计算机在材料科学中的应用课件2.ppt
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第二节第二节建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型的一般步骤和原则第三节第三节常用的数学建模方法常用的数学建模方法一、建立数学模型的一般步骤和原则一、建立数学模型的一般步骤和原则1、数学建模的定义、数学建模的定义2、数学建模的一般步骤和原则、数学建模的一般步骤和原则3、应用举例、应用举例数学建模的定义数学建模的定义一个一个过程过程一种一种科学方法科学方法实际问题实际问题数学模型数学模型观察力、想像力、逻辑思维观察力、想像力、逻辑思维抽象、简化,反复探索、抽象、简化,反复探索、逐步完善逐步完善特点:
特点:
定量的、从无到有的定量的、从无到有的创新活动过程。
创新活动过程。
模型模型分析分析合格合格到实际到实际中检验中检验应用应用重新建模重新建模合格合格不合格不合格数字数字结果结果稳定性分析稳定性分析灵敏度分析灵敏度分析误差分析误差分析重新建模重新建模评价、预评价、预测、优化测、优化评价不合格评价不合格评价合格评价合格数学建模的一般步骤和原则数学建模的一般步骤和原则(建模过程)(建模过程)(11)建模准备)建模准备(22)建模假设)建模假设(33)模型构造)模型构造(44)模型求解)模型求解(55)模型分析)模型分析(66)模型检验)模型检验(77)模型应用)模型应用选题选题:
是是确立建模课题确立建模课题的过程,的过程,就是要了解问题的实际背景,就是要了解问题的实际背景,明确建模的目的。
明确建模的目的。
最关键的一步最关键的一步:
根据建模的目的对原型进行适当根据建模的目的对原型进行适当的的抽象、简化抽象、简化,把那些反映问题本质属性的,把那些反映问题本质属性的形态、形态、量及其关系量及其关系抽象出来,简化掉那些非本质的因素、抽象出来,简化掉那些非本质的因素、使之摆脱原来的具体复杂形态,形成对建模有用使之摆脱原来的具体复杂形态,形成对建模有用的信息资源和前提条件。
的信息资源和前提条件。
合理性原则:
合理性原则:
(a)目的性原目的性原则则(b)简明性原则简明性原则(c)真实性原则真实性原则(d)全面性原则全面性原则假设假设分析分析选择工具选择工具与方法与方法模型模型模型模型分析分析设计或选设计或选择数学方择数学方法和算法法和算法编程或选编程或选软件包软件包计算计算例:
设长为例:
设长为l的均匀细杆,的均匀细杆,杆的侧面杆的侧面是绝热是绝热的。
假设热是经过杆的两个端的。
假设热是经过杆的两个端点流到外介质或流入杆内,且杆的两点流到外介质或流入杆内,且杆的两端端保持零度保持零度。
已知初始温度的分布为。
已知初始温度的分布为(x),求该问题的解。
求该问题的解。
模型准备模型准备模型假设模型假设模型建立模型建立模型求解模型求解模型分析、检验模型分析、检验模型应用模型应用例题例题:
以金属材料中空位形成能为例研究建模过程以金属材料中空位形成能为例研究建模过程基本步骤基本步骤:
(11)建模准备建模准备背景背景:
原子能的发展对于金属研究的影响:
原子能的发展对于金属研究的影响辐照辐照电离电离固体受到辐照固体受到辐照蜕变蜕变后产生效应后产生效应离位离位(产生空位和填隙原子产生空位和填隙原子)最主要最主要
(2)建模假设和构造模型建模假设和构造模型(A)晶体晶体(B)结构结构面心立方面心立方假设假设(C)原子间的交互作用限于原子间的交互作用限于最近邻最近邻(D)空位的形成能空位的形成能:
在晶体内取出:
在晶体内取出一个原子一个原子放到晶体的表面放到晶体的表面(但不改但不改变晶体的表面能变晶体的表面能)所需要的能量所需要的能量(E)为了不影响晶体的表面积,取出的原子应放在晶体表面的为了不影响晶体的表面积,取出的原子应放在晶体表面的台阶处台阶处(3)模型求解和模型分析模型求解和模型分析取出一个原子取出一个原子:
割断:
割断12个键个键(面心立方结构的配位数面心立方结构的配位数为为12)在表面台阶处置放一原子在表面台阶处置放一原子:
