七年级数学线角的基本概念与性质.docx
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七年级数学线角的基本概念与性质
线、角的基本概念与性质
1、有一些相同的房间需要粉刷墙面,一天3名一级技工去粉刷8个房间,结果其中有50平方米墙面未来得及粉刷;同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外,还多粉刷了另外的40平方米墙面。
每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面,求每名一级技工、二级技工每天分别刷墙面多少平方米?
2、某队员领到足球后十分高兴,就仔细研究起足球上的黑白块,结果发现,黑块呈五边形,白块呈六边形,黑白相间在球体上,黑块共12块,问白块有多少块?
3、将如图所示的平面图形折叠成一个正方体,则“爱”字对面的字是。
(第3题)
(第4题)
4、如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个立体图形从正面和从左面看到的图形,则组成这个立体图形的小正方体最少有个,最多有个。
知识点一
1.线段、射线、直线的概念
(1)直线:
一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象。
直线是直的,并且是向两方无限延伸的。
(2)射线:
直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这个点叫做射线的端点。
(3)线段:
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。
2.线段、射线、直线的表示方法
(1)在下面空白的地方各画一条线段、射线、直线
画法总结:
将线段向一个方向无限延长就形成了;将线段向两个方向无限延长就形成了。
①线段的表示方法:
如上图,若用A、B表示一条线段的两个端点,这条线段就可表示为或,与字母排列顺序。
若用一个小写字母表示一条线段,这条线段可表示为,此时要在图中标出此小写字母。
②射线的表示方法:
如上图,若以O表示射线的端点,M表示射线上的除O点外的任意一点,这条射线就可表示为。
【注】表示射线的端点的大写字母一定要写在。
★射线的识别:
判断两条射线是否是同一条射线,首先看端点是否相同,再看延伸方向是否相同,如果这两点都符合,那么这两条射线是同一条射线。
③直线的表示方法:
如上图,若在直线上任取两点A、B,则可用表示这两点的大写字母表示这条直线,即该直线可表示为或,与字母排列顺序。
若用一个小写字母表示一条直线,这条直线可表示为,此时要在图中标出此小写字母。
总结:
线段、射线、直线三者之间的联系与区别
3.直线和线段的性质
(1)直线的性质
①直线公理:
经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。
它可以简单地说成:
过两点有且只有一条直线。
②过一点的直线有无数条。
③直线是向个方向无限延伸的,端点,度量,不能比较。
④直线上有个点。
⑤两条不同(不重合)的直线至多有个公共点。
(2)线段的性质
①线段公理:
所有连接两点的线中,线段最短。
也可简单说成:
两点之间线段最短。
②连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。
③一条线段的中点就把这条线段分成了两条的线段。
(线段的到两端点的距离相等。
)
如图
(1),若点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM点,点M叫做线段AB的中点。
这时AM=BM
=AB。
同类推论:
如图
(2),若点C和点D把线段AB分成三条相等的线段,则点C和点D叫线段AB的点。
④线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
4.比较两条线段的长短的方法
叠合法(尺规作图)、度量法、目测法
【例题精讲一】
题型一线段、射线、直线的识别与区分
例1.如图,数一数图中有几条线段?
几条射线?
几条直线?
并分别用字母表示出来。
方法:
线段、射线、直线的联系
①表示线段、射线、直线时,都要在字母前面注明“线段、射线或直线”;②用两个大写字母表示线段和直线时,两个字母没有顺序性,可以交换位置,如“线段BA”和“线段AB”表示同一条线段,“直线AB”和“直线BA”表示同一条直线;③表示射线的两个大写字母有一定的顺序,表示端点的字母必须写在前面。
变式训练
1.射线OA,OB表示同一条射线,下面的图形正确的
是()
2.如图所示,下列说法()
A.都错误B.都正确C.只有一个正确D.有两个正确
3.如图,其中能相交的图形有。
(填你认为正确的序号)
题型二点数与线段、射线、直线的条数
例2.
(1)画出线段
AB:
①如图
(1),在线段AB上画出1个点,这时图中共有几条线段?
②如图
(2),在线段AB上画出2个点,这时图中共有几条线段?
③如图(3),在线段AB上画出3个点,这时图中共有几条线段?
④如图(4),在线段AB上画出n个点时,图中共有几条线段?
方法:
线段有两个端点,直线上每两个点之间的部分就是一条线段。
因此,数线段时,只要判断这些点共有多少种组合即可。
(2)将题
(1)中的线段AB改为直线AB,其他条件不变,算一算每种条件下各有几条射线。
(可画图说明)
方法:
射线向一方无限延伸,因此射线的条数是由端点的个数决定的。
在直线上,以一个点为端点的射线有2条,若直线上有n个点,则共有条射线。
(3)已知平面内不重合的四个点A、B、C、D过其中的任意两个点画直线:
①若A、B、C、D四个点在同一条直线上,可以画出条直线;
②若A、B、C、D四个点有三个在同一条直线上,可以画出条直线;
③若A、B、C、D四个点中的任意三个都不在同一条直线上,可以画出条直线;
依此类推,不重合的n个点最多可确定条直线。
变式训练
假如一条铁路上共有6个站,那么车票最多有种不同的票价,要准备种车票。
平面上不重合的两点确定一条直线,不重合的三点最多可确定3条直线,若平面上不重合的n个点最多可确定21条直线,则n的值为。
题型三比较线段的长度与线段的中点
例3.
