高等数学复习提纲(下).ppt
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复习要点复习要点一一.二重积分二重积分直角坐标系下计算直角坐标系下计算;p.8例例3,p.9例例4极坐标系下计算极坐标系下计算;p.15例例8,例例9积分区域的变换积分区域的变换,对称性对称性;p.11例例6二二.三重积分三重积分直角坐标系下的计算直角坐标系下的计算;p.25例例1,例例2柱坐标和球坐标下的计算柱坐标和球坐标下的计算;p.29例例4,例例5.p.32例例7对称性问题对称性问题.p.27.例例3,p.33例例8.三三.曲线积分曲线积分第一型曲线积分第一型曲线积分,p.58例例2,例例3,例例4第二型曲线积分第二型曲线积分,p65例例1,p.68.例例3,例例4.格林公式格林公式,p.76例例1,例例2,例例3,p.84例例7,例例8.四四.曲面积分曲面积分第一型曲面积分第一型曲面积分,p.92.例例1,例例2.第二型曲面积分第二型曲面积分,p.102.例例1,p.104例例2,例例3.高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式,p.112例例1,例例2,例例3.p.118例例4.五五.微分方程的初等积分法微分方程的初等积分法可变量分离方程可变量分离方程,p.153例例2,p.155.例例4p.157例例5,例例6,例例72.一阶线性方程一阶线性方程,p.170,习题习题9.2,3
(1)
(2),p.162.例例9.3.全微分方程与积分因子全微分方程与积分因子,p.164,例例11,p.167.例例13.4.可降阶二阶方程可降阶二阶方程,p.168例例14,例例15六六.二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程齐次方程解的结构和性质齐次方程解的结构和性质,p.186例例2非齐次方程解的结构和性质非齐次方程解的结构和性质p.189例例4,例例5欧拉方程的解法欧拉方程的解法,p.198例例2.七七.数项级数数项级数1.级数收敛的柯西收敛原理级数收敛的柯西收敛原理级数收敛的概念级数收敛的概念,p.208例例1.p-级数级数.正项级数收敛判别法正项级数收敛判别法比较判别法比较判别法.p.216例例2.p.217例例3比值判别法和根值判别法比值判别法和根值判别法,p219例例4,p.220例例5.积分判别法积分判别法,p.223.例例7.4.交错级数的莱布尼兹判别法交错级数的莱布尼兹判别法,p.226例例1,例例2.5.绝对收敛和条件收敛绝对收敛和条件收敛.p.228例例4,例例56.狄利克雷判别法和阿贝尔判别法狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,p.236例例6,例例7八八.函数项级数函数项级数1.函数项级数的一致收敛的概念和函数项级数的一致收敛的概念和M-判别法判别法.p248例例5.2.一致收敛的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法一致收敛的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.p.250例例7,例例8.一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质(定理定理6,7,8)p.255例例10,例例11,例例12.4.幂级数幂级数:
收敛半径收敛半径,收敛区间收敛区间,收敛域收敛域.例例13,p.269例例4例例6.5.泰勒级数泰勒级数.p.277p.278五个展开式五个展开式,p.280例例1例例3.九九.广义积分与含参变量积分广义积分与含参变量积分无穷积分的收敛与发散无穷积分的收敛与发散.p积分的敛散条件积分的敛散条件.p286例例1,例例2.绝对收敛和条件收敛绝对收敛和条件收敛.p.288引理引理,非负函数无穷积分敛散的比较判别法非负函数无穷积分敛散的比较判别法,p.289例例3,例例4.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.p.292例例5.瑕积分的收敛与发散瑕积分的收敛与发散,p.293.例例6,非负函数瑕积分敛散的比较判非负函数瑕积分敛散的比较判别法别法,p.296例例7.含参量广义积分和瑕积分含参量广义积分和瑕积分一致收敛概念及判别一致收敛概念及判别(M-判别法判别法),p.308例例1,例例2.狄利克雷判别法和阿贝尔判别法狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,p.310例例3,含参量广义积分的性质含参量广义积分的性质,p.311例例4,例例5.5.函数与函数与函数函数,两者关系公式两者关系公式,p.321例例7例例9.十十.傅立叶级傅立叶级三角函数系及其正交性三角函数系及其正交性;周期为周期为2的函数的傅立叶展开的函数的傅立叶展开.1求一阶常微分方程满足初始条件.解的解.代入初始条件C=2,于是,所求方程满足初始条件的解为09级二期高等数学级二期高等数学(一一)期末期末A卷试题参考解答卷试题参考解答二.计算二重积分其中D为圆域解三.验证数项级数收敛,并求其和.解四.若函数解五.计算曲线积分其中C是圆周的上半部分,方向从点解于是由于故积分和路径无关,于是O2六.求解一阶常微分方程:
解令则原方程化为即这是一个一阶线性方程.对应的齐次线性方程为分离变量,得(*)即下面用常数变易法,令则故原方程的解为代入原方程,得于是得方程(*)的解为因此七.求解二阶非齐次方程的初值问题:
解原方程可化为两个二阶非齐次方程和特征方程为通解为对方程,设特解为对方程,因1不是特征根,故设特解为代入方程得由此得它们对应的齐次方程都是代入后得C=1;由定解条件:
故本初值问题的解为于是得原方程的通解为八.计算曲面积分其中S为锥面解如图,记并设曲面所围区域为,由高斯定理因此取外侧.又故九.若函数求证:
函数在区间0,+)上有连续的导数;解而级数在区间0,+)上有连续的导数.且广义积分发散.在区间0,+)上一致收敛,于是均收敛,由M判别法,函数项级数即广义积分发散.证毕十.求幂级数的收敛半径,收敛域及和函数.解令原级数为由于当时,数项级数则记.则满足莱布尼兹判别法条件,从而收敛,故原幂级数收敛区域为1,1.下面求和函数.记于是即解令则其收敛域为十一.把函数展开成的幂级数,并求其收敛域.解x=1为瑕点,而十二.验证瑕积分收敛,并求其值.故瑕积分收敛,且其值为=4解令当十三.若讨论瑕积分的敛散性.当发散.由Drichlet判别法,积分收敛.即积分一致有界,下面讨论绝对收敛性:
当而积分收敛,由比较判别法,广义积分绝对收敛;当但由于此时广义积分收敛,而广义积分发散,于是广义积分即广义积分绝对收敛条件收敛.发散.十四.设在区间0,+)上单调递增且证因故因此级数收敛,其和为S=2.
