湖南师大附中高三摸底考试.docx

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湖南师大附中高三摸底考试

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

湖南师大附中2017届高三摸底考试

数　学（文科）

得分：

______________

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U＝，M＝，N＝，则∪N＝

A.B.C.D.

2．若复数z满足z＋2－3i＝－1＋5i，则＝

A．3－8iB．－3－8iC．3＋8iD．－3＋8i

3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为

A.B.C.D.

4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝3，b＝，A＝，则角B等于

A.B.

C.或D．以上都不对

5．己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若＝2，则|k|＝

A．2B.C.D.

6．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin的图象

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

7．若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是

A．24πB．24π＋8π

C．24π＋4πD．32π

8．设a＝7－，b＝，c＝log7，则下列关系中正确的是

A．c

9．函数y＝xsinx＋cosx的图象大致为

10．运行下图所示的程序框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是

A．k>5B．k>6C．k>7D．k>8

11．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为

A.B．－C.D．－

12．已知a，b∈R，直线y＝ax＋b＋与函数f＝tanx的图象在x＝－处相切，设g＝ex＋bx2＋a，若在区间上，不等式m≤g≤m2－2恒成立，则实数m

A．有最大值eB．有最大值e＋1

C．有最小值－eD．有最小值e

二、填空题：

本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．

13．已知向量a＝（－1，1），向量b＝（3，t），若b∥（a＋b），则t＝________．

14．若sin＝，则cos＝________．

15．已知直线l经过点P，且被圆＋＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________________．

16．若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使x0＋ay0＋2≤0成立，则实数a的取值范围是________．

三、解答题：

本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

数列的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1.

（1）求的通项公式；

（2）求Sn.

18.（本小题满分12分）

某校高一

（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．

（1）求分数在[50，60）的频率及全班人数；

（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；

（3）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．

（1）求证：

AF∥平面BCE；

（2）求证：

平面BCE⊥平面CDE；

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点A，B为动直线y＝k（x－2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：

在x轴上是否存在点E，使2＋·为定值？

若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数f＝ln（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g＝λf＋sinx在区间上是减函数．

求实数a的值；

若g≤t2＋λt＋1在x∈上恒成立，求实数t的取值范围；

讨论关于x的方程＝x2－2ex＋m的根的个数．

s

选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时请写清题号）a

22．（本小题满分10分）选修4－1：

几何证明选讲.

如图，AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AC，作BC⊥AC，与该圆交于点D，若AC＝2，CD＝2.

（1）求圆O的半径；

（2）若点E为AB中点，求证：

O，E，D三点共线.

23．（本小题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程选讲．

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.

（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标.

24．（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲．

设函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；

（2）在

（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m－f（－n）恒成立，求实数m的取值范围.

湖南师大附中2017届高三摸底考试

数学（文科）参考答案

一、选择题

1．D　2.B　3.C　4.A

5．A　【解析】设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0），与抛物线y2＝4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2），联立y＝kx＋m（k≠0），y2＝4x得k2x2＋（2km－4）x＋m2＝0，

所以Δ＝（2km－4）2－4k2m2＝16－16km，由Δ>0得km<1，x1＋x2＝，x1x2＝，

由y2＝4x得其焦点F（1，0），由＝2得（1－x1，－y1）＝2（x2－1，y2），

所以，由①得，x1＋2x2＝3，③.由②得，x1＋2x2＝－，

所以m＝－k，再由＝2得||＝2||，

所以x1＋1＝2（x2＋1），即x1－2x2＝1，④.联立③④得x1＝2，x2＝，

所以x1＋x2＝＝，把m＝－k代入得＝，解得＝2，满足mk＝－8<1，所以＝2，故选A.

6．D　【解析】y＝sin＝cos2x，∴需向右平移个单位，故选D.

7．C　【解析】几何体的表面积是圆柱的侧面积与半个球的表面积、圆锥的侧面积的和．

圆柱的侧面积为S1＝2π×2×4＝16π，半球的表面积为S2＝2π×22＝8π，

圆锥的侧面积为S3＝×2π×2×2＝4π，

所以几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝24π＋4π.

8．B　【解析】由题意得，c＝log7<0，又b＝＝7>7－＝a>0，所以c

9．D　【解析】由题意得，函数y＝xsinx＋cosx是偶函数，当x＝0时，y＝1，且y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，显然在上，y′>0，所以函数为单调递增，故选D.