(1)通过观察,分别比较下面三组图形中线段a、b的长短,再用其他方法进行比较,看看你的结论是否正确。
方法:
熟悉比较线段长度的不同方法,提高动手能力。
(2)如图,C、D是线段AB上两点,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AC的长度为。
方法:
明确线段长度的含义,线段的中点的性质。
变式训练
已知线段AB=6cm,点P到A、B两点的距离相等,则PA+PB的长()
A.等于6cmB.小于6cmC.不小于6cmD.大于6cm
2.已知,线段a、b、c,如图,用直尺和圆规画一条线段,使它等于a+b+c。
知识点二(角)
1.角的定义及角的表示方法
(1)角的定义
①静态定义:
由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。
两条射线的公共端点是这个角的,两条射线叫做角的边。
②动态定义:
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。
(2)角的表示方法
★
(1)角的两个特征:
①角有两条射线,②角的两条射线必须有公共端点,两者缺一不可。
(2)由于射线是向一方无限延伸的,所以角的两边无所谓长短,即角的大小与它的边的长短。
2.平角、周角及角的度量与换算
(1)平角和周角
如图,射线OA绕点O旋转,当终边OB和始边OA成一条直线时,所成的角叫做,继续旋转,当它又和始边OA重合时,所成的角叫做。
【注】平角、周角都是比较特殊的角,平角的两条边成一条直线,周角的两边重合成一条射线,但平角和直线是两种不同的几何图形,同样周角与射线也是两种不同的几何图形,所以要注意它们之间的区别。
(2)角的度量与换算
①角度制度量单位有:
。
如:
1°、1′、1″。
②1度角的定义:
把一个周角360等分,每一份就是1度的角。
③1度=分,1分=秒,即1°=,1′=。
④1周角=,1平角=。
3.角的大小比较和角的分类
(1)比较角的大小的方法
①度量法:
先用量角器测量出各角的度数,再按照角的度数比较大小,从而确定两个角的大小关系。
②叠合法(尺规作图):
两个角比较大小时,把两个角的顶点和一条边分别重合,另一条边放在重合边的同侧,根据另一条边的位置确定角的大小。
(2)角的分类
小于平角的角可按大小分成三类:
当一个角等于平角的一半时,这个角叫直角;大于零度角小于直角的角叫锐角;大于直角而小于平角的角叫钝角。
4.角的平分线
角的平分线
(1)定义:
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
(2)角平分线的表示
如图,若OC是∠AOB的平分线,则∠AOC=∠COB=
∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠COB。
5.余角、补角
(1)一般地,如果两个角的和为90°,就说这两个角互为余角,即一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和为180°,就说这两个角互为补角,即一个角是另一个角的补角。
(2)余角、补角的性质
同角(等角)的余角,同角(等角)的补角。
1、如图,以点O为顶点的角有几个?
请表示出来。
思考:
平面中的一点射出n条射线,可构成个角。
(每个角都大于0°,不大于180°)
2、如图,已知∠AOB=80°,∠BOC=30°,OM平分∠AOB,ON平分∠B0C,求∠MON的度数。
3、如图,OC、OE分别是∠AOD、∠BOD的平分线,且∠BOD=72°,求∠COD、∠DOE、∠COE的度数,并比较它们的大小。
4、已知∠A=35°,∠B=
,∠C=178°,∠D=90°,∠E=
,则其中:
(1)锐角是:
(2)直角是:
(3)钝角是:
各角按从小到大的顺序排列为:
5、已知∠α和∠β互为补角,且∠β比∠α小30°,则∠β等于。
6、一个角的余角比它的补角小°。
7.一个角的补角比它的余角的3倍少12°,则这个角的余角为。
8、一个带有指针的手表显示时间是下午2点22分,则表盘上时针与分针的夹角是。
1.下列说法中错误的是( )
①画一条直线,使它的长度为8cm;②线段AB和线段BA是同一条线段;
③射线AB和射线BA是同一条射线;④直线BA和直线AB是同一条直线。
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图为同一平面内的两条直线,下列说法正确的是( )
A.射线AB与射线CD一定相交 B.直线CD与射线AB一定相交
C.射线CD与射线BA一定不相交 D.射线CD与直线AB一定相交
(第2题)
(第3题)
3.如图,共有()条直线,共有()条射线,共有()条线段,其中以点B为端点的线段是:
。
4.在平面内有两两相交的三条直线,它们最多有m个交点,最少有n个交点,则m+n的值是。
5.平面内的三个不同的点能确定条直线。
6.如图,点C是线段AB上的点,点D是线段BC的中点,若AB=10,AC=6,则CD=。
7.如图,下列表示角的说法中错误的是( )
A.∠1和∠ABC表示的是同一个角 B.∠β也可以表示∠ABE
C.图中以C为顶点的角共有2个 D.∠A也可以用∠BAC表示,也可以用∠2表示
(第7题)(第8题)(第11题)
8.∠1:
∠2:
∠3:
∠4=2:
4:
5:
8,则∠1= ,∠2= ,∠3= ,∠4= 。
9.
(1)51°28′30″=°;
(2)37.5°=°′。
10.已知射线OA,由点O引射线OB、OC,∠AOB=72°,∠BOC=36°,则∠AOC的度数是。
11.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC为2:
5两部分,∠DBE=21°,则∠ABC=。
12.如图,正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M。
(1)一只蚂蚁从点M沿正方体的棱爬到点
,蚂蚁爬行的最短距离是多少?
(2)若蚂蚁沿正方体的表面爬行到
点,你能在图上画出表示蚂蚁爬行的最短距离的线段吗?
13.某人下午6点多外出购物,表上的时针和分针的夹角恰为110°,下午近7点回家,发现表上的时针和分针的夹角又恰是110°,算一算此人外出大约用了多少时间。
14.如图,在∠AOB内部,以O为顶点引1条射线,此时图中共有3个角,如果从O点引出2、3、4、…、n条射线,则能构成角的总数是多少?
填写下表。
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