(1)求证:
级数收敛并求其和;求证:
级数
(2)若函数也收敛.由于在0,+)上单调递增,因而由拉格朗日中值定理,在区间(n1,n)内,必有,使得由于收敛,由正项级数的比较判别法,级数收敛.故在此区间单调递减,为正项级数.故级数补充题(课本习题9.2第9题)求解积分方程其中问可微函数.解令则积分方程左端为于是原积分方程变为两边同时对x求导,得微分方程分离变量,得积分方程的解为其中C为任意常数.关键关键:
把积分方程变为微分方程把积分方程变为微分方程.一,完成以下各题计算累次积分解08级二期高等数学级二期高等数学(一一)期末期末A卷试题参考解答卷试题参考解答求解一阶线性微分方程解先解分离变量,得令则代入原方程,得即从而方程通解为L1L2二.(10分)求曲线积分解故积分值和路径无关,从而(0,0)(1,0)三.(10分)计算曲面积分其中S为上半球面与锥面所围区域的表面,取外侧.则有高斯公式及对称性,解记四.(10分)求解初值问题:
解齐次方程对应的特征方程为特征根为因此齐次方程的通解为由于0不是特征方程的根,故设非齐次方程的特解为代入原方程,比较系数,得即原方程的通解为由定解条件,得初值问题的解为五.(每小题5分,共10分)讨论下列广义积分的敛散性.解因为而无穷积分发散,.因为故而当故发散由比较判别法,无穷积分六.(10分)求幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛域,并求其和函数.因此从而由于解收敛半径为R=2,收敛区间为即(1,3).又由于级数当x=1收敛,当x=3时发散,故收敛区域为1,3).七.(10分)把函数展开成的幂级数,并求其收敛域.其收敛域为解令八.(6分)研究级数解因为而级数发散,故也发散,即级数不绝对收敛.但又函数单调下降,即于是由莱布尼兹判别法,级数收敛.因而级数条件收敛.的敛散性关于n单调下降,九.(6分)设n是自然数,求证:
方程存在唯一正实根且当时,数项级数证记故由f(x)的连续性必有又.又,由得当收敛.证毕.收敛.故根唯一.一.(每小题7分,共28分)设函数解08级二期高等数学级二期高等数学(一一)期末期末B卷试题参考解答卷试题参考解答计算二重积分其中D是由所围成的区域.解求解一阶常微分方程解方程改写为把x看作y的函数,是一阶线性方程.先解方程分离变量,得用常数变易法,令则代入,得因此于是原方程的通解为二.(10分)设曲线积分与路径无关,其中函数连续可导且求函数;又设L为曲线上从点O(0,0)到A(1,1)的弧段,求如上曲线积分I.解因为积分与路径无关,故必有即得由于故L2L1axyzO三.(10分)计算曲面积分其中S为上半球面.解取A:
x2+y24,z=0为辅助面,由高斯公式,故取上侧四.(10分)求解初值问题:
解先解齐次方程特征方程为重根故通解为对非齐次方程可设特解为.对非齐次方程因1是二重根,可设特解为代入,得C=1代入,得于是,原方程的通解为由由得得故初值问题的解为五.(每小题5分,共10分)讨论下列广义积分的敛散性.解因而无穷积分收敛,由比较判别法的极限形式得,无穷积分因而瑕积分发散,由比较判别法极限形式,瑕积分发散.收敛.六.(10分)求幂级数的收敛半径和收敛域,并求其和函数.故收敛半径R=1.收敛区间为(-1,1)收敛域为-1,1.记则于是于是故解七.(10分)将函数在点展开成幂级数,并求其收敛域.则所求的展开式为收敛域为解令八.(6分)研究级数的敛散性.记则从而递增,即单调递减,由莱布尼兹判别法,级数收敛.但而级数发散,由比较判别法,级数条件收敛.解显然也发散,故级数九.(6分)设单调递减,且级数发散,求证:
级数收敛.单调递减,故而交错级数发散,故必有从而于是而级数收敛,由比较判别法,级数收敛.证毕.证因
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