10．B　【解析】第一次执行完循环体得到：

S＝1＋＝，k＝2；第二次执行完循环体得到：

S＝＋＝，k＝3；第三次执行完循环体得到：

S＝＋＝，k＝4；第四次执行完循环体得到：

S＝＋＝，k＝5；第五次执行完循环体得到：

S＝＋＝，k＝6；第六次执行完循环体得到：

S＝＋＝，k＝7；输出结果为，因此判断框中应该填的条件是k>6.

11．A　【解析】延长BA到D，使得AD＝AC，则四边形ADA1B1为平行四边形，

∴AB1∥A1D，∴∠DA1C就是异面直线AB1和A1C所成的角，

又△ABC为等边三角形，设AB＝AA1＝1，∠CAD＝120°，

则CD＝＝＝，

A1C＝A1D＝，在△A1CD中，cos∠DA1C＝＝.故选A.

12．B　【解析】f′（x）＝′＝，所以a＝f′＝＝2，

又f＝tan＝－1，点在直线y＝ax＋b＋上，求出b＝－1，∴g（x）＝ex－x2＋2，令h（x）＝g′（x）＝ex－2x，则h′（x）＝ex－2，∵1≤x≤2，∴h′（x）≥e－2>0，故h（x）在上为增函数，h（x）≥h

（1）＝e－2>0，所以g′（x）>0，g（x）在上为增函数，所以g（x）∈，由不等式m≤g≤m2－2恒成立有，解得m≤－e或e≤m≤e＋1，m最大值为e＋1，故选B.

二、填空题

13．－3

14．－　【解析】因为sin＝，则cos＝－cos＝2sin2－1＝－.

15．x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0

【解析】圆心，半径r＝5，弦长为m＝8，设弦心距是d，则由勾股定理得r2＝d2＋，得d＝3，若直线l斜率不存在，则直线l的方程为x＋4＝0，此时圆心到l的距离是3，符合题意；若直线l斜率存在，则设直线l的方程为y＋3＝k（x＋4），即kx－y＋4k－3＝0，所以圆心到l的距离是d＝＝3，解得k＝－，此时直线l的方程是4x＋3y＋25＝0.综上，直线l的方程是x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0.所以答案应填：

x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0.

16．（－∞，－1]　【解析】如下图所示阴影部分为不等式组所表示的平面区域：

当a>0时，不等式x0＋ay0＋2≤0所表示的平面如图所示直线l1下方部分，显然不符合题意；当a<0时，不等式x0＋ay0＋2≤0所表示的平面如图所示直线l2上方部分，要使不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y0）使x0＋ay0＋2≤0成立，则不等式所表示直线斜率必须满足－≤kBD＝1即a≤－1，故应填入（－∞，－1]．

三、解答题

17．【解析】

（1）由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1，两式相减得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an，（3分）

又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．

∴an＝3n－1.（7分）

（2）Sn＝＝－.（12分）

18．【解析】

（1）分数在[50，60）的频率为0.008×10＝0.08，（2分）

由茎叶图知：

分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为＝25.（4分）

（2）分数在[80，90）之间的频数为25－22＝3；

频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为÷10＝0.012.（7分）

（3）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，

在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：

（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），

（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，（10分）

其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，

故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是.（12分）

19．【解析】

（1）取CE的中点P，连结FP、BP.

∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝DE.

又AB∥DE，且AB＝DE，∴AB∥FP，且AB＝FP，

∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，

∴AF∥平面BCE.（4分）

（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF.

又AF⊥CD，CD∩DE＝D，

∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.

又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.（8分）

（3）法一：

由

（2），以F为坐标原点，

AF，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图）

建立空间直角坐标系F－xyz.设AC＝2，

则C（0，－1，0），B（－，0，1），E（0，1，2）．

设n＝（x，y，z）为平面BCE的法向量，

∴n·＝0，n·＝0，∴，令z＝1，则n＝（0，－1，1）

显然，m＝（0，0，1）为平面ACD的法向量．

设面BCE与面ACD所成锐二面角为α，

则cosα＝＝＝.∴α＝45°.

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为45°.（12分）

法二：

延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO.

则面EBC∩面DAC＝CO.

由AB是△EDO的中位线，则DO＝2AD.

在△OCD中，∵OD＝2AD＝2AC，∠ODC＝60°.

∴OC⊥CD，又OC⊥DE.

