圆中的基本概念及定理知识归纳与练习题及答案.docx
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圆中的基本概念及定理知识归纳与练习题及答案
圆中的基本概念及定理(讲义)
Ø课前预习
在小学的时候,我们知道“一中同长”表示的是圆,中心称为______,固定的线段长称为_______,还知道半径为r的圆的周长为_________,面积为__________.
在七年级我们学习了圆的另外一种说法:
平面上,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点形成的图形叫做圆.固定的端点O称为圆心,线段OA称为半径.
一条弧AB和经过这条弧的两条半径OA,OB所组成的图形叫做扇形.
顶点在圆心的角叫做圆心角.
Ø知识点睛
1.
平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形叫做圆,其中,_____称为圆心,_____称为半径;圆O记作_____.
2.圆中概念:
弧:
_________________________;弧包括______和_______;
弦:
_______________________________________________;
圆周角:
___________________________________________;
圆心角:
___________________________________________;
弦心距:
___________________________________________.
3.圆的对称性:
圆是轴对称图形,其对称轴是_________________________;
圆是中心对称图形,其对称中心为_____________________.
4.圆中基本定理:
*
(1)垂径定理:
_____________________________________
______________________________________________;
推论:
_________________________________________
______________________________________________;
总结:
知二推三①_______________________________,
②_____________________,③____________________,
④_____________________,⑤____________________.
(2)四组量关系定理:
在_____________________中,如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(3)圆周角定理:
___________________________________;
推论1:
________________________________________;
圆中处理问题的思路
①找圆心,连半径,转移边;
②遇弦,作垂线,垂径定理配合勾股定理建等式;
③遇直径,找直角,由直角,找直径;
④由弧找角,由角看弧.
推论2:
________________________________________,_______________________________________________.
推论3:
_______________________________________.
(4)三点定圆定理:
_________________________________.
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的_______,三角形叫做圆的___________,外接圆的圆心是____________________,叫做三角形的___________.
Ø精讲精练
1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立的是()
A.CM=DMB.
=
C.∠ACD=∠ADCD.OM=MD
第1题图第2题图
2.如图,⊙O的弦AB垂直平分半径OC,若
,则⊙O的半径为_________.
3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.
第3题图第4题图
4.如图,圆拱桥桥拱的跨度AB=12m,桥拱高CD=4m,则拱桥的直径为__________.
5.如图,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,垂足为E,连接OB,CB.已知⊙O的半径为2,AB=
,则∠BCD=_______.
第5题图第6题图
6.如图,⊙O的弦CD与直径AB相交,若∠BAD=50°,则
∠ACD=________.
7.一个圆形人工湖如图所示,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m,测得圆周角∠ACB=45°,则这个人工湖的直径AD为________.
第7题图第8题图
8.如图,E为正方形ABCD的边CD的中点,经过A,B,E三点的⊙O与边BC交于点F,P为
上任意一点.若正方形ABCD的边长为4,则sin∠P的值为__________.
9.
如图,∠AOB=100°,点C在⊙O上,且点C不与A,B重合,则∠ACB的度数为()
A.50°
B.80°或50°
C.130°
D.50°或130°
10.如图,点D为边AC上一点,点O为边AB上一点,AD=DO.以O为圆心,OD长为半径作半圆,交AC于另一点E,交AB于F,G两点,连接EF.若∠BAC=22°,则∠EFG=______.
第10题图第11题图
11.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,如果它的一个外角
∠DCE=64°,那么∠BOD的度数为__________.
12.如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是点________.
13.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()
A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块
第13题图第14题图
14.如图,⊙O的两条弦AB,CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径是__________.
15.已知
的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB,CD之间的距离为_________________.
【参考答案】
Ø课前预习
圆心,半径,2πr,πr2
Ø知识点睛
1.定点,定长,定点,定长,⊙O.
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,优弧,劣弧;
连接圆上任意两点的线段叫做弦;
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角;
顶点在圆心的角叫做圆心角;
圆心到弦的距离叫做弦心距.
3.任意一条过圆心的直线;圆心.
4.
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧;
①过圆心的直线;②垂直于弦;③平分弦;④平分优弧;⑤平分劣弧.
