群.ppt

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第第1010章章群与环群与环离离散散数数学学中国地质大学本科生课程中国地质大学本科生课程本章内容本章内容本章内容本章内容10.110.1群的定义与性质群的定义与性质10.210.2子群子群与群的与群的陪集分解陪集分解10.310.3循环群与置换群循环群与置换群本章总结本章总结例题选讲例题选讲作业作业210.110.110.110.1群的定义及性质群的定义及性质群的定义及性质群的定义及性质q半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。

半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。

q半群与独异点的定义，及其子代数的说明。

半群与独异点的定义，及其子代数的说明。

q半群与独异点的幂运算。

半群与独异点的幂运算。

q半群与独异点的同态映射。

半群与独异点的同态映射。

3半群与独异点半群与独异点半群与独异点半群与独异点定义定义10.110.1

（1）

（1）设设VVS,是代数系统，是代数系统，为为二元运算二元运算，如果运算是如果运算是可结可结合的合的，则称则称VV为为半群半群（semigroup）。

（2）

（2）设设VVS,是是半群半群,若若eeSS是关于是关于运算的运算的单位元单位元,则称则称VV是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做独异点独异点（monoid）。

有时也将独异点有时也将独异点VV记作记作VVSe。

4半群与独异点的实例半群与独异点的实例半群与独异点的实例半群与独异点的实例qZ,+，都是半群都是半群,+,+是普通加法。

是普通加法。

这些半群中除这些半群中除Z,+外都是独异点。

外都是独异点。

q设设nn是大于是大于11的正整数的正整数,M,（R）,+和和M都是半群都是半群,也都也都是独异点是独异点,其中其中+和和分别表示矩阵加法和矩阵乘法。

分别表示矩阵加法和矩阵乘法。

qP（B）,为半群为半群,也是独异点也是独异点,其中其中为集合的对称差运算。

为集合的对称差运算。

qZn,为半群为半群,也是独异点也是独异点,其中其中ZnZn0,1,0,1,n-1,n-1,为模为模nn加法加法。

qA为半群为半群,也是独异点也是独异点,其中其中为函数的复合运算。

为函数的复合运算。

qR为半群为半群,其中其中RR为非零实数集合为非零实数集合,运算定义如下：

运算定义如下：

x,yx,yRR,x,xyyyy5半群中元素的半群中元素的半群中元素的半群中元素的幂幂幂幂q由于半群由于半群VVS,中的运算是可结合的中的运算是可结合的,可以定义可以定义元素的元素的幂幂,对任意对任意xxS,S,规定：

规定：

xx11xxxxn+1n+1xxnnxx,nnZZ+用数学归纳法不难证明用数学归纳法不难证明xx的幂遵从以下运算规则：

的幂遵从以下运算规则：

xxnnxxmmxxn+mn+m（xxnn）mmxxnmnmm,nm,nZZ+q普通乘法的幂普通乘法的幂、关系的幂关系的幂、矩阵乘法的幂矩阵乘法的幂等都遵从这个幂等都遵从这个幂运算规则。

运算规则。

6独异点中的独异点中的独异点中的独异点中的幂幂幂幂独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。

去。

由于独异点由于独异点VV中含有单位元中含有单位元ee，对于任意的对于任意的xxS,S,可以定义可以定义xx的的零次幂零次幂,即即xx00eexxn+1n+1xxnnxxnnNN不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不过过mm和和nn不一定限于正整数，不一定限于正整数，只要是自然数就成立。

只要是自然数就成立。

7例例例例例例设半群设半群V1S,，独异独异点点V2S,e。

其中其中为矩阵乘法为矩阵乘法，e为为2阶单位矩阵阶单位矩阵令令则则TS，且且T对矩阵乘法对矩阵乘法是封闭的，是封闭的，所以所以是是V1的子半群。

的子半群。

但它不是但它不是V2=的子独异点，因为的子独异点，因为V2中的单位元中的单位元e=T。

易见在易见在中存在着自己的单位元中存在着自己的单位元，所以所以也构成一个独异点也构成一个独异点。

810.110.110.110.1群的定义与性质群的定义与性质群的定义与性质群的定义与性质q群是群是特殊的半群和独异点。

特殊的半群和独异点。

q群论中常用的概念或术语：

群论中常用的概念或术语：

有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。

有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。

q群的运算规则。

群的运算规则。

9群的定义群的定义群的定义群的定义定义定义10.110.1（33）设设G,是代数系统，是代数系统，为为二元运算二元运算。

如果。

如果运算是运算是可结合可结合的，的，存在单位元存在单位元eeGG，并且对并且对GG中的任何元素中的任何元素xx都都有有xx-1-1G,G,则称则称GG为为群群（group）。

举例举例（考虑（考虑例例10.110.1），

（1）,

（1）,都是群都是群,而而Z,+和和不是群。

不是群。

（2）

（2）,+是群是群,而而不是群。

因为并非所有的不是群。

因为并非所有的nn阶实矩阶实矩阵都有逆阵。

阵都有逆阵。

（3）P（B）,（3）是群，因为对任何是群，因为对任何BB的子集的子集AA，AA的逆元就是的逆元就是AA自身。

自身。

（4）Z（4）是群。

是群。

00是是ZZnn中的单位元。

中的单位元。

xxZZnn，若若xx00，xx的逆元就是的逆元就是00，若若xx00，则则n-xn-x是是xx的逆元。

的逆元。

（5）（5）A，当当|A|A|22时不是群。

时不是群。

10KleinKleinKleinKlein四元群四元群四元群四元群设设GGa,b,c,da,b,c,d，为为GG上的二元运算，见下表。

上的二元运算，见下表。

eeaabbcceeeeaabbccaaaaeeccbbbbbbcceeaaccccbbaaeeGG是一个群：

是一个群：

ee为为GG中的单位元；中的单位元；运算是可结合的；运算是可结合的；运算是可交换的；运算是可交换的；GG中任何元素的逆元就是它自己；中任何元素的逆元就是它自己；在在a,b,ca,b,c三个元素中三个元素中,任何两个元素任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。

