最新高考章节专项讲解和练习第二章27函数的图象.docx
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最新高考章节专项讲解和练习第二章27函数的图象
§2.7 函数的图象
最新考纲
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
1.描点法作图
方法步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.
2.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)
y=-f(x);
②y=f(x)
y=f(-x);
③y=f(x)
y=-f(-x);
④y=ax(a>0且a≠1)
y=logax(a>0且a≠1).
(3)伸缩变换
①y=f(x)
y=f(ax).
②y=f(x)
y=af(x).
(4)翻折变换
①y=f(x)
y=|f(x)|.
②y=f(x)
y=f(|x|).
概念方法微思考
1.函数f(x)的图象关于直线x=a对称,你能得到f(x)解析式满足什么条件?
提示 f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).
2.若函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于点(a,b)对称,求f(x),g(x)的关系.
提示 g(x)=2b-f(2a-x)
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.( × )
(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( × )
(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( × )
(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.( × )
题组二 教材改编
2.[P35例5(3)]函数f(x)=x+
的图象关于( )
A.y轴对称B.x轴对称
C.原点对称D.直线y=x对称
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数,故选C.
3.[P32T2]小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是.(填序号)
答案 ③
解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除①.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除②.故③正确.
4.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是.
答案 (-1,1]
解析 在同一坐标系内作出y=f(x)和y=log2(x+1)的图象(如图).由图象知不等式的解集是(-1,1].
题组三 易错自纠
5.下列图象是函数y=
的图象的是( )
答案 C
6.把函数f(x)=lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的函数解析式是________________.
答案 y=ln
解析 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln
.
7.(2018·太原调研)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是__________.
答案 (0,+∞)
解析 在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示.由图象知,当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.
题型一 作函数的图象
分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lg(x-1)|;
(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2;(4)y=
.
解
(1)首先作出y=lgx的图象,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象,如图①所示(实线部分).
(2)将y=2x的图象向左平移1个单位,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位,得到y=2x+1-1的图象,如图②所示.
(3)y=x2-|x|-2=
其图象如图③所示.
(4)∵y=2+
,故函数的图象可由y=
的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图④所示.
思维升华图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+
的函数.
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.
题型二 函数图象的辨识
例1
(1)函数y=
的图象大致是( )
答案 D
解析 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数,x≠0,且当x>0时,y=xlnx,y′=1+lnx,可知函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.由此可知应选D.
(2)设函数f(x)=2x,则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )
A.y=f(|x|)B.y=-|f(x)|
C.y=-f(-|x|)D.y=f(-|x|)
答案 C
解析 题图中是函数y=-2-|x|的图象,
即函数y=-f(-|x|)的图象,故选C.
思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;
(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
跟踪训练1
(1)函数f(x)=1+log2x与g(x)=
x在同一直角坐标系下的图象大致是( )
答案 B
解析 因为函数g(x)=
x为减函数,且其图象必过点(0,1),故排除A,D.因为f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1个单位得到的,所以f(x)为增函数,且图象必过点(1,1),故可排除C,故选B.
(2)函数y=
的部分图象大致为( )
答案 D
解析 令f(x)=
,则f(-x)=
=
=f(x),∴f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除B,C.当x>1时,y=
=
,显然y>0且函数单调递减,故D正确.
