第五章特征值和特征向量.ppt

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第五章第五章特征值和特征向量特征值和特征向量矩阵的对角化矩阵的对角化u矩阵的特征值矩阵的特征值u矩阵的特征向量矩阵的特征向量u矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件一预备知识1.向量的内积在空间解析几何中,向量的内积（即数量积或点积）描述了内积与向量的长度及夹角间的关系内积定义：

夹角：

向量的长度：

内积的坐标表示式内积的坐标表示式：

定义1设有维向量令称为向量与的内积内积.内积性质（其中为维向量，为实数）:

（1）

（2）（3）（4）等号当且仅当时成立.定义2令称为维向量的长度长度（或范数范数）.向量的长度具有下述性质性质：

（1）非负性：

（2）齐次性：

（3）三角不等式：

当时，称为单位向量单位向量.不等式不等式：

或由此得任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量.这一过程称为将向量单位化将向量单位化.定义3当时，定义4当时，称为维向量与的夹角夹角.称向量与正交正交（或垂直垂直）.零向量与任何向量都正交定义5若一个向量组中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组正交向量组.定理定理2若维向量是一组若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，则称此向量组为正交规范向量组正交规范向量组或标准标准正交向量组正交向量组.两两正交的非零向量组，则线性无关.求非零向量,使成为正交向量组.例例1已知解解设则即由得从而有基础解系取即为所求.与之等价的正交向量组的方法：

2.Schmidt正交化方法Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量作如下的线性交换，化为一组可以证明：

两两正交，向量组与等价.且对任何例例2将正交规范化.解解先将进行正交化，取再将它们单位化，取则即为所求.定理3为正交矩阵的充分必要条件是定义6如果阶方阵满足3.正交矩阵（即）那么称为正交矩阵正交矩阵.的行（列）向量组为正交规范向量组.定理4设A，B都是n阶正交方阵，则

（1）或

（2）也是正交矩阵.正交矩阵举例正交矩阵举例：

（1）n阶单位矩阵En；

（2）设为正交变换，则有定义7若P为正交矩阵，则线性变换这说明，正交变换不改变向量的长度.称为正交变换正交变换.二特征值和特征向量1.概念定义1设A是n阶方阵，如果数和n维非零列向量x使关系式Ax=x

（1）成立，则称是方阵A的特征值特征值；非零列向量x称为A的对应于特征值的特征特征向量向量.

（1）式也可写为这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，即它有非零解的充要条件是系数行列式方程组

（2）的系数矩阵A-E称为A的特征矩阵特征矩阵;显然，A的特征值就是A的特征方程的解，在复数范围内，n阶方阵A有n个特征值（重根按重数计算）.|A-E|是的n次多项式,记作f（），称为A的特征多项式特征多项式;式（3）称为A的特征方程特征方程.例例1已知是的一个特征向量，试确定参数解解由特征值和特征向量的定义可知，及特征向量所对应的特征值.即于是所以即所求解为2.特征值和特征向量的求法

（1）求出阶方阵的特征多项式求阶方阵的特征值与特征向量的步骤：

（2）求出特征方程的全部根，（3）把每个特征值代入线性方程组

（2），即是的特征值；求出基础解系，就是对应于的特征向量，基础解系的线性组合（零向量除外）就是对应于的全部特征向量例例2求矩阵的特征值和特征向量解解的特征多项式为所以的特征值为当时，对应的特征向量应满足于是，的对应的全部特征向量为容易求得方程组的一个基础解系为当时，由（为常数）解得基础解系于是，的对应的全部特征向量为（为常数）3.特征值和特征向量的性质定理1设是阶方阵，定理2设是方阵的特征值，,则

（1）是的特征值；

（2）是的特征值.则与有相同的特征值.定理3设阶方阵的个特征值为

（1），其中是的主对角元之和，称为矩阵矩阵的迹的迹，记作

（2）推论阶方阵可逆的充分必要条件是它的任一特征值不等于零.则定理4设是方阵的个特征值，例例3三阶方阵的三个特征值分别为求依次是与之对应的特征向量.如果各不相等，则线性无关.解解可逆，所以而故其中所以的特征值为于是例例4是的特征根，可逆时，是的特征根.4.应用（发展与环保问题）为了定量分析工业发展与环境污染的关系，某地区提出如下增长模型：

和为第个周期后的污染损耗和工业产值.即或由此模型及当前的水平，可以预测若干发展周期后的水平：

下面利用矩阵特征值和特征向量的有关性质，的特征多项式为所以，的特征值为来计算的幂.为此，先计算的特征值.1）对于特征值，解齐次线性方程组的一个特征向量2）对于特征值，解齐次线性方程组的一个特征向量可得的属于可得的属于如果当前的水平恰好等于，则时，即它表明，经过个发展周期后，工业产值已达到一个相当高的水平，但其中一半被污染损耗所抵消，造成资源的严重浪费.如果当前的水平，则不能直接应用上述方法分析.于是此时由于特别地，当时，污染损耗为由上面的分析可以看出：

工业产值为，损耗已超过了产值，经济将出现负增长.尽管的特征向量没有实际意义但任一具有实际意义的向量都可以表示为的线性组合从而在分析过程中，仍具有重要作用.因中含负分量三相似矩阵1.概念与性质定义1设都是阶方阵，若有可逆矩阵则称是的相似矩阵相似矩阵，或说矩阵与相似.对进行运算称为对进行相似变换相似变换.可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵相似变换矩阵.使设为阶方阵，则相似矩阵有下列

（1）反身性；

（2）对称性；（3）传递性.定理1若与相似，则

（1）与有相同的特征多项式和特征值；

（2）（3）（4）与也相似，其中为正整数.基本性质：

2.矩阵可对角化的条件把方阵对角化方法，即求相似变换矩阵定理2阶方阵相似于阶对角矩阵的推论如果阶方阵有个互不相等特征值，使为对角阵.充要条件是有个线性无关的特征向量.则与对角矩阵相似.例例1已知矩阵与相似.

（1）求与；

（2）求一个可逆矩阵，使（3）求解解

（1）因与相似，故即将代入有；

（2）的特征值为1，2，2，将代入有解齐次线性方程组可分别求得的对应特征向量于是所求可逆矩阵使（3）由于，于是所以四实对称矩阵的相似矩阵1.实对称矩阵特征值的性质定理1实对称矩阵的特征值为实数.定理3设是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则矩阵AE的秩为nr，从而对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.定理2实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交.2.实对称矩阵的相似理论定理4任意实对称矩阵都与对角矩阵相似.定理5设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵3.实对称矩阵对角化方法阶实对称矩阵对角化的具体步骤:

（1）求出特征方程

（2）对每一特征值，解齐次线性方程组求得它的一个基础解系所有不同的根其中为的重特征值（3）利用Schmidt正交化方法，（4）记则为正交矩阵，使把正交化，得到正交向量组再单位化，得到正交单位向量组并且排列顺序与P中正交规范向量组的排列顺序相对应.其中，矩阵的主对角线元素的重数为例例1设求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解解的特征方程为当时，解方程组得基础解系单位化后得当时，解方程组故的特征值为得基础解系这两个向量已是正交，故只须将其单位化,得于是求得正交矩阵使此时须先将正交化值得注意的是，对于的二重特征值上面求得的碰巧是正交的，故不必正交化，只要单位化即可.但如果求得的基础解系为取再单位化，得于是又得正交矩阵使这也说明，定理5中的正交矩阵是不唯一的.