新大学生建模报告汇总席位分配.docx
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新大学生建模报告汇总席位分配
建模报告
----论文作者:
雷杨,吴开强,李欧洲
时间:
2006,5,7
席位分配
---------伯努利实验解决方案
摘要:
本文围绕席位分配这一问题采用了伯努利实验,采用了比较新型的方法和细致的算法分析,对分配过程中出现的种种情况都一一进行了分析,并依此与其它的现有方法比较。
我们认为该分配方案较简便且比较优越,很大程度上符合公平化原则
关键词:
伯努利实验公平化原则时间复杂度最大成功次数
一问题重述:
某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系40名。
若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4个席位。
现在丙系有6名学生转入甲乙两系,各系人数如表第二列所示。
仍按比例分配时出现了小数,在将取得整数的19席分配完毕后,三系同意剩下的1席参照所谓惯例分配给比例中小数最大的丙系,于是三系仍分别占有10,6,4席。
因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:
10的局面,会议决定下一届增加1席。
他们按照上述方法重新分配席位,计算结果见表。
显然这个结果对丙系太不公平了,因为总席位增加1席,而丙系却由4席减为3席
20个席位分配
21个席位分配
系别
学生人数
学生人数的比例
比例分配的席位
参照惯例的结果
比例分配的席位
参照惯例的结果
甲
103
51.5
10.3
10
10.815
11
乙
63
31.5
6.3
6
6.615
7
丙
34
17.0
3.4
4
3.570
3
总合
200
100.0
20.0
20
21.00
21
理想化原则:
设第i方人数为p,i=1,2,…,m,总人数P=,待分配的席位为N,
记q=Np/P
原则一,i=1,2,,m,即必须取,二者之一。
原则二,i=1,2,,m,即总席位增加时不应减少。
二模型假设
我们把甲乙丙三系分配席位的这个事件看为要从有20个红签180个白签(一共200=人数总和)的盒子里抽红签,对比抽得红签个数的概率大小来求得分配的名额。
三模型的建立与求解
解决方案
公式i=1,2,…,s(抽得红签个的概率)
是分配名额
是总人数
是第i组的人数
k是红签的个数
s是小组的个数
是每人被抽到的概率
由于抽签的伯努利原理,二项分布的极值点在[],其中[]为向下取整函数,抽红签的个数实际上就是最大的成功次数,所以我们的分配方案取值从k=[](k为整数时取为k-1)开始,首次计算出各个小组的k值,得出第一次要分配的人数为T=,则剩下的人为,,
我们会得出以下情况:
1.若T 2.若T=m则第一次分配恰好满足。 3.若T=m+1则对中最小的减1,也分配完毕。 定理证明: 已知T=k=[](当不为整数时),k=[]–1(为整数时), 证明1.先证不等式右边 i=1,2,3……s 因k(m)=[]是关于m的单增函数且 则k(m)k()= k(m)== 由于0<<1,所以得出 k(m)=,同理可得 k(m)=,……k(m)= ==m+1 则T 2再对不等式左边证明: 我们知道对一个数a>0,(a为有理数) a=[a]+(a),0<(a)<1其中[a]表示a的整数部分,(a)表示a的小数部分. 则由此出发 由于k(m)= = > =>m-s(0<<1) 又因为 是整数,且值大于m-s所以最后的取值T,不等式左边也得证 ●当为整数时,k=[]-1, 不等式右边k(m) 不等式左边 由于k(m)=-1 = > =>m-s(0<<1) 又因为 是整数,且值大于m-s所以最后的取值T,不等式左边仍成立 定理证明完毕 对分配方案的解释 1.第一次分配 我们分配名额时,让三个小组进行抽签,一共有总人数个签,其中有名额个红签,每组抽到几个红签就分配几个名额,然而这个方案肯定有人反对,因为有可能有的组一个也抽不到,所以我们给他们最有可能抽到的红签个数的名额。 这个过程是伯努利实验,伯努利实验是服从二项分布的。 这样大家心理都比较平衡。 2.第二次分配 由于第一次抽签有可能剩余,则原来各个小组被分到的人数就有可能加1,或保持不变。 我们就比较多一个名额的概率的大小,因为,假设都加1的情况下,概率大的表示被抽到的机会大,就该分配给这组。 所以第二次分配按概率大小,人数依次加上1,直到分配完毕。 分配中的特殊情况: k=[]为整数时,在k和k-1同时达到最大,这时应取k-1,因为成功的最可能次数最先是在k-1次达到的。 四模型的评价与算法分析 1.对于Q值方法,算法执行时间主要耗费在对S个小组分别分配完1个之后,用Q值公式分配余下的M-S个人,时间复杂度为O((M-S)S)。 2.伯努利方法,算法执行时间主要耗费在用取整函数对S个小组分配,基于最坏情况考虑,只分配M-S+1个人之后,剩余S-1个人,用求出各小组各分配一人的概率,将S-1个人分别分配给概率前S-1个最大的小组,用简单排序算法比较概率大小,最坏时间复杂度为O(S*S) 3.d’Hondt方法,算法执行时间主要耗费在基于最坏情况考虑,除数N取到M,则计算得商数表,语句频度为S*M,比较商数大小,由于只需S*M个中的前M个,考虑用堆排序方法,最坏 时间复杂度为O(S*M㏒(S*M)) 基于公平性原则的评价 1原则一在)且T 或当不是整数,而是整数且T 其他情况全部满足。 原理证明较繁,见附页 2原则二由分配过程知及分配函数随m的单增性,一定满足。 