届北师大版理 函数与导数单元测试.docx
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届北师大版理函数与导数单元测试
数学
B单元函数与导数
B1 函数及其表示
6.B1[2015·湖北卷]已知符号函数sgnx=f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则( )
A.sgn[g(x)]=sgnx
B.sgn[g(x)]=-sgnx
C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]
D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]
6.B [解析]不妨令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)-f(2x)=-x,故sgn[g(x)]=sgn(-x),排除A;sgn[f(x)]=sgn(x+1)≠sgn[g(x)],又sgn[g(x)]≠-sgn[f(x)],所以排除C,D.故选B.
10.B1[2015·湖北卷]设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同时成立,则正整数n的最大值是( )
A.3B.4
C.5D.6
10.B [解析][t]=1,则1≤t<2,①
[t2]=2,则2≤t2<3,②
显然存在t∈[,)使得[t]=1与[t2]=2同时成立.
[t3]=3,则3≤t3<4,即3≤t<4,③
因为2<3<4<3,所以存在3≤t<4使得①②③同时成立.
[t4]=4,则4≤t4<5,则4≤t<5,④
同理,可以求得3≤t<5使得①②③④同时成立.
[t5]=5,则5≤t5<6,即5≤t<6,⑤
因为6<3,所以5≤t<6与3≤t<5的交集为空集.
所以n的最大值是4.故选B.
10.B1、B6[2015·山东卷]设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )
A.B.[0,1]
C.D.[1,+∞)
10.C [解析]当a<1时,f(a)=3a-1,若f(f(a))=2f(a),则f(a)≥1,即3a-1≥1,∴≤a<1;
当a≥1时,f(a)=2a≥2,此时f(f(a))=2f(a).
综上所述,a≥.
7.B1[2015·浙江卷]存在函数f(x)满足:
对于任意x∈R都有( )
A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+x
C.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|
7.D [解析]对选项A中的函数,当x=0时,得f(0)=0,当x=时,得f(0)=1,矛盾;选项B中的函数,当x=0时,得f(0)=0,当x=时,得f(0)=+,矛盾;选项C中的函数,当x=-1时,得f
(2)=0,当x=1时,得f
(2)=2,矛盾;选项D中的函数变形为f((x+1)2-1)=,令t=(x+1)2-1可知,f(t)=满足要求.
10.B1、B3[2015·浙江卷]已知函数f(x)=则f[f(-3)]=________,f(x)的最小值是________.
10.0 2-3 [解析]f(-3)=lg10=1,
f[f(-3)]=f
(1)=0.当x≥1时,x+-3≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,lg(x2+1)≥lg1=0.故最小值为2-3.
B2反函数
B3函数的单调性与最值
21.B3、B14[2015·安徽卷]设函数f(x)=x2-ax+b.
(1)讨论函数f(sinx)在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
(2)记f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sinx)-f0(sinx)|在上的最大值D;
(3)在
(2)中,取a0=b0=0,求z=b-满足条件D≤1时的最大值.
