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120幻方
2013-1-20-幻方
预备:
请你将1——9各数填到这个表格中,使得横行、竖行、斜行的和都是15。
传说公元前二千多年,在洛水里浮起一只大乌龟,它的背上有个奇特的图案,(如图1),后来人们把它称之为洛书,实际上它是由九个数字排成一定的格式(如图2),图中有一个非常有趣的性质:
它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
许多人产生了这样的问题,图中的九个数字,有没有别的填法?
如果把图形变成4×4个方格,是否也可以进行这样的填数游戏?
【知识要点】
在3×3(三行三列)的正方形方格中,既不重复又不遗漏地填上1~9这九个连续的自然数,使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等,这样的图形叫做三阶幻方。
如果在
(四行四列)的正方形方格中进行填数,就要不重复,不遗漏地在
方格内填上16个连续自然数,且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等,这样的图形叫四阶幻方。
一般地,在n×n(n行n列)的方格里,既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数,(注意这些连续自然数不一定非要从1开始),每个数占一个格,且每行、每列、每条对角线上的n个自然数和均相等,我们把这个相等的和叫做幻和,n叫做阶,这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。
任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和!
幻方的幻和等于n(n2+1)÷2。
幻和=总和÷阶数
二、幻方的特征:
1、对称性
2、轮换性
三、幻方的种类:
按照纵横各有数字的个数,可以分为:
三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方……
按照纵横数字数量奇偶的不同,可以分为:
1、奇数阶幻方
2、偶数阶幻方
(1)单偶数阶幻方,阶数是2的倍数,形如:
2n+2
(2)双偶数阶幻方,阶数是4的倍数,形如:
2n+4
四、幻方的构造方法
1、杨辉口诀法(仅仅适用于三阶幻方)
早在公元1275年,宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。
他称这种图为“纵横图”,他提出了一个构造三阶幻方的秘诀:
九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出
戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足
2、罗伯法
适用于奇数阶幻方,适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。
口诀:
1居下行正中央,依次斜填切莫忘;
下出框时往上写,左出框时往右放;
排重便往上格填,左下排重一个样。
3、巴舍法(平移补空法)(适合奇数阶幻方)
要点,构造五阶具体操作:
(1)画图:
构造楼梯
(2)按顺序填数(数字按顺序斜排)
(3)平移补空:
把幻方外的数字平移进幻方——上到下,下到上,左到右,右到左,注意:
几阶幻方就平移几个格。
4、对称交换法(对角线法)——适用于四阶幻方
总体来说,偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。
但因为四阶阶数不大,作为拓展,补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法。
【典型例题】
例题:
请编出一个三阶幻方,使其幻和为24。
基本型三阶幻方的幻和是15。
幻和增加了24-15=9,
每个数应该增加9÷3=3。
三阶幻方的基本型的拓展:
每个数都加上1,依然是一个幻方,幻和增加了3。
幻方的基本型可以拓展出更多的幻方!
例题:
在下图的空格中填入适当的数,使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于18.
2
5
例题:
请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。
这是一个等差数列,将它与基本型中的1-9对应好:
11、13、15、17、19、21、23、25、27
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9
(1)先写出基本型
(2)再对应的数填在对应的位置。
习题:
1、把7—15这九个数构成一个三阶幻方。
2、把5-20这16个数构成一个四阶幻方。
3、
把3、4、5、8、9、10、13、14、15编成一个三阶幻方,并求出幻和是多少?
4、构成一个三阶幻方,使其幻和是18。
5、用罗伯法把5-29这25个数编成一个五阶幻方。
6、把10-58编排成一个七阶幻方。
7、用9个连续的自然数构造一个三阶幻方,使每一横行、竖列、对角线的三个数的和等于60。
A
7
D
B
10
15
11
C
6
8、
9、用3~11这九个数补全图2中的幻方,并求幻和。
10
9
10、在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
【小试锋芒】
1.
2.在下面的方格内分别填上3~11、5~13、7~15这九个数字,使横、竖和对角线上三个数的和都相等。
3.用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。
4.把12到36这25个数填入下图中,使横、竖和对角线上三个数的和都相等。
5.将九个连续自然数填入九宫格中,使横、竖和对角线上三个数的和都等于66.
6.把25~33这九个数字填入以下三阶幻方中,使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。
7.把1~100中找出25个连续数字填入以下三阶幻方中,使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。
8.把10~60中找出25个连续数字填入以下五阶幻方中,使每一行横、每一竖和每条对角线上的五个数的和都相等。
9.在下图的空格中填入适当的数,使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于21.
7
8
10.在空格中填入适当的数,使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等.
42
3430
11.找出九个连续的自然数,分别填入下图的圈内,使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都等于60。
1.
11
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