∴OC⊥面ECD，而CE面ECD，

∴OC⊥CE，∴∠ECD为所求二面角的平面角，

在Rt△EDC中，∵ED＝CD，∴∠ECD＝45°，

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.（12分）

20．【解析】

（1）由e＝，得＝，即c＝a，　①

又因为以原点O为圆心，

椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，

且与直线2x－y＋6＝0相切，

所以a＝＝，代入①得c＝2，

所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.（4分）

（2）由得（1＋3k2）x2－12k2x＋12k2－6＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝，x1·x2＝，（8分）

根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得

2＋·＝·（＋）＝·为定值，

则有·＝（x1－m，y1）·（x2－m，y2）＝（x1－m）·（x2－m）＋y1y2

＝（x1－m）（x2－m）＋k2（x1－2）（x2－2）＝（k2＋1）x1x2－（2k2＋m）（x1＋x2）＋（4k2＋m2）

＝（k2＋1）·－（2k2＋m）·＋（4k2＋m2）

＝.（10分）

要使上式为定值，即与k无关，则应使3m2－12m＋10＝3（m2－6），

即m＝，此时·＝m2－6＝－为定值，定点为E.（12分）

21．【解析】

（1）∵f（x）＝ln（ex＋a）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），即ln（e－x＋a）＝－ln（ex＋a）恒成立，

∴（e－x＋a）（ex＋a）＝1，∴1＋ae－x＋aex＋a2＝1.即a（ex＋e－x＋a）＝0恒成立，

故a＝0.（2分）

（2）由

（1）知g（x）＝λf（x）＋sinx＝λx＋sinx，∴g′（x）＝λ＋cosx，x∈，

∴要使g（x）＝λf（x）＋sinx是区间上的减函数，则有g′（x）≤0恒成立，∴λ≤－1.

又∵g（x）max＝g（－1）＝－λ－sin1，∴要使g（x）≤t2＋λt＋1在x∈上恒成立，

只需－λ－sin1≤t2＋λt＋1在λ≤－1时恒成立即可．

∴（t＋1）λ＋t2＋sin1＋1≥0（其中λ≤－1）恒成立．

令h（λ）＝（t＋1）λ＋t2＋sin1＋1≥0（λ≤－1），则即

而t2－t＋sin1≥0恒成立，∴t≤－1.（7分）

（3）由

（1）知方程＝x2－2ex＋m，即＝x2－2ex＋m，

令f1（x）＝，f2（x）＝x2－2ex＋m.

∵f′1（x）＝，

当x∈时，f′1（x）≥0，∴f1（x）在上为增函数；

当x∈[e，＋∞）时，f′1（x）≤0，∴f1（x）在[e，＋∞）上为减函数；

当x＝e时，f1（x）max＝.

而f2（x）＝x2－2ex＋m＝（x－e）2＋m－e2

当x∈时f2（x）是减函数，当x∈[e，＋∞）时，f2（x）是增函数，

∴当x＝e时，f2（x）min＝m－e2.

故当m－e2>，即m>e2＋时，方程无实根；

当m－e2＝，即m＝e2＋时，方程有一个根；

当m－e2<，即m

22．【解析】

（1）取BD中点为F，连结OF，由题意知，OF//AC，OF＝AC.

∵AC为圆O的切线，BC为割线，

∴CA2＝CD·CB，∵AC＝2，CD＝2，∴BC＝6，BD＝4，BF＝2.

在Rt△OBF中，由勾股定理得，r＝OB＝＝4.（5分）

（2）由

（1）知，OA//BD，OA＝BD，

所以四边形OADB为平行四边形，又因为E为AB的中点，

所以OD与AB交于点E，所以O，E，D三点共线．（10分）

23．【解析】

（1）由题意知，C1的普通方程为（x－1）2＋y2＝1.

C2的直角坐标方程为y＝x＋1.（5分）

（2）设P（1＋cos2α，sin2α），则P到C2的距离d＝，当cos＝－1，即2α＝＋2kπ（k∈Z）时，d取最小值－1，

此时P点坐标为.（10分）

24．【解析】

（1）由f（x）≤6，得a－6≤2x－a≤6－a（a<6），即其解集为{x|a－3≤x≤3}，由题意知f（x）≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，所以a＝1.（5分）

（2）原不等式等价于m≥f（n）＋f（－n），存在实数n，使得m≥f（n）＋f（－n）＝|1－2n|＋|1＋2n|＋2恒成立，即m≥（|1－2n|＋|1＋2n|＋2）min，而由绝对值三角不等式，|1－2n|＋|1＋2n|≥2，

从而实数m≥4.（10分）