21.解:
(1)f(sinx)=sin2x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b,- [f(sinx)]′=(2sinx-a)cosx,- 因为- ①当a≤-2,b∈R时,函数f(sinx)单调递增,无极值. ②当a≥2,b∈R时,函数f(sinx)单调递减,无极值. ③对于-2 当- 当x0≤x<时,函数f(sinx)单调递增. 因此,当-2 (2)当-≤x≤时,|f(sinx)-f0(sinx)|=|(a0-a)sinx+b-b0|≤|a-a0|+|b-b0|, 当(a0-a)(b-b0)≥0时,取x=,等号成立, 当(a0-a)(b-b0)<0时,取x=-,等号成立. 由此可知,|f(sinx)-f0(sinx)|在上的最大值D=|a-a0|+|b-b0|. (3)D≤1即为|a|+|b|≤1,此时0≤a2≤1,-1≤b≤1,从而得z=b-≤1. 取a=0,b=1,则|a|+|b|≤1,并且z=b-=1, 由此可知,z=b-满足条件D≤1的最大值为1. 22.B3、M3、E7[2015·湖北卷]已知数列{an}的各项均为正数,bn=nan(n∈N+),e为自然对数的底数. (1)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较与e的大小; (2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明; (3)令cn=(a1a2…an),数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明: Tn 22.解: (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1-ex. 当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增; 当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减. 故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞). 当x>0时,f(x) 令x=,得1+ (2)=1×=1+1=2; =·=2×2×=(2+1)2=32; =·=32×3×=(3+1)3=43. 由此推测: =(n+1)n.② 下面用数学归纳法证明②. (i)当n=1时,左边=右边=2,②成立. (ii)假设当n=k时,②成立,即=(k+1)k. 当n=k+1时,bk+1=(k+1)ak+1,由归纳假设可得 =·=(k+1)k(k+1)·=(k+2)k+1. 所以当n=k+1时,②也成立. 根据(i)(ii),可知②对一切正整数n都成立. (3)证明: 由cn的定义,②,算术几何平均不等式,bn的定义及①得 Tn=c1+c2+c3+…+cn =(a1)+(a1a2)+(a1a2a3)+…+(a1a2…an) =+++…+≤ +++…+ =b1+b2 +…+bn· =b1+b2+…+ bn<++…+=a1+a2+…+an 即Tn 14.B3,B5[2015·北京卷]设函数f(x)= (1)若a=1,则f(x)的最小值为________; (2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________. 14. (1)-1 (2)∪[2,+∞) [解析] (1)当a=1时,f(x)=当x<1时,-1<2x-1<1;当x≥1时,f(x)=4x2-12x+8在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,f(x)min=f=4×-12×+8=-1. (2)当a≤0或a≥2时,f(x)=2x-a,x<1与x轴无交点,故此时f(x)=4(x2-3ax+2a2),x≥1与x轴应有2个交点, 所以解得a≥1,故此时a≥2. 当0 故此时f(x)=4(x2-3ax+2a2),x≥1与x轴应有1个交点, 所以或f (1)<0,解得a=或 综上可知,a的取值范围为∪[2,+∞). 5.B3、B4、B7[2015·湖南卷]设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 5.A [解析]由已知可得,f(x)=ln=ln-1,y=-1在(0,1)上为增函数,故y=f(x)在(0,1)上为增函数.又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故y=f(x)为奇函数. 14.B3、B6[2015·山东卷]已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________. 14.- [解析]若00,a≠1)在区间[-1,0]上为减函数,即解得 若a>1,则f(x)=ax+b(a>0,a≠1)在区间[-1,0]上为增函数,即无解. ∴a+b=-2=-. 15.B3,B12[2015·四川卷]已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=. 现有如下命题: ①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0; ②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0; ③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n; ④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n. 其中的真命题有______(写出所有真命题的序号). 15.①④ [解析]对于①,因为f′(x)=2xln2>0恒成立,故①正确. 对于②,取a=-8,则g′(x)=2x-8,当x1,x2<4时,n<0,②错误. 对于③,令f′(x)=g′(x),即2xln2=2x+a, 记h(x)=2xln2-2x,则h′(x)=2x(ln2)2-2, 存在x0∈(2,3),使得h′(x0)=0,可知函数h(x)先减后增,有最小值. 因此,对任意的a,m=n不成立,③错误. 对于④,由f′(x)=-g′(x),得2xln2=-2x-a. 令h(x)=2xln2+2x,则h′(x)=2x(ln2)2+2>0恒成立,即h(x)是单调递增函数, 当x→+∞时,h(x)→+∞, 当x→-∞时,h(x)→-∞, 因此对任意的a,存在直线y=-a与函数h(x)的图像有交点,④正确. 10.B1、B3[2015·浙江卷]已知函数f(x)=则f[f(-3)]=________,f(x)的最小值是________. 