五应用例子 执行步骤及结果显示 组别 红签数=8 甲组113 乙组64 丙组50 丁组23 K=1 0.0946822 0.263923 0.325097 0.359862 K=2 0.175279 0.274829 0.263301 0.130859 K=3 0.214391 0.187762 0.139267 0.0302814 K=4 0.194901 0.0946569 0.0540954 0.00500519 K=5 0.140458 0.0375498 0.0164522 0.000628751 结果 3 2 2 1 红签数=21 K=1 0.280355 K=2 0.128138 0.282803 K=3 0.18801 0.181537 K=4 0.163635 0.202583 0.0832376 K=5 0.18007 0.170913 0.029006 K=6 0.162378 0.0079798 K=7 0.104158 0.123379 K=8 0.126558 0.0806136 K=9 0.135401 K=10 0.129133 K=11 0.110883 结果 9 5 4 2+1=3 红签数=24 K=1 0.23972 K=2 0.0888716 0.280027 K=3 0.151003 0.208162 K=4 0.126538 0.18842 0.110528 K=5 0.161252 0.184085 K=6 0.168387 0.146616 K=7 0.148164 K=8 0.112106 K=9 0.114271 0.0740761 K=10 0.126204 K=11 0.125493 K=12 0.113277 结果 10 6 4+1=5 2+1=3 n=250,n1=113,n2=64,n3=50,n4=23 总人数=250 Bernoulli法 Q值 甲 10 11 总分配名额24人 乙 6 6 丙 5 5 丁 3 2 Bernoulli法 Q值 总分配名额21人 甲 9 10 乙 5 5 丙 4 4 丁 3 2 Bernoulli法 Q值 总分配名额8人 甲 3 3 乙 2 2 丙 2 2 丁 1 1 另一种解法: 我们回想Bernoulli实验是有放回的,而如果我们做无 放回的抽签实验,我们就只用依次计算出最可能成功次数, 一次分配完毕,这就是超几何分布。 f(k)= 分配方案: 我们把甲乙丙三系分配席位的这个事件看为要从有20个红签180个白签(一共200=人数总和)的盒子里抽红签,对比抽得红签个数的概率大小来求得分配的名额。 先计算出第一组的最可能成功次数k,然后从总人数n中减去第一组人数,从总的红签数m中减去第一组的最可能成功次数,下来再计算第二组的最可能成功次数,依此类推,到最后一组时因为是无放回的因为把所有的签都要抽完,所以剩几个红签分配几个名额。 因此我们不必担心名额分配完后,有可能大于或小于实际名额数。 分配方法: 计算出最可能成功次数 k(m)= 证明过程如伯努利的最大成功次数,在此略去 由于超几何分配的不放回性,k(m)>k(m-1),很容易证明,k(m)最多比k(m-1)大1,则对若k(m)=k(m-1)+1,则对m的时候他们的剩下和m-1一样,则分配结果也一样。 否则k(m)=k(m-1),,剩下的则要判断下一个,分配过程如上面的分析过程。 同样对m-k来说,按照这种规定的同样进行,则分配的结果一样最可得出每组的名额随m的增大不减。 所以符合原则二。 原则一的合理性有待证明。 例子检验 红签数=21 甲组113 乙组64 丙组50 丁组23 K=1 K=2 1 K=3 0.203909 K=4 0.153647 0.342277 K=5 0.223486 0.286268 K=6 0.229602 K=7 0.16786 K=8 0.145809 K=9 0.176915 K=10 0.175231 K=11 0.142116 结果 9 6 4 2 总人数=250 Bernoulli法 Q值 超几何分布 甲131 10 11 11 应分配人是24 乙64 6 6 6 丙50 5 5 5 丁23 3 2 2 总人数=250 Bernoulli法 Q值 超几何分布 应分配人是21 甲 9 10 9 乙 5 5 6(64.*21/250=5.376) 丙 4 4 4 丁 3 2 2 六参考文献: 1《概率论》高教出版社 2《数据结构》西安电子科技大学出版社 3《Mathematica4教程》电子工业出版社2002.3 七附录: 关于原则一条件的合乎性证明: 因为 1.当为整数时,我们知道这时极值首先取到-1 -1=-1 而的值在(0,1)故一定不是整数。 向下取整是-1,向上取整是,根据分配理论,恰有第二轮分到即达到,分不到即是-1满足原则。 2.当不是整数,而是整数时 此时我们的分配有 3.当和都不是整数时。 = 3.1,即>-1 -1<=满足原则 3.2,即<-1 = 综上情况: 1.在<-1且T 或当不是整数,而是整数且T 原则一也不满足。 八Mathematics程序1 < s=BinomialDistribution[8,50./250]; For[i=0,i<8,i++,Print["","",i+1,,CDF[s,i+1]-CDF[s,i]]] < (list1=Table[{i,CDF[s,i+1]-CDF[s,i]},{i,0,21,1}]; list2=Table[{i,CDF[ss,i+1]-CDF[ss,i]},{i,0,21,1}];list3=Table[{i,CDF[sss,i+1]-CDF[sss,i]},{i,0,21,1}];list4=Table[{i,CDF[ssss,i+1]-CDF[ssss,i]},{i,0,21,1}];); MultipleListPlot[list1,list2,list3,list4,Ticks{{{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},6,{8,9},14,18,21},Automatic},PlotJoinedTrue,PlotStyle{{Hue[0.3]},{Hue[0.5]},{Hue[0.7]},{Hue[0.9]}},PlotLabel"n1=50","n2=64","n3=113","n4=23" Mathematica程序2 < f=HypergeometricDistribution[50,7.,250-113-64] PDF[f,6] 0.224314 PDF[f,5] 0.328994
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