第九章简谐振动.ppt
- 文档编号:2681995
- 上传时间:2022-11-07
- 格式:PPT
- 页数:146
- 大小:5.36MB
第九章简谐振动.ppt
《第九章简谐振动.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第九章简谐振动.ppt(146页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第九章第九章第九章第九章振振振振动动动动和和和和波波波波第九章第九章振动和波振动和波广义的广义的振动振动物理量随时间作周期性变化称为振动。
物理量随时间作周期性变化称为振动。
(2)周期性)周期性在在T时间内状态能完全重复。
时间内状态能完全重复。
振动是自然界中最普遍的运动形式之一。
振动和波在力学、振动是自然界中最普遍的运动形式之一。
振动和波在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。
声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。
特点:
特点:
(1)有平衡点,且具有重复性。
有平衡点,且具有重复性。
Vibrationandwave机械振动机械振动物体在某一位置附近作往复运动。
物体在某一位置附近作往复运动。
机械振动分类机械振动分类按振动规律分:
按振动规律分:
简谐、非简谐、随机振动简谐、非简谐、随机振动。
其中简谐振动是最基本最简单的振动,其中简谐振动是最基本最简单的振动,复杂的振动都可以分复杂的振动都可以分复杂的振动都可以分复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
解为一些简谐振动的叠加。
解为一些简谐振动的叠加。
解为一些简谐振动的叠加。
称作谐振动的微分方程。
称作谐振动的微分方程。
弹簧振子是理想模型弹簧振子是理想模型Spring/harmonicOscillator在水平方向上:
在水平方向上:
由牛顿第二定律,有:
由牛顿第二定律,有:
令:
令:
则有:
则有:
9-1简谐振动简谐振动一、简谐振动的微分方程和运动方程一、简谐振动的微分方程和运动方程(负号表示力与位移方向相反)(负号表示力与位移方向相反)幻灯片幻灯片51、简谐振动的微分方程、简谐振动的微分方程2、运动学方程:
、运动学方程:
由:
由:
可解得:
可解得:
或:
或:
一般写成:
一般写成:
本课程采用余弦形式本课程采用余弦形式因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动振动曲线振动曲线简谐振动的定义:
若质点的位移与时间的关系可以用简谐振动的定义:
若质点的位移与时间的关系可以用表示,质点的运动称为谐振动。
表示,质点的运动称为谐振动。
描述简谐振动的物理量描述简谐振动的物理量A、,称特征量。
称特征量。
otx
(2)角频率角频率:
angularfrequency振动的快慢振动的快慢周期周期T:
Period频率频率:
(3)初相位初相位:
Phase描述运动状态的量描述运动状态的量为初相位,为初相位,InitialPhase
(1)振幅振幅A:
amplitude离开平衡位置的最大距离(幅度、范围)离开平衡位置的最大距离(幅度、范围)4、谐振动的三个特征量、谐振动的三个特征量5、位移、速度和加速度的相位关系、位移、速度和加速度的相位关系以上结果表明:
以上结果表明:
(1)v,a与与x的的相同相同
(2)(3)a与与x方向相反,且成正比方向相反,且成正比振幅振幅x、v、a相位依次差相位依次差/2。
写写成成二、初始条件确定振幅和初相位二、初始条件确定振幅和初相位初始条件:
初始条件:
写为:
写为:
得:
得:
即:
即:
有两个值,需(有两个值,需
(1)或(或
(2)进行筛选。
)进行筛选。
也可直接由(也可直接由
(1)或由()或由
(2)求出)求出。
三、坐标原点的选取对于振动方程的影响三、坐标原点的选取对于振动方程的影响(以竖直弹簧振子为例以竖直弹簧振子为例)自由端自由端,平衡位置平衡位置以以为坐标原点为坐标原点:
以以为坐标原点为坐标原点:
在建立谐振子的振动方程时在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。
选平衡位置为坐标原点最合适。
例题例题1单摆单摆SimplePendulum解:
单摆受力如图所示解:
单摆受力如图所示对悬挂点的力矩:
对悬挂点的力矩:
由:
由:
若若很小,则有:
很小,则有:
即:
即:
其中:
其中:
动画动画例题例题2半径为半径为R的圆环静止于刀口的圆环静止于刀口O点上点上,令其令其在自身平面内作微小摆动在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为证明其摆动为谐振谐振,并计算其振动周期并计算其振动周期.证明证明:
设圆环偏离角度为设圆环偏离角度为因此所作振动为谐振因此所作振动为谐振四四、谐振动的其它表示法、谐振动的其它表示法1、振动曲线法、振动曲线法
(1)振动曲线的峰(或谷)对应)振动曲线的峰(或谷)对应的位移的大小即是振幅的位移的大小即是振幅.