运算的结果都等于另一个元素。

称这个群为称这个群为KleinKlein四元群四元群,简称简称四元群四元群。

11群论中常用的概念或术语群论中常用的概念或术语群论中常用的概念或术语群论中常用的概念或术语定义定义10.210.2

（1）

（1）若群若群GG是是有穷集有穷集,则称则称GG是是有限群有限群，否则称为否则称为无限群无限群。

群群GG的基数的基数称为群称为群GG的的阶阶，有限有限群群GG的阶记作的阶记作|G|G|。

（2）

（2）只含单位元只含单位元的群称为的群称为平凡群平凡群。

（3）（3）若群若群GG中的二元运算是中的二元运算是可交换可交换的，则称的，则称GG为为交换群交换群或或阿贝尔阿贝尔（Abel）（Abel）群群。

12例例例例q,是无限群。

是无限群。

qZ是有限群，也是是有限群，也是nn阶群。

阶群。

qKleinKlein四元群是四元群是44阶群。

阶群。

q是平凡群。

是平凡群。

q上述所有的群都是交换群。

上述所有的群都是交换群。

q但但nn阶阶（n（n2）2）实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群，因为矩阵乘法不满足交换律。

非交换群，因为矩阵乘法不满足交换律。

13群中元素的群中元素的群中元素的群中元素的nnnn次幂次幂次幂次幂定义定义10.310.3设设GG是群，是群，aaGG，nnZZ，则则aa的的nn次幂次幂q与半群和独异点不同的是：

群中元素可以定义负整数次幂。

与半群和独异点不同的是：

群中元素可以定义负整数次幂。

q在在Z中有中有22-3-3（2（2-1-1）33113311111100q在在中有中有33-5-5（3（3-1-1）55（-3）（-3）55（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）-15-1514群中元素的阶群中元素的阶群中元素的阶群中元素的阶定义定义10.410.4设设GG是群，是群，aaGG，使得等式使得等式aakkee成立的成立的最小正整数最小正整数kk称为称为aa的阶的阶，记作，记作|a|a|kk，这时也称这时也称aa为为kk阶元阶元。

若不存在这样的正整数。

若不存在这样的正整数k,k,则称则称aa为无限阶元为无限阶元。

举例举例q在在Z中，中，22和和44是是33阶元，阶元，33是是22阶元，而阶元，而11和和55是是66阶元，阶元，00是是11阶元。

阶元。

q在在中，中，00是是11阶元，其它的整数都是无限阶元。

阶元，其它的整数都是无限阶元。

q在在KleinKlein四元群中，四元群中，ee为为11阶元，其它元素都是阶元，其它元素都是22阶元。

阶元。

15群的性质群的性质群的性质群的性质群群群群的幂运算规则的幂运算规则的幂运算规则的幂运算规则定理定理10.110.1设设GG为群为群,则则GG中的幂运算满足：

中的幂运算满足：

（1）a

（1）aG,（aG,（a-1-1）-1-1aa。

（2）a,b

（2）a,bGG，（ab）（ab）-1-1bb-1-1aa-1-1。

（3）a（3）aGG，aannaammaan+mn+m，n,mn,mZZ。

（4）a（4）aGG，（a（ann）mmaanmnm，n,mn,mZZ。

（5）（5）若若GG为交换群，则为交换群，则（ab）（ab）nnaannbbnn。

分析：

分析：

（1）

（1）和和

（2）

（2）可以根据定义证明。

可以根据定义证明。

（3）（3）、（4）（4）、（5）（5）中的等式中的等式,先利用数学归纳法对于自然数先利用数学归纳法对于自然数nn和和mm证出相应的结果，然后讨论证出相应的结果，然后讨论nn或或mm为负数的情况。

为负数的情况。

16定理定理定理定理10.110.110.110.1的证明的证明的证明的证明

（1）a

（1）aG,（aG,（a-1-1）-1-1aa。

（a（a-1-1）-1-1是是aa-1-1的逆元，的逆元，aa也是也是aa-1-1的逆元。

的逆元。

（或者：

或者：

aa-1-1是是aa的逆元，的逆元，aa也是也是aa-1-1的逆元。

）的逆元。

）根据逆元的唯一性，根据逆元的唯一性，（a（a-1-1）-1-1aa。

（2）a,b

（2）a,bGG，（ab）（ab）-1-1bb-1-1aa-1-1。

（b（b-1-1aa-1-1）（ab）（ab）bb-1-1（a（a-1-1a）ba）bbb-1-1bbee（ab）（b（ab）（b-1-1aa-1-1）a（bba（bb-1-1）a）a-1-1aaaa-1-1ee故故bb-1-1aa-1-1是是abab的逆元。

的逆元。

根据逆元的唯一性等式得证。

根据逆元的唯一性等式得证。

17定理定理定理定理10.110.110.110.1的证明的证明的证明的证明（3）a（3）aGG，aannaammaan+mn+m，n,mn,mZZ。

先考虑先考虑n,mn,m都是自然数的情况。

任意给定都是自然数的情况。

任意给定nn，对，对mm进行归纳。

进行归纳。

mm00，有，有aannaa00aanneeaannaan+0n+0成立。

成立。

假设对一切假设对一切mNmN有有aannaammaan+mn+m成立，则有成立，则有aannaam+1m+1aann（a（ammaa）（aannaamm）a）aaa