要形成:
要形成6个键个键净效应净效应:
割断:
割断6个键个键结论:
结论:
空位形成能应和晶体的结合能空位形成能应和晶体的结合能(即升华能即升华能)相等相等(4)模型检验模型检验模型得出的结论模型得出的结论空位形成能和结合能之间有密切的空位形成能和结合能之间有密切的关系是符合实验事实的:
结合能愈大,熔点愈高,则关系是符合实验事实的:
结合能愈大,熔点愈高,则空位的形成能也愈大。
空位的形成能也愈大。
空位形成能空位形成能(1/21/4)结合能结合能(实际)(实际)二者相等的观点二者相等的观点(AA)没考虑没考虑金属键的特征金属键的特征是非常粗略的是非常粗略的(BB)没考虑没考虑空位周围原子的位移空位周围原子的位移
(1)晶体)晶体(22)空位源的前身:
点阵中的)空位源的前身:
点阵中的一个正离子一个正离子(33)其所带的正电荷均匀地散布在晶体中,整个晶体仍)其所带的正电荷均匀地散布在晶体中,整个晶体仍保持保持电中性电中性,空位的,空位的静电效应静电效应和一个零价的溶质原子相似。
和一个零价的溶质原子相似。
(44)在单价金属中在单价金属中,空位的附加电荷为,空位的附加电荷为-Ze(即即Z=-1),引引起导带电子的起导带电子的屏蔽效应屏蔽效应。
达到平衡状态后,空位周围只保。
达到平衡状态后,空位周围只保留留局部的干扰电势局部的干扰电势Vp,产生产生静电能的增加静电能的增加。
(55)当正离子被放到台阶处后,自由电子气膨胀,)当正离子被放到台阶处后,自由电子气膨胀,费米费米能下降能下降。
(66)空位形成能空位形成能静电能的增加静电能的增加+总费米能的变化总费米能的变化重新建模重新建模假设:
假设:
模型求解模型求解
(1)求静电能的增加)求静电能的增加条件条件:
(A)局部干扰电势局部干扰电势Vp(B)导带的电子浓度为导带的电子浓度为n据固体物理知识据固体物理知识,静电能的增加静电能的增加E1为:
为:
根据根据电子屏蔽模型电子屏蔽模型有,有,Vp与与Z满足如下关系:
满足如下关系:
对自由电子对自由电子
(2)求费米能的总变化)求费米能的总变化据固体物理原理,对据固体物理原理,对n的表达式进行变化得的表达式进行变化得当自由电子体积膨胀当自由电子体积膨胀V时时动能为总能量的动能为总能量的3/5,费米能的总变化,费米能的总变化E2为:
为:
空位形成能空位形成能E为:
为:
模型检验模型检验如果考虑到空位周围的原子略有松弛,可能降低能量,如果考虑到空位周围的原子略有松弛,可能降低能量,因而有第三项因而有第三项E3,比如对铜的估计值为比如对铜的估计值为-0.3eV。
E=EE=E11+E+E22+EE33模型应用模型应用建立空位形成能计算模型后,根据建立空位形成能计算模型后,根据自由能极小自由能极小的条的条件,可以求出件,可以求出在热力学平衡状态下的在热力学平衡状态下的空位浓度空位浓度式中,式中,c为平衡状态下的空位浓度;为平衡状态下的空位浓度;Uf为空位形成能;为空位形成能;Sf为为形成一个空位改变了周围的原子振动所引起的振动熵;形成一个空位改变了周围的原子振动所引起的振动熵;k为玻尔兹曼常数;为玻尔兹曼常数;T为热力学温度。
为热力学温度。
(11)定义定义:
通过描述系统功能的数:
通过描述系统功能的数据分析来建立数学模型据分析来建立数学模型(22)条件条件:
当系统的结构性质不大:
当系统的结构性质不大清楚,无法从理论分析中得到系统的清楚,无法从理论分析中得到系统的规律,也不便于类比分析,但有若干规律,也不便于类比分析,但有若干能表征系统规律、描述系统状态的数能表征系统规律、描述系统状态的数据可利用时据可利用时
(1)定义定义:
根据两个:
根据两个(或两类或两类)系统系统某些属性或关系的相似,去某些属性或关系的相似,去猜想猜想两两者的其他属性或关系也可能相似的者的其他属性或关系也可能相似的一种方法一种方法
(2)条件条件:
两个不同的系统,可以两个不同的系统,可以用同一形式的数学模型来描述用同一形式的数学模型来描述二、二、常用数学建模方法常用数学建模方法11、理论分析法、理论分析法2、模拟方法、模拟方法3、类比分析法、类比分析法4、数据分析法数据分析法5、人工假设法、人工假设法6、物理系统建模法、物理系统建模法(11)定义:
