中考数学试题分类解析汇编专题IV综合问题.docx

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中考数学试题分类解析汇编专题IV综合问题

2019-2020年中考数学试题分类解析汇编专题（IV）综合问题

一、选择题

1．（xx杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=

①如果，那么0＜a＜1；

②如果，那么a＞1；

③如果，那么﹣1＜a＜0；

④如果时，那么a＜﹣1．

则（　　）

　A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③

考点：

二次函数与不等式（组）；命题与定理．

分析：

先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．

解答：

解：

易求x=1时，三个函数的函数值都是1，

所以，交点坐标为（1，1），

根据对称性，y=x和y=在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），

①如果，那么0＜a＜1正确；

②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小题错误；

③如果，那么a值不存在，故本小题错误；

④如果时，那么a＜﹣1正确．

综上所述，正确的命题是①④．

故选A．

点评：

本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关键．　

2．（xx•杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）

　　A．2　　B．3　　C．4　　D．5

考点：

抛物线与x轴的交点。

分析：

根据抛物线的解析式可得C（0，3），再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论，求得k的值，即可求出答案．

解答：

解：

根据题意，得C（0，﹣3）．

令y=0，则k（x+1）（x﹣）=0，

x=﹣1或x=，

设A点的坐标为（﹣1，0），则B（，0），

①当AC=BC时，

OA=OB=1，

B点的坐标为（1，0），

=1，

k=3；

②当AC=AB时，点B在点A的右面时，

∵AC==，

则AB=AC=，

B点的坐标为（﹣1，0），

=﹣1，

k=；

③当AC=AB时，点B在点A的左面时，

B点的坐标为（，0），

=，

k=；

所以能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条；

故选B．

点评：

此题考查了抛物线与x轴的交点，此题要能够根据解析式分别求得抛物线与坐标轴的交点，结合等腰三角形的性质和勾股定理列出关于k的方程进行求解是解题的关键．

二、填空题

1．（4分）（xx•杭州）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于　πr或r　（长度单位）．

考点：

弧长的计算；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．

专题：

分类讨论．

分析：

作出图形，根据同角的余角相等求出∠H=∠C，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△ACD和△BHD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再利用锐角三角函数求出∠ABC，然后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ABC所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解．

解答：

解：

如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠H+∠DBH=90°，

∠C+∠DBH=90°，

∴∠H=∠C，

又∵∠BDH=∠ADC=90°，

∴△ACD∽△BHD，

∴=，

∵BH=AC，

∴=，

∴∠ABC=30°，

∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2=60°，

∴∠ABC所对的弧长==πr．

如图2，∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，

∴∠ABC所对的弧长==πr．

故答案为：

πr或r．

点评：

本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．

2．（xx•杭州）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为　（﹣1，1），（﹣2，﹣2）　．

考点：

利用轴对称设计图案。

分析：

根据轴对称图形的定义：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面．

解答：

解：

如图所示：

A′（﹣1，1），A″（﹣2，﹣2），

故答案为：

（﹣1，1），（﹣2，﹣2）．

点评：

此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出A的位置．

三、解答题

1．（10分）（xx•杭州）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣x，y=x的图象分别是直线l1，l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1，l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．

（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；

（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．

考点：

圆的综合题；切线长定理；轴对称图形；特殊角的三角函数值．

专题：

计算题；作图题．

分析：

（1）对圆P与直线l和l2都相切、圆P与直线l和l1都相切、圆P与直线l1和l2都相切三种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点P的坐标．