(2)振动曲线上表示振动状态相)振动曲线上表示振动状态相同的相邻两点对应的时间间隔就同的相邻两点对应的时间间隔就是周期是周期T。
(3)由初状态)由初状态v0、x0可得出初可得出初相位相位。
(4)尤其判断振动的超前与落后非常直观。
)尤其判断振动的超前与落后非常直观。
Rotatingvectormethod1.参考圆法参考圆法沿沿逆逆时时针针方方向向作作匀匀速速圆圆周周运运动动的的质质点点在在某某一一直直径径上上(取取在在x轴)的投影的运动为简谐振动。
轴)的投影的运动为简谐振动。
半径半径R振幅振幅A角速度角速度角频率角频率t时刻时刻A矢量在矢量在x轴上的投影轴上的投影初始矢径与初始矢径与x轴的交角轴的交角初相位初相位动画动画2.旋转矢量旋转矢量用旋转矢量法处理问题用旋转矢量法处理问题更直观、更直观、更方便,必须掌握。
更方便,必须掌握。
表示出三个特征量表示出三个特征量2、旋转矢量表示法、旋转矢量表示法例例题题3一一质质点点沿沿x轴轴作作简简谐谐振振动动,振振幅幅A=0.12m,周周期期T=2s,当当t=0时时,质质点点对对平平衡衡位位置置的的位位移移x0=0.06m,此此时时向向x轴轴正向运动。
正向运动。
求:
求:
(1)此振动的表达式此振动的表达式
(2)t=T/4时,质点的位置、速度、加速度时,质点的位置、速度、加速度(3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间解解:
(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点设设其中其中A亦为已知,只需求亦为已知,只需求由由t=0s时,时,x0=0.06m,可得:
,可得:
在在-到到之间取值:
之间取值:
取哪一个值要看初始条件,由于:
取哪一个值要看初始条件,由于:
所以:
所以:
由于由于t=0时,质点向正时,质点向正x方向运动,所以方向运动,所以v00因此,应取:
因此,应取:
于是,此简谐振动的表达式:
于是,此简谐振动的表达式:
利用旋转矢量法求解很直观,利用旋转矢量法求解很直观,根据初始条件就可画出如图所根据初始条件就可画出如图所示的振幅矢量的初始位置,从示的振幅矢量的初始位置,从而得到:
而得到:
(2)将将t=T/4=0.5s代入上两式,以及位移表达式,可求得:
代入上两式,以及位移表达式,可求得:
此时旋转矢量位置如图:
此时旋转矢量位置如图:
(3)通过平衡位置时,通过平衡位置时,x=0,由位置表达式,可得:
,由位置表达式,可得:
由此可得:
由此可得:
第一次通过,取第一次通过,取k=1,又由于,又由于=/s,所以:
,所以:
从起始时刻到第一次质点通过原从起始时刻到第一次质点通过原点,振幅矢量转过的角度为:
点,振幅矢量转过的角度为:
故:
故:
有旋转矢量图可知:
有旋转矢量图可知:
例例题题4以以余余弦弦函函数数表表示示的的简简谐谐振振动动的的位位移移时时间间曲曲线线如如图图所所示,试写出其运动方程。
示,试写出其运动方程。
解:
设该简谐振动的运动方程为解:
设该简谐振动的运动方程为根据已知条件求出各量代入上式根据已知条件求出各量代入上式即可即可由图可知,由图可知,A=2cm,当,当t=0时时因为:
因为:
v00,画出矢量图:
画出矢量图:
又知又知t=1s时,位移达到正的最大值,时,位移达到正的最大值,即:
即:
故:
故:
因而有:
因而有:
简谐振动的势能:
简谐振动的势能:
五五、简谐振动的能量、简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例以水平的弹簧振子为例简谐振动的动能:
简谐振动的动能:
简谐振动的总能量:
简谐振动的总能量:
弹性力是保守力,总机械能守恒,即总能量不随时间变化。
弹性力是保守力,总机械能守恒,即总能量不随时间变化。
势能的时间平均值势能的时间平均值:
动能的时间平均值动能的时间平均值:
这些结论同样适用于任何简谐振动。
这些结论同样适用于任何简谐振动。
这些结论同样适用于任何简谐振动。
这些结论同样适用于任何简谐振动。
总能的时间平均值总能的时间平均值:
*振幅不仅给出简谐振动运动的范围,而且还振幅不仅给出简谐振动运动的范围,而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。
反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。