以结构和性质与被研究)定义:
以结构和性质与被研究系统系统相同相同,而且构造出的模型也,而且构造出的模型也类似类似的系统代替被研究系统来建立数学模的系统代替被研究系统来建立数学模型的方法。
型的方法。
(22)条件条件:
模型的结构及性质已经:
模型的结构及性质已经了解,但其数量描述及求解却相当麻了解,但其数量描述及求解却相当麻烦。
烦。
(11)定义定义:
指应用自然科学中的:
指应用自然科学中的定定理和定律理和定律,对被研究系统的有关因素,对被研究系统的有关因素进行进行分析、演绎、归纳分析、演绎、归纳,从而建立系,从而建立系统的数学模型。
统的数学模型。
(22)条件条件:
工艺比较成熟、对机理:
工艺比较成熟、对机理比较了解时比较了解时
(1)定义定义:
人为地组成一个系统,基:
人为地组成一个系统,基于对系统于对系统过去行为过去行为的了解和对的了解和对未来未来希希望达到的目标,并考虑到系统中有关望达到的目标,并考虑到系统中有关因素的可能变化,将系统中不确定因因素的可能变化,将系统中不确定因素假定为若干组确定的取值,从而建素假定为若干组确定的取值,从而建立系统的模型。
立系统的模型。
(2)条件条件:
假设应合理,模型是一个:
假设应合理,模型是一个反复修改、不断完善的长期过程。
反复修改、不断完善的长期过程。
应用应用:
主要用来分析大规模复杂系统:
主要用来分析大规模复杂系统(如社会经济系统、军事系统等)。
(如社会经济系统、军事系统等)。
(11)定义定义:
为了完成对各种各样:
为了完成对各种各样的物理系统进行分析和优化设计的物理系统进行分析和优化设计的目的,而建立数学模型的方法。
的目的,而建立数学模型的方法。
(22)分类分类:
一类是从系统各个部:
一类是从系统各个部件的工作机理出发,列出各个变件的工作机理出发,列出各个变量之间的数学关系式;另一类是量之间的数学关系式;另一类是把系统看作是一个黑箱,假设它把系统看作是一个黑箱,假设它可以用某种数学方程来描述,然可以用某种数学方程来描述,然后根据其输入输出量的测量值进后根据其输入输出量的测量值进行模型的辩识,以求得所需数学行模型的辩识,以求得所需数学模型。
模型。
(3)步骤步骤:
确定系统的基本物理:
确定系统的基本物理变量;选择独立的特征变量。
变量;选择独立的特征变量。
理论分析法理论分析法例例:
在在渗渗碳碳工工艺艺过过程程中中通通过过平平衡衡理理论论找找出出控控制制参参量量与与炉炉气气碳碳势势之间的理论关系式。
之间的理论关系式。
炉气碳势炉气碳势:
体系中碳的平衡浓度(:
体系中碳的平衡浓度(Cc)模型假设模型假设:
钢在炉气中发生如下反应:
钢在炉气中发生如下反应:
CFe+CO2=2CO(1-12)据据化学平衡原理化学平衡原理可求出平衡常数可求出平衡常数K2为为将将wc(A)和和平平衡衡常常数数(K2)的的计计算算式式代代入入式式(1-16),可可求求得得碳碳势势与与炉炉气气CO、CO2含量及温度之间的关系式。
含量及温度之间的关系式。
在理论分析的基础上,根据实验数据进行修正,可得出实用的碳势控制数学模型。
在理论分析的基础上,根据实验数据进行修正,可得出实用的碳势控制数学模型。
单参数单参数碳势控制的数学模型的建立碳势控制的数学模型的建立甲醇加煤油甲醇加煤油气氛渗碳中,炉气碳势与气氛渗碳中,炉气碳势与COCO22含量的关系,实际数据见表含量的关系,实际数据见表1-21-2。
由前面炉气的化学反应及平衡常数之间的互换关系得知由前面炉气的化学反应及平衡常数之间的互换关系得知:
据定义知据定义知在温度一定时,在温度一定时,CC(A)和和K2均为常数,如不考虑均为常数,如不考虑CO及其他因素的影响,及其他因素的影响,将将co等视为常数
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- 计算机 材料科学 中的 应用 课件
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