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例2
(1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
答案 C
解析 将函数f(x)=x|x|-2x
去掉绝对值,得
f(x)=
画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
(2)设f(x)=|lg(x-1)|,若0 答案 (4,+∞) 解析 画出函数f(x)=|lg(x-1)|的图象如图所示. 由f(a)=f(b)可得-lg(a-1)=lg(b-1),解得ab=a+b>2 (由于a4. 命题点2 解不等式 例3函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式 <0的解集为. 答案 ∪ 解析 当x∈ 时,y=cosx>0. 当x∈ 时,y=cosx<0. 结合y=f(x),x∈[0,4]上的图象知, 当1 时, <0.又函数y= 为偶函数, 所以在[-4,0]上, <0的解集为 , 所以 <0的解集为 ∪ . 命题点3 求参数的取值范围 例4 (1)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是. 答案 (0,1] 解析 作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,由图可知k∈(0,1]. (2)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是. 答案 解析 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为 ,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的取值范围为 . 思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系. (2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题. 跟踪训练2 (1)(2018·昆明检测)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定: 当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)| A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 答案 C 解析 画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)| 综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值. (2)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是. 答案 [-1,+∞) 解析 如图作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图象,观察图象可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞). 高考中的函数图象及应用问题 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别,函数图象的变换及函数图象的应用等,多以小题形式考查,难度不大,常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决.熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提. 一、函数的图象和解析式问题 例1 (1)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( ) 答案 B 解析 当x∈ 时,f(x)=tanx+ ,图象不会是直线段,从而排除A,C; 当x∈ 时,f =f =1+ , f =2 .∵2 <1+ , ∴f =f ,从而排除D,故选B. (2)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= -1 D.f(x)=x- 答案 A 解析 由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x- ,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D,故选A. (3)(2018·全国Ⅱ)函数f(x)= 的图象大致为( ) 答案 B 解析 ∵y=ex-e-x是奇函数,y=x2是偶函数, ∴f(x)= 是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项. 当x=1时,f (1)= =e- >0,排除D选项. 又e>2,∴ < ,∴e- > ,排除C选项. 故选B. 二、函数图象的变换问题 例2已知定义在区间[0,4]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( ) 答案 D 解析 方法一 先作出函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图象,得到y=f(-x)的图象; 然后将y=f(-x)的图象向右平移2个单位,得到y=f(2-x)的图象; 再作y=f(2-x)的图象关于x轴的对称图象,得到y=-f(2-x)的图象.故选D. 方法二 先作出函数y=f(x)的图象关于原点的对称图象,得到y=-f(-x)的图象;然后将y=-f(-x)的图象向右平移2个单位,得到y=-f(2-x)的图象.故选D. 方法三 当x=0时,y=-f(2-0)=-f (2)=-4.故选D. 三、函数图象的应用 例3 (1)已知函数f(x)= 其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是. 答案 (3,+∞) 解析 在同一坐标系中,作y=f(x)与y=b的图象.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2 (2)不等式3sin - x<0的整数解的个数为. 答案 2 解析 不等式3sin - x<0,即3sin < x.设f(x)=3sin ,g(x)= x,在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象,由图象可知,当x为整数3或7时,有f(x) - x<0的整数解的个数为2. (3)已知函数f(x)= 若实数a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是. 答案 (2,2021) 解析 函数f(x)= 的图象如图所示,不妨令a 由正弦曲线的对称性可知a+b=1,而1 所以2 1.(2018·浙江)函数y=2|x|sin2x的图象可能是( ) 答案 D 解析 由y=2|x|sin2x知函数的定义域为R, 令f(x)=2|x|sin2x,则f(-x)=2|-x|sin(-2x) =-2|x|sin2x. ∵f(x)=-f(-x),∴f(x)为奇函数. ∴f(x)的图象关于原点对称,故排除A,B. 令f(x)=2|x|sin2x=0,解得x= (k∈Z), ∴当k=1时,x= ,故排除C. 故选D. 2.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是( ) 答案 C 解析 当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C. 3.