（2）由图可知：

该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等．只需求出其中的一条边就可以求出它的周长．

解答：

解：

（1）①若圆P与直线l和l2都相切，

当点P在第四象限时，

过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接OP，如图1所示．

设y=x的图象与x轴的夹角为α．

当x=1时，y=．

∴tanα=．

∴α=60°．

∴由切线长定理得：

∠POH=（180°﹣60°）=60°．

∵PH=1，

∴tan∠POH===．

∴OH=．

∴点P的坐标为（，﹣1）．

同理可得：

当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；

当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；

②若圆P与直线l和l1都相切，如图2所示．

同理可得：

当点P在第一象限时，点P的坐标为（，1）；

当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；

当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；

当点P在第四象限时，点P的坐标为（，﹣1）．

③若圆P与直线l1和l2都相切，如图3所示．

同理可得：

当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为（，0）；

当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为（﹣，0）；

当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为（0，2）；

当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为（0，﹣2）．

综上所述：

其余满足条件的圆P的圆心坐标有：

（，﹣1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、

（，1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、（，﹣1）、

（，0）、（﹣，0）、（0，2）、（0，﹣2）．

（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示．

由图可知：

该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，

由对称性可得：

该几何图形的所有的边都相等．

∴该图形的周长=12×（﹣）=8．

点评：

本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识，考查了作图的能力，培养了学生的审美意识，是一道好题．

2．（xx杭州）

（1）先求解下列两题：

①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；

②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．

（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？

请简单地写出．

考点：

等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

分析：

（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；

②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．

（2）从数学思想上考虑解答．

解答：

解：

（1）①∵AB=BC=CD=DE，

∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，

根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，

又∵∠EDM=84°，

∴∠A+3∠A=84°，

解得，∠A=21°；

②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，

∴点B（3，），

∵BC=3，

∴点C（3，+2），

∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，

∴A（1，+2），

∵点A也在反比例函数图象上，

∴+2=k，

解得，k=3；

（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）

点评：

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．　

3．（xx•杭州）如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．

（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：

使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；

（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明＞π．

考点：

作图—复杂作图；勾股定理；三角形的外接圆与外心。

分析：

（1）在数轴上截取AC=5a，再以A，C为圆心3a，4a为半径，画弧交点为B；

（2）利用△ABC的外接圆的面积为S圆，根据直角三角形外接圆的性质得出AC为外接圆直径，求出的比值即可．

解答：

解：

（1）如图所示：

（2）∵△ABC的外接圆的面积为S圆，

∴S圆=π×（）2=π，

△ABC的面积S△ABC=×3a×4a=6a2，

∴==π＞π．

点评：

此题主要考查了复杂作图以及直角三角形外接圆的性质，根据已知得出外接圆直径为AC是解题关键．

4．（xx•杭州）有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．

（1）请写出其中一个三角形的第三边的长；

（2）设组中最多有n个三角形，求n的值；

（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．

考点：

一元一次不等式组的应用；三角形三边关系；概率公式。

分析：

（1）设三角形的第三边为x，根据三角形的三边关系列出不等式组，再解不等式组即可；

（2）求出x的所有整数值，即可求出n的值；

（3）先求出该三角形周长为偶数的所有情况，再除以总的个数，即可求出答案．

解答：

解：

（1）设三角形的第三边为x，

∵每个三角形有两条边的长分别为5和7，

∴7﹣5＜x＜5+7，

∴2＜x＜12，

∴其中一个三角形的第三边的长可以为10．

（2）∵2＜x＜12，它们的边长均为整数，

∴x=3，4，5，6，7，8，9，10，11，

∴组中最多有9个三角形，

∴n=9；

（3）∵当x=4，6，8，10时，该三角形周长为偶数，

∴该三角形周长为偶数的概率是．

点评：

此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是根据三角形的三边关系列出不等式组，在解题时要注意x只能取整数．

5．（xx•杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．

（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

考点：

二次函数综合题。

分析：

（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：

y=，利用待定系数法即可求得答案；

（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；

（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣，k），A（1，k），即可得=，继而求得答案．

解答：

解：

（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），

∵A在反比例函数图象上，

∴设反比例函数的解析式为：

y=，

代入A（1，﹣2）得：

﹣2=，

解得：

m=﹣2，

∴反比例函数的解析式为：

y=﹣；

（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，

∴k＜0，

∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，的对称轴为：

直线x=﹣，

要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，

即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，

∴综上所述，k＜0且x＜﹣；

（3）由

（2）可得：

Q（﹣，k），

∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）

∴原点O平分AB，

∴OQ=OA=OB，

作AD⊥OC，QC⊥OC，

∴OQ==，

∵OA==，

∴=，

解得：

k=±．

点评：

此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．