10.0 2-3 [解析]f(-3)=lg10=1, f[f(-3)]=f (1)=0.当x≥1时,x+-3≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,lg(x2+1)≥lg1=0.故最小值为2-3. 18.B3、B5、E7[2015·浙江卷]已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值. (1)证明: 当|a|≥2时,M(a,b)≥2; (2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值. 18.解: (1)证明: 由f(x)=+b-,得f(x)的图像的对称轴为直线x=-. 由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f (1)|,|f(-1)|}. 当a≥2时,由f (1)-f(-1)=2a≥4, 得max{f (1),-f(-1)}≥2, 即M(a,b)≥2. 当a≤-2时,由f(-1)-f (1)=-2a≥4, 得max{f(-1),-f (1)}≥2,即M(a,b)≥2. 综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2. (2)由M(a,b)≤2得, |1+a+b|=|f (1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2, 故|a+b|≤3,|a-b|≤3, 由|a|+|b|=得 |a|+|b|≤3. 当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2, 即M(2,-1)=2. 所以|a|+|b|的最大值为3. 16.B3、B9[2015·重庆卷]若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=________. 16.-6或4 [解析]当a=-1时,f(x)=3|x+1|≥0,不成立;当a<-1时,f(x)=故f(x)min=f(a)=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f(x)=故f(x)min=f(a)=-a+1+2a=5,解得a=4. B4函数的奇偶性与周期性 2.B4、B9[2015·安徽卷]下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A.y=cosxB.y=sinx C.y=lnxD.y=x2+1 2.A [解析]y=cosx是偶函数,且cosx=0有实数解,A正确;y=sinx是奇函数,B不正确;y=lnx是非奇非偶函数,C不正确;y=x2+1是偶函数,但x2+1=0无实数解,D不正确. 3.B4[2015·广东卷]下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=B.y=x+ C.y=2x+D.y=x+ex 3.D [解析]若f(x)=,则f(-x)===f(x)(x∈R),即A是偶函数;若f(x)=x+,则f(-x)=-x-=-=-f(x)(x≠0),即B是奇函数;若f(x)=2x+,则f(-x)=2-x+=+2x=f(x)(x∈R),即C是偶函数.选D. 13.B4[2015·全国卷Ⅰ]若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=________. 13.1 [解析]由f(-x)=f(x)得-xln(-x+)=xln(x+),即x[ln(x++ln(-x+]=xlna=0对定义域内的任意x恒成立,因为x不恒为0,所以lna=0,所以a=1. 2.B4[2015·福建卷]下列函数为奇函数的是( ) A.y=B.y=|sinx| C.y=cosxD.y=ex-e-x 2.D [解析]对于A,函数y=的定义域为,不关于原点对称,故既不是奇函数也不是偶函数;B,C选项为偶函数;对于D,设f(x)=ex-e-x,则其定义域为R,且f(-x)=e-x-e-(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)=ex-e-x为奇函数.故选D. 5.B3、B4、B7[2015·湖南卷]设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 5.A [解析]由已知可得,f(x)=ln=ln-1,y=-1在(0,1)上为增函数,故y=f(x)在(0,1)上为增函数.又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故y=f(x)为奇函数. 7.B4、B6、B7[2015·天津卷]已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( ) A.a C.c 7.C [解析]因为函数f(x)=2|x-m|-1是偶函数,所以m=0.a=f(log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2,b=f(log25)=2log25-1=4,c=f(0)=20-1=0,所以c B5二次函数 14.B3,B5[2015·北京卷]设函数f(x)= (1)若a=1,则f(x)的最小值为________; (2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________. 14. (1)-1 (2)∪[2,+∞) [解析] (1)当a=1时,f(x)=当x<1时,-1<2x-1<1;当x≥1时,f(x)=4x2-12x+8在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,f(x)min=f=4×-12×+8=-1. (2)当a≤0或a≥2时,f(x)=2x-a,x<1与x轴无交点,故此时f(x)=4(x2-3ax+2a2),x≥1与x轴应有2个交点, 所以解得a≥1,故此时a≥2. 当0 故此时f(x)=4(x2-3ax+2a2),x≥1与x轴应有1个交点, 所以或f (1)<0,解得a=或 综上可知,a的取值范围为∪[2,+∞). 