已知函数f(x)=logax(0 答案 A 解析 先作出函数f(x)=logax(00时,y=f(|x|+1)=f(x+1),其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到,又函数y=f(|x|+1)为偶函数,所以再将函数y=f(x+1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边,得到x<0时的图象,故选A. 4.若函数f(x)= 的图象如图所示,则f(-3)等于( ) A.- B.- C.-1D.-2 答案 C 解析 由图象可得-a+b=3,ln(-1+a)=0,得a=2,b=5,∴f(x)= 故f(-3)=2×(-3)+5=-1,故选C. 5.函数f(x)的图象向右平移1个单位,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)的解析式为( ) A.f(x)=ex+1B.f(x)=ex-1 C.f(x)=e-x+1D.f(x)=e-x-1 答案 D 解析 与y=ex的图象关于y轴对称的函数为y=e-x.依题意,f(x)的图象向右平移一个单位,得y=e-x的图象.∴f(x)的图象由y=e-x的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1. 6.(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)= 若方程f(x)=x+a有两个不同实根,则实数a的取值范围为( ) A.(-∞,1)B.(-∞,1] C.(0,1)D.(-∞,+∞) 答案 A 解析 当x≤0时,f(x)=2-x-1,当0 类推有f(x)=f(x-1)=22-x-1,x∈(1,2],…,也就是说,x>0的部分是将x∈(-1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的,其部分图象如图所示. 若方程f(x)=x+a有两个不同的实数根,则函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a<1,即a的取值范围是(-∞,1). 7.设函数y=f(x+1)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数,且图象过点(1,0),则不等式(x-1)f(x)≤0的解集为. 答案 {x|x≤0或1 解析 画出f(x)的大致图象如图所示. 不等式(x-1)f(x)≤0可化为 或 由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1 8.设函数y=f(x)的图象与y=2x-a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则实数a=. 答案 -2 解析 由函数y=f(x)的图象与y=2x-a的图象关于直线y=-x对称,可得f(x)=-a-log2(-x),由f(-2)+f(-4)=1,可得-a-log22-a-log24=1,解得a=-2. 9.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个实数根,则k的取值范围是. 答案 解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的示意图如图所示,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1). 记B(2,0),由图象知,方程有四个实数根, 即函数f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点, 故kAB =- ,∴- 10.给定min{a,b}= 已知函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为. 答案 (4,5) 解析 作出函数f(x)的图象,函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4的图象如图所示,由于直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为(4,5). 11.已知函数f(x)= 的值域为[0,2],则实数a的取值范围是. 答案 [1, ] 解析 先作出函数f(x)=log2(1-x)+1,-1≤x<0的图象,再研究f(x)=x3-3x+2,0≤x≤a的图象. 令f′(x)=3x2-3=0,得x=1(x=-1舍去),由f′(x)>0,得x>1, 由f′(x)<0,得0 又f(0)=f( )=2,f (1)=0.所以1≤a≤ . 12.已知函数f(x)=2x,x∈R. (1)当实数m取何值时,方程|f(x)-2|=m有一个解? 两个解? (2)若不等式f2(x)+f(x)-m>0在R上恒成立,求实数m的取值范围. 解 (1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|, G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示. 由图象可知,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个实数解; 当0 (2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t,t>0, 因为H(t)= 2- 在区间(0,+∞)上是增函数, 所以H(t)>H(0)=0. 因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为(-∞,0]. 13.已知函数f(x)= 则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是( ) A.f(x1)+f(x2)<0B.f(x1)+f(x2)>0 C.f(x1)-f(x2)>0D.f(x1)-f(x2)<0 答案 D 解析 函数f(x)的图象如图实线部分所示,且f(-x)=f(x),从而函数f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是增函数,又0<|x1|<|x2|, ∴f(x2)>f(x1), 即f(x1)-f(x2)<0. 14.已知函数f(x)= ,g(x)=1+ ,若f(x) 答案 ∪ 解析 f(x)= g(x)= 作出两函数的图象如图所示.当0≤x<1时,由-1+ =x+1, 解得x= ;当x>1时,由1+ =x+1,解得x= .结合图象可知,满足f(x) ∪ . 15.已知函数f(x)= g(x)=|x-k|+|x-2|,若对任意的x1,x2∈R,都有f(x1)≤g(x2)成立,则实数k的取值范围为____________. 答案 ∪ 解析 对任意的x1,x2∈R,都有f(x1)≤g(x2)成立, 即f(x)max≤g(x)min. 观察f(x)= 的图象可知,当x= 时,函数f(x)max= . 因为g(x)=|x-k|+|x-2|≥|x-k-(x-2)|=|k-2|, 所以g(x)min=|k-2|,所以|k-2|≥ , 解得k≤ 或k≥ . 故实数k的取值范围是 ∪ . 16.已知函数f(x)= 若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x1,x2,x3,使得 = = =k,求实数k的取值范围. 解 由题意知,直线y=kx与函数y=f(x)(x∈[0,6])的图象至少有3个公共点.函数y=f(x)的图象如图所示,由图知k的取值范围是 .
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