*任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比*弹簧振子的动能和势能的平均值相等,且弹簧振子的动能和势能的平均值相等,且等于总机械能的一半。
等于总机械能的一半。
结论:
结论:
023.用余弦函数描述一些振子的振动,若速用余弦函数描述一些振子的振动,若速度度-时间函数关系如图,则振动的初相位时间函数关系如图,则振动的初相位为为/6;/3;/2;5/604.无阻尼自由简谐振动的周期和频率由无阻尼自由简谐振动的周期和频率由所所决定。
对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由决定。
对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由决决定。
定。
振动系统本身的性质振动系统本身的性质初始条件初始条件1.一弹簧振子作谐振动,总能量为一弹簧振子作谐振动,总能量为E,如果谐振动振幅增加,如果谐振动振幅增加为原来的两倍,重物的质量增为原来的为原来的两倍,重物的质量增为原来的4倍,则它的总能量倍,则它的总能量E变为变为A:
E/4;B:
E/2;C:
2E;D:
4E本章作业:
本章作业:
9-3,9-5,9-10,9-11代数方法:
设两个振动具有相同频率,代数方法:
设两个振动具有相同频率,同一直线上运动,有不同的振幅和初相位同一直线上运动,有不同的振幅和初相位9-2简谐振动的合成简谐振动的合成一、一、同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成合振幅合振幅CompositionoftwoSHM仍然是同频率仍然是同频率的简谐振动的简谐振动由由分别两边平方求和后整理得:
分别两边平方求和后整理得:
YX几何方法:
几何方法:
上面得到:
上面得到:
讨论一:
讨论一:
合振幅最大。
合振幅最大。
当当两分振动同步时两分振动同步时合振动的振幅等于两分振动振幅之和合振动的振幅等于两分振动振幅之和讨论二:
讨论二:
当当时,时,讨论三:
讨论三:
一般情况:
一般情况:
两分振动反相位时两分振动反相位时合振动的振幅等于两分振动振幅之差合振动的振幅等于两分振动振幅之差例例1。
两个同方向同频率的简谐振动,其合振动的振幅为。
两个同方向同频率的简谐振动,其合振动的振幅为20cm,与第一简谐振动的相位差为与第一简谐振动的相位差为-1=/6,若第一个简谐振若第一个简谐振动的振幅为动的振幅为则第二个谐振动的振幅为则第二个谐振动的振幅为cm,第一、二两个谐振动的相位差第一、二两个谐振动的相位差2-1=。
解:
由矢量合成法则:
解:
由矢量合成法则:
20二、二、同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成为了简单起见,先讨论两个为了简单起见,先讨论两个振幅相同振幅相同,初相位也相同初相位也相同,在同方向上以不同频率振动,在同方向上以不同频率振动的合成。
其振动表达式分别为:
的合成。
其振动表达式分别为:
SamedirectionDifferentFrequency合成振动合成振动表达式:
表达式:
利用三角函数关系式:
利用三角函数关系式:
当当都很大,且相差甚微时,可将都很大,且相差甚微时,可将视为振幅变化部分,视为振幅变化部分,合成振动是以合成振动是以为角频率的谐振动。
为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定,即其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定,即振动忽强忽弱,所以它是近似的谐振动,这种合振振动忽强忽弱,所以它是近似的谐振动,这种合振动忽强忽弱的现象称为动忽强忽弱的现象称为拍拍。
一般情况下,合振动无明显的周期性一般情况下,合振动无明显的周期性单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频叫拍频显然,拍频是振动显然,拍频是振动的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第九 谐振动
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)