专题04 解三角形-直击2020新高考数学多选题.doc
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专题四解三角形
一.知识梳理
知识点一 正弦定理及其推论
设△ABC的外接圆半径为R,则
(1)===
(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
(3)sinA=,sinB=,sinC=.
(4)在△ABC中,A>B⇔.a>b⇔sinA>sinB
知识点二 余弦定理及其推论
(1)a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.
(2)cosA=;cosB=;cosC= .
(3)在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角;c2>a2+b2⇔C为钝角;c2 知识点三 三角形面积公式 (1)S=aha=bhb=chc; (2)S=absinC=bcsinA=casinB. 二.跟踪训练 1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论不正确的是( ) A.a2=b2+c2﹣2bccosAB.asinB=bsinA C.a=bcosC+ccosBD.acosB+bcosA=sinC 【答案】A,B,C 【解析】由在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,知: 在A中,由余弦定理得: a2=b2+c2﹣2bccosA,故A正确; 在B中,由正弦定理得: ,∴asinB=bsinA,故B正确; 在C中,∵a=bcosC+ccosB,∴由余弦定理得: a=b×+c×, 整理,得2a2=2a2,故C正确; 在D中,由余弦定理得acosB+bcosA=a×+b×=+=c≠sinC, 故D错误.故选A,B,C. 2.对于△ABC,有如下命题,其中正确的有() A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形; B.若sinA=cosB,则△ABC为直角三角形; C.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形. D.若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为或 【答案】C,D 【解析】对于A: sin2A=sin2B,∴A=B⇒△ABC是等腰三角形,或2A+2B=π⇒A+B=,即△ABC是直角三角形.故A不对;对于B: 由sinA=cosB,∴A-B=或A+B=.∴△ABC不一定是直角三角形;对于C: sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C,∴a2+b2 如图所示,由正弦定理,得 sinC==.而c>b,∴C=60°或C=120°.∴A=90°或A=30°. ∴S△ABC=bcsinA=或.D正确 3.下列命题中,正确的是() A.在△ABC中, B.在锐角△ABC中,不等式恒成立 C.在△ABC中,若,则△ABC必是等腰直角三角形 D.在△ABC中,若,则△ABC必是等边三角形 【答案】A,B,D 【解析】在△ABC中,由,利用正弦定理可得: ∴,, ∴或,因此△ABC是等腰三角形或直角三角形,因此是假命题,C错误. 4.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC B.在△ABC中,若sin2A=sin2B,则a=b C.在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,若A>B,则sinA>sinB都成立 D.在△ABC中,= 【答案】A,C,D 【解析】由正弦定理易知A,C,D正确.对于B,由sin2A=sin2B,可得A=B,或2A+2B=π,即A=B,或A+B=,∴a=b,或a2+b2=c2,故B错误. 5.在△ABC中,下列结论错误的有() A.a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形B.a2=b2+c2+,则∠A为45°; C.a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形D.若∠A: ∠B: ∠C=1: 2: 3,则a: b: c=1: 2: 3. 【答案】B,C,D 【解析】对于①,若a2>b2+c2,则b2+c2﹣a2<0,即有cosA=<0,即A为钝角,故①对; 对于②,若a2=b2+c2+bc,即b2+c2﹣a2=﹣bc,则cosA==﹣,即有A=135°,故②错; 对于③,若a2+b2>c2,则a2+b2﹣c2>0,即cosC>0,即C为锐角,不能说明A,B也是锐角,故③错; 对于④,若A: B: C=1: 2: 3,则A=30°,B=60°,C=90°,故a: b: c=sin30°: sin60°: sin90° =1: : 2.故④错.故选A. 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(k为非零实数),则下列结论错误的是() A.当k=5时,△ABC是直角三角形B.当k=3时,△ABC是锐角三角形 C.当k=2时,△ABC是钝角三角形D.当k=1时,△ABC是钝角三角形 【答案】A,B,C 【解析】当k=5时,,根据正弦定理不妨设a=5m,b=3m,c=4m,显然△ABC是直角三角形; 当k=3时,,根据正弦定理不妨设a=3m,b=3m,c=4m, 显然△ABC是等腰三角形,,说明∠C为锐角,故△ABC是锐角三角形; 当k=2时,,根据正弦定理不妨设a=2m,b=3m,c=4m, ,说明∠C为钝角,故△ABC是钝角三角形; 当k=1时,,根据正弦定理不妨设a=m,b=3m,c=4m, 此时a+b=c,不等构成三角形,故命题错误,故选A,B,C. 7.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( ) A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45° C.a=6,b=3,B=60° D.a=20,b=30,A=30° 【解析】B,C 【解析】对于A,∵b=7,c=3,C=30°, ∴由正弦定理可得: sinB===>1,无解; 对于B,b=5,c=4,B=45°, ∴由正弦定理可得sinC===<1,且c<b,有一解; 对于C,∵a=6,b=3,B=60°, ∴由正弦定理可得: sinA===1,A=90°,此时C=30°,有一解; 对于D,∵a=20,b=30,A=30°, ∴由正弦定理可得: sinB===<1,且b>a, ∴B有两个可能值,本选项符合题意.故选B,C. 4 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!
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