12.B5[2015·陕西卷]对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上 12.A [解析]若前三个选项中的结论正确,则a-b+c=0,-=1,a+b+c=3,解得a=-,与a为非零整数矛盾,故错误的结论一定在前三个选项,选项D中的结论一定正确;若选项A,B正确,则有a-b+c=0,-=1,4a+2b+c=8,解得a=-,与a为非零整数矛盾,故错误结论一定在选项A,B中,即选项C,D的结论正确;若选项A正确,则a-b+c=0,=3,4a+2b+c=8,整理得a无实数解,与a为非零整数矛盾,故错误的只能是选项A中的结论. 8.B5、B9[2015·天津卷]已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( ) A.B. C.D. 8.D [解析]f(2-x)= 即f(2-x)=而f(x)= 所以f(x)+f(2-x)=在同一坐标系中分别画出函数y=f(x)+f(2-x),y=b的图像,如图.要使y=f(x)-g(x)有4个不同的零点,只要上述两个函数的图像有4个不同的交点即可,由于函数y=f(x)+f(2-x)的最小值为,因此 18.B3、B5、E7[2015·浙江卷]已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值. (1)证明: 当|a|≥2时,M(a,b)≥2; (2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值. 18.解: (1)证明: 由f(x)=+b-,得f(x)的图像的对称轴为直线x=-. 由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f (1)|,|f(-1)|}. 当a≥2时,由f (1)-f(-1)=2a≥4, 得max{f (1),-f(-1)}≥2, 即M(a,b)≥2. 当a≤-2时,由f(-1)-f (1)=-2a≥4, 得max{f(-1),-f (1)}≥2,即M(a,b)≥2. 综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2. (2)由M(a,b)≤2得, |1+a+b|=|f (1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2, 故|a+b|≤3,|a-b|≤3, 由|a|+|b|=得 |a|+|b|≤3. 当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2, 即M(2,-1)=2. 所以|a|+|b|的最大值为3. B6指数与指数函数 10.B1、B6[2015·山东卷]设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( ) A.B.[0,1] C.D.[1,+∞) 10.C [解析]当a<1时,f(a)=3a-1,若f(f(a))=2f(a),则f(a)≥1,即3a-1≥1,∴≤a<1; 当a≥1时,f(a)=2a≥2,此时f(f(a))=2f(a). 综上所述,a≥. 14.B3、B6[2015·山东卷]已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________. 14.- [解析]若00,a≠1)在区间[-1,0]上为减函数,即解得 若a>1,则f(x)=ax+b(a>0,a≠1)在区间[-1,0]上为增函数,即无解. ∴a+b=-2=-. 8.A2,B6,B7[2015·四川卷]设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.B [解析]当3a>3b>3时,有a>b>1,从而有loga3 取a=,b=3,此时loga3 7.B4、B6、B7[2015·天津卷]已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( ) A.a C.c 7.C [解析]因为函数f(x)=2|x-m|-1是偶函数,所以m=0.a=f(log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2,b=f(log25)=2log25-1=4,c=f(0)=20-1=0,所以c 12.B6、B7[2015·浙江卷]若a=log43,则2a+2-a=________. 12. [解析]2a=2log43=2log2=,则2a+2-a=+=. B7对数与对数函数 5.B7[2015·全国卷Ⅱ]设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=( ) A.3B.6 C.9D.12 5.C [解析]因为f(-2)=1+log24=3,f(log212)=2(log212-1)=6,所以f(-2)+f(log212)=9,故选C. 7.B7[2015·北京卷]如图13,函数f(x)的图像为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( ) A.{x|-1 B. C. D. 7.C [解析]C [解析]由图知,f(x)=设g(x)=log2(x+1).在同一坐标系中画出f(x),g(x)的图像(如图),令-x+2=log2(x+1),解得x=1,故不等式的解集为{x|-1 5.B3、B4、B7[2015·湖南卷]设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 5.A [解析]由已知可得,f(x)=ln=ln-1,y=-1在(0,1)上为增函数,故y=f(x)在(0,1)上为增函数.又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故y=f(x)为奇函数. 9.B7、E6[2015·陕西卷]设f(x)=lnx,0 A.q=r C.q=r>pD.p=r>q 9.B [解析]r=(f(a)+f(b))=ln(ab)=ln=p.因为b>a>0,所以>,又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以q>p=r,故选B. 8.A2,B6,B7[2015·四川卷]设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要
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