(2)同圆或等圆,两个圆心角,两条弧,两条弦,两个弦心距.
(3)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;
同弧或等弧所对的圆周角相等;
直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
圆内接四边形对角互补.
(4)不在同一条直线上的三个点确定一个圆,外接圆,内接三角形,三角形三边垂直平分线的交点,外心.
Ø精讲精练
1.D
2.
3.8
4.13m
5.30°
6.40°
7.
cm
8.
9.D
10.33°
11.128°
12.Q
13.B
14.
15.7cm或17cm
圆中的基本概念及定理(随堂测试)
1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的
),点O是这段弧的圆心,C是
上一点,OC⊥AB,垂足为D,若AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是___________m.
2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,CD是直径,若∠B=40°,则∠ACD=____________.
3.如图,⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,若AE=5,BE=1,CD=
,则∠AED=___________.
【参考答案】
1.250
2.50
3.30
圆中的基本概念及定理(习题)
Ø巩固练习
1.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的截面圆半径OB为10,截面圆圆心O到水面的距离OC为6,则水面宽AB的长为()
A.16B.10C.8D.6
第1题图第2题图
2.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥AB于点D,交⊙O于点E,则下列说法不一定正确的是()
A.AD=BDB.∠ACB=∠AOE
C.
=
D.OD=DE
3.如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,AB⊥CD,若∠BOC=70°,则∠A的度数为()
A.70°B.35°C.30°D.20°
第3题图第4题图
4.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2,则弦BC的长为()
A.1B.
C.2D.
5.如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O
的弦,∠ABD=58°,则∠BCD=()
A.116°B.32°
C.58°D.64°
6.如图,AB是半圆O的直径,C,D是
上的两点,若
∠ADC=120°,则∠BAC=________.
第6题图第7题图
7.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且∠C=70°,则∠OAB=
__________.
8.
如图,点O为优弧ACB所在圆的圆心,∠AOC=108°,若点D在AB的延长线上,且BD=BC,则∠D=_________.
第8题图第9题图
9.如图,以原点O为圆心的圆交x轴于A,B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB=20°,则∠OCD=_________.
10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知
AB=16m,半径OA=10m,则中间柱CD的高度为______m.
第10题图第11题图
11.如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:
“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:
CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,若CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为_________.
12.如图,若△ABC的顶点都在⊙P上,则点P的坐标是________.
第12题图第13题图
13.小英家的圆形镜子被打碎了,她拿了如图所示(网格中每个小正方形的边长均为1)的一块碎片到玻璃店,配制成形状、大小与原来一致的镜面,则这个镜面的半径是__________.
14.如图,点A,B,C,D在⊙O上,点O在∠D的内部,若四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=______.
第14题图第15题图
15.如图,∠PAC=30°,在射线AC上顺次截取AD=3cm,
DB=10cm,以DB为直径作⊙O,交射线AP于E,F两点,则线段EF的长是___________cm.
Ø思考小结
1.圆中处理问题的思路
①找圆心,连半径,转移边;
②遇弦,作垂线,垂径定理配合勾股定理建等式;
③遇直径,找直角,由直角,找直径;
④由弧找角,由角看弧.
2.中考数学中涉及“一半”的相关内容
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半;
②30°所对的直角边等于斜边的一半;
③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;
④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半.
3.阅读材料回答问题
如图,在锐角△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的外接圆半径为R,则
.
证明:
连接CO并延长,交⊙O于点D,连接DB,则∠D=∠A
∵CD为直径,
∴∠DBC=90°
在Rt△BDC中,
∴
,即
.
同理可证
∴
.
阅读前面的命题及证明,完成下面的①②两个小题.
①前面的阅读材料中略去了“
”和“
”的证明过程,画出图形并证明
.
②直接用前面阅读材料中的结论解题
已知,在锐角△ABC中,
∠A=60°,求△ABC的外接圆半径R及∠C的度数.
【参考答案】
Ø巩固练习
1.A
2.D
3.B
4.D
5.B
6.30°
7.20°
8.27°
9.65°
10.4
11.26寸
12.(-2,-1)
13.
14.60°
15.6
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