抛物线内部.过点B作BQ垂直于准线,垂足为点Q,交抛物线于点P1,连接P1F.此时,由抛物线的定义知,|P1Q|=|P1F|.所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,
即|PB|+|PF|的最小值为4.
反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.
跟踪训练3 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( )
A.B.2C.D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求最值
答案 A
解析 如图,由抛物线的定义知
|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|,
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|+|PF|的最小值,
则当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值.
又A(0,2),F,
∴(|PA|+|PF|)min=|AF|==.
1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )
A.y2=8xB.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 C
解析 设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0),
由题意将x=或x=-分别代入y2=2px和y2=-2px,得|y|=p,
∴2|y|=2p=8,p=4.
即抛物线方程为y2=±8x.
2.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB等于( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性的简单应用
答案 D
解析 由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称,设A,B,a>0.S△AOB=×2a×=16,解得a=4,∴△AOB为等腰直角三角形,∠AOB=90°.
3.已知抛物线y=ax2的准线方程是y=-2,则此抛物线上的点到准线距离的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求距离
答案 B
解析 由题意知抛物线顶点到准线的距离最短,故最小值为2.
4.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为________.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 求抛物线的焦点弦长
答案 16
解析 由y2=8x得焦点坐标为(2,0),
由此直线方程为y=x-2,
由联立得x2-12x+4=0,
设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程知x1+x2=12,
∴弦长|AB|=x1+x2+p=12+4=16.
5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合应用
解 如图△OAB为正三角形,
设|AB|=a,则OD=a,
将A代入y2=2px,
即=2p×a,
解得a=4p.
∴正三角形的边长为4p.
1.讨论抛物线的简单性质,一定要利用抛物线的标准方程;利用简单性质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
2.抛物线中的最值问题:
注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化,其次是平面几何知识的应用.
一、选择题
1.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A.(6,+∞)B.[6,+∞)
C.(3,+∞)D.[3,+∞)
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性的简单应用
答案 D
解析 ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,
∴=3,即p=6.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为,
∴抛物线上的点到准线距离的取值范围是[3,+∞).
2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为( )
A.B.
C.D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求点坐标
答案 B
解析 由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F,所以点P的横坐标为,代入抛物线方程得y=±,故点P的坐标为,故选B.
3.已知抛物线y=2px2(p>0)的焦点为F,点P在抛物线上,过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为点Q,若抛物线的准线与对称轴相交于点M,则四边形PQMF的面积为( )
A.B.C.D.
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 C
解析 由P在抛物线上,得p=,故抛物线的标准方程为x2=4y,焦点为F(0,1),准线为y=-1,
∴|FM|=2,|PQ|=1+=,|MQ|=1,
则四边形PQMF的面积为××1=.
4.已知直线l1:
4x-3y+6=0和直线l2:
x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2B.3C.D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求最值
答案 A
解析 如图所示,动点P到l2:
x=-1的距离可转化为PF的距离,由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d==2.
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=10,则抛物线方程是( )
A.y2=8xB.y2=2x
C.y2=6xD.y2=4x
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 知抛物线焦点弦长求方程
答案 A
解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则=3,即x1+x2=6.
又|PQ|=x1+x2+p=10,
即p=4,∴抛物线方程为y2=8x.
6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=-1B.x=1
C.x=2D.x=-2
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
答案 A
解析 抛物线的焦点为F,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+.代入y2=2px,得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系,得=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1.
7.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为( )
A.18B.24C.36D.48
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 C
解析 不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),
依题意,l⊥x轴,且焦点F,
∵当x=时,|y|=p,
∴|AB|=2p=12,∴p=6,
又点P到直线AB的距离为+=p=6,
故S△ABP=|AB|·p=×12×6=36.
8.设F为抛物线C:
y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A.B.C.D.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 抛物线焦点弦的其他问题
答案 D
解析 由已知得焦点坐标为F,
因此直线AB的方程为y=.
即4x-4y-3=0.
联立直线和抛物线方程,并化简得x2-x+=0,
故xA+xB=.
根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p=+=12,
同时原点到直线AB的距离为h==,
因此S△OAB=|AB|·h=.
二、填空题
9.抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,|AF|=3,则|BF|=________.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
答案
解析 由题意知F(1,0),且AB与x轴不垂直,
则由|AF|=3,知xA=2.
设lAB:
y=k(x-1),代入y2=4x,
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以xA·xB=1,故xB=,
故|BF|=xB+1=.
10.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2,则这条抛物线的方程为________.
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 y2=±3x
解析 由题意设抛物线方程为y2=ax(a≠0),
当a>0时,弦的端点坐标为(1,±),代入抛物线方程得y2=3x,
同理,当a<0时,弦的端点坐标为(-1,±),代入抛物线方程得y2=-3x.
11.已知正三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px(p>0)的焦点,另外两个顶点在抛物线上,那么满足条件的正三角形的个数为________.
考点
题点
答案 2
解析 根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°,这时过焦点的直线与抛物线只有两个交点,所以正三角形的个数为2.
三、解答题
12.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
解 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),A(x0,y0),由题知M.
∵|AF|=3,∴y0+=3.
∵|AM|=,∴x+2=17,
∴x=8,代入方程x=2py0,得
8=2p,解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
13.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)过点F的直线l:
y=x+1交抛物线C于A,B两点,求△AOB的面积.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦长与中点弦的问题
解
(1)∵抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1),
∴抛物线C的标准方程为x2=4y.
(2)联立得x2-4x-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4,x1x2=-4,
∴|AB|==8.
又O(0,0)到直线y=x+1的距离d==,
∴△AOB的面积为S=×|AB|×d
=×8×=2.
14.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=3xB.y2=9x
C.y2=xD.y2=x
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 A
解析 作AM,BN分别垂直准线于点M,N,
则|BN|=|BF|,|AM|=|AF|.
又|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BN|,
∴∠NCB=30°,∴|AC|=2|AM|=2|AF|=6.
设A(x1,y1),B(x2,y2),|BF|=x,
则2x+x+3=6,得x=1,而x1+=3,x2+=1,
且x1x2=,
∴=,∴p=,
得抛物线方程为y2=3x.
15.已知抛物线y2=2x.
(1)设点A的坐标为,求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|;
(2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求最值
解
(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),
则|PA|2=2+y2
=2+2x
=2+.
∵x∈[0,+∞),且在此区间上函数是增加的,
故当x=0时,|PA|min=,
故距离点A最近的点的坐标为(0,0).
(2)设点P(x0,y0)是y2=2x上任一点,
则P到直线x-y+3=0的距离为
d==
=,
当y0=1时,dmin==,
∴点P的坐标为.
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