平面向量的数量积及运算律.docx

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平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律

（1）

教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点：

平面向量的数量积定义

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型：

新授课

教学过程：

一、引入：

力做的功：

W=|F||s|cos，是F与s的夹角

二、讲解新课：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与ｂ，作

＝a，

＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角.

说明：

（1）当θ＝0时，a与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，a与ｂ反向；

（3）当θ＝

时，a与ｂ垂直，记a⊥ｂ；

（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180

2．平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。

探究：

两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。

符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。

因为其中cos有可能为0。

（4）已知实数a、b、c（b0），则ab=bca=c。

但是ab=bc

a=c

如右图：

ab=|a||b|cos=|b||OA|，bc=|b||c|cos=|b||OA|

ab=bc但ac

（5）在实数中，有（ab）c=a（bc），但是（ab）ca（bc）

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。

3．“投影”的概念：

作图

定义：

|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|。

4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。

1ea=ae=|a|cos

2abab=0

3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|。

特例：

aa=|a|2或

4cos=

5|ab|≤|a||b|

三、讲解范例：

例1判断正误，并简要说明理由.

①a·0＝0；②0·a＝0；③0－

＝

；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a·ｂ）с＝a（ｂ·с）；⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.

例2已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6，当①a∥ｂ，②a⊥ｂ，③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a·ｂ.

例3判断下列命题的真假：

（1）在△ABC中，若

，则△ABC是锐角三角形；

（2）在△ABC中，若

，则△ABC是钝角三角形；

（3）△ABC为直角三角形的充要条件是

.

例4试证明：

若四边形ABCD满足

则四边形ABCD为矩形.

例5设正三角形ABC的边长为

四、小结通过本节学习，要求掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用

它们解决相关的问题

课后反思：

1.概念辨析：

正确理解向量夹角定义

对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：

1.已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求

·

.

对此题，有同学求解如下：

解：

如图，∵｜

｜＝ａ＝５，｜

｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，

∴

·

＝｜

｜·｜

｜cosＣ＝5×8cos60°＝20.

分析：

上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中

与

两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°.

2.向量的数量积不满足结合律

分析：

若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则（ａ·ｂ）с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，

ａ·（ｂ·с）＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cosβ.

∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：

（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с）

这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：

已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝

，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с夹角是45°，则：

（ａ·ｂ）·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝

с，

ａ·（ｂ·с）＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ

而

с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）

平面向量的数量积及运算律

（2）

教学目的：

1.掌握平面向量数量积运算规律；

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题；

3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：

平面向量数量积及运算规律.

教学难点：

平面向量数量积的应用

教学过程：

一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

C

2．平面向量数量积（内积）的定义：

3．“投影”的概念：

定义：

|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。

4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。

（1）ea=ae=|a|cos；

（2）abab=0

（3）当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|。

特例：

aa=|a|2或

（4）cos=

；

（5）|ab|≤|a||b|

6．判断下列各题正确与否：

1若a=0，则对任一向量b，有ab=0。

（）

2若a0，则对任一非零向量b，有ab0。

（）

3若a0，ab=0，则b=0。

（）

4若ab=0，则a、b至少有一个为零。

（）

5若a0，ab=ac，则b=c。

（）

6若ab=ac，则b=c当且仅当a0时成立。

（）

7对任意向量a、b、c，有（ab）ca（bc）。

（）

8对任意向量a，有a2=|a|2。

（）

二、讲解新课：

平面向量数量积的运算律

1．交换律：

ab=ba

2．数乘结合律：

（

a）b=

（ab）=a（

b）

3．分配律：

（a+b）c=ac+bc

说明：

（1）一般地，（a·ｂ）с≠a（ｂ·с）

（2）a·с＝ｂ·с，с≠0

a＝ｂ

（3）有如下常用性质：

a２＝｜a｜２，

（a＋ｂ）（с＋ｄ）＝a·с＋a·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

（a＋ｂ）２＝a２＋2a·ｂ＋ｂ２

三、讲解范例：

例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。

例2已知|a|=3,|b|=4（且a与b不共线），当且仅当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？

例3已知a、b是非零向量，设m=|a+tb|.

（1）求当m取最小值时，实数t的值；

（2）证明当m取最小值时，向量b和a+tb垂直.

例4求证：

平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。

例5四边形ABCD中，

＝a，

＝ｂ，

＝с，

＝ｄ，且a·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·a，试问四边形ABCD是什么图形?

.

课后反思：

1.常用数量积运算公式

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和（差）公式在解题中的应用较为广泛.

即（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２，（a－b）２＝a２－２a·b＋b２

上述两公式以及（a＋b）（a－b）＝a２－b２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.

2.应用举例

［例1］已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a·b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜.

解：

∵｜a＋b｜２＝（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３

∴｜a＋b｜＝

，∵（｜a－b｜）２＝（a－b）２＝a２－2a·b＋b２＝2２－2×（－3）×５２＝35，

∴｜a－b｜＝

．

［例2］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ（精确到１°）.

解：

∵（｜a＋b｜）２＝（a＋b）２＝a２＋2a·b＋b２＝｜a｜２＋2｜a｜·｜b｜ｃｏｓθ＋｜b｜２

∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，

∴ｃｏｓθ＝

，∴θ≈５５°

平面向量的数量积及运算律（3）

教学目的：

1.掌握平面向量数量积运算规律；

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题；

3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：

平面向量数量积及运算规律.

教学难点：

平面向量数量积的应用

教学过程：

一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

C

2．平面向量数量积（内积）的定义：

3．“投影”的概念：

定义：

|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。

4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。

（1）ea=ae=|a|cos；

（2）abab=0

（3）当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|。

特别的aa=|a|2或

（4）cos=

；

（5）|ab|≤|a||b|

6.平面向量数量积的运算律

1．交换律：

ab=ba

2．数乘结合律：

（

a）b=

（ab）=a（

b）

3．分配律：

（a+b）c=ac+bc

二、例题

例1已知

是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（）

（1）

（2）

（3）

（4）

A1B2C3D4

例2已知|a|=4,|b|=5,当

（1）a//b,

（2）a⊥b，（3）a与b的夹角为30o时，分别求a与b的数量积.

例3已知

试用向量

并计算

的位置关系.

例4设AC是

的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别是E、F，.试用向量方法证明：

例5已知向量

是模相等的非零向量，且

求证△ABC是正三角形.

例6已知：

AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：

直径所对的圆周角是直角，即∠ABC=90o.

例7已知：

|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60o.问当且当k为何值时，向量ka-b与a+2b垂直？