正项级数及其审敛法.ppt

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二、比较审敛法二、比较审敛法三、比值审敛法和根值审敛法三、比值审敛法和根值审敛法第二节一、正项级数收敛的充分必要条件一、正项级数收敛的充分必要条件正项级数及其审敛法第十一章第十一章一、正项级数收敛的充分必要条件一、正项级数收敛的充分必要条件正项级数正项级数收敛的收敛的充要条件充要条件是是:

部分和数列部分和数列有上界有上界.设设收敛收敛,有上界有上界,故故又知又知故有界故有界.正项级数正项级数：

单调递增单调递增,收敛收敛,也收敛也收敛.证证1.定义定义2.定理定理11.1（）（）问题：

正项级数收正项级数收敛的条件敛的条件?

二、比较审敛法二、比较审敛法1.引例引例例例1判定正项级数判定正项级数的敛散性的敛散性.分析分析：

欲寻找能控制该级欲寻找能控制该级数部分和数部分和Sn的新收敛级数的新收敛级数解解由于由于部分和部分和收敛收敛.定理定理11.2（比较审敛法比较审敛法）

（1）若若则则

（2）若若则则证证收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也也发散发散.设设正项级数正项级数部分和满足：

部分和满足：

收敛收敛.收敛收敛,矛盾矛盾!

由由

（1）

（1）有限项不影响有限项不影响级数的敛散性级数的敛散性同敛散同敛散.推论推论（比较审敛法比较审敛法）（）若若则则（）若若则则收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也也发散发散.设设正项级数正项级数比较法的使用思路：

比较法的使用思路：

欲证收敛欲证收敛（发散发散），则放大则放大（缩小缩小）例例2解解例例3讨论讨论p-级数级数（常数常数p0）.解解发散发散.而而发散发散,敛敛散散猜：

猜：

分析：

分析：

?

大大的敛散性的敛散性p-级数级数部分和部分和Sn有上界，有上界，p-级数收敛级数收敛.结论结论p-级数：

级数：

收敛，收敛，注注调和级数调和级数与与p-级数级数.常用的比较级数常用的比较级数:

等比级数等比级数,发散发散.例例4解解定理定理11.3（极限形式的比较审敛法极限形式的比较审敛法）则有则有两级数同敛散两级数同敛散;

（2）当当l=0（3）当当l=+设正项级数设正项级数满足满足

（1）当当0l+时时,证证由由定理定理11.2知知同敛散同敛散;

（1）当当0l+时时,（3）当当l=+时时,由由定理定理11.2知知,发散时发散时

（2）l=0情形情形,请请自证自证;极限形式的极限形式的比较审敛法比较审敛法使用思路：

使用思路：

寻找寻找un的的同阶无穷小同阶无穷小例例5解解分析分析寻找寻找的同阶无穷小的同阶无穷小.例例6解解分析分析寻找寻找的等价无穷小的等价无穷小.3n起主起主要要作用作用例例7解解三、比值审敛法和根值审敛法三、比值审敛法和根值审敛法设正项级数设正项级数则则

（1）当当

（2）当当时时,级数级数收敛收敛;或或时时,级数级数发散发散.1.比值审敛法比值审敛法定理定理11.4（达朗贝尔审敛法达朗贝尔审敛法）（3）当当时时,比值审敛法比值审敛法失效失效.证证

（1）由比较法，由比较法，因此因此所以级数发散所以级数发散.

（2）当当从而从而级数级数可能收敛可能收敛也也可能发散可能发散.例如例如,p级数级数但但级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.例例8解解小结：

小结：

通项含通项含n!

的级数，的级数，适合用适合用比值法比值法判敛散判敛散.解解例例9例例10解解小结小结:

通项含通项含an的级数，的级数，适合用适合用比值法比值法判敛散判敛散.2.根值审敛法根值审敛法为正项级数为正项级数,且且则则如如p级数级数级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.定理定理11.5（柯西审敛法柯西审敛法）证明与比证明与比值法类似值法类似（3）当当时时,根值审敛法根值审敛法失效失效.例例11解解（方法方法1）根值法根值法（方法方法2）比较法比较法故故比值法失效比值法失效.注注内容小结内容小结1.判断判断正项级数正项级数敛散性的一般程序：

敛散性的一般程序：

否否是是或不能肯定或不能肯定比值法比值法根值法根值法（可判）（可判）比值法比值法根值法根值法（可判）（可判）比值法、根值法比值法、根值法失效！

失效！

部分和极限法部分和极限法比较审敛法或比较审敛法或2.级数发散与一般项极限不为零的关系级数发散与一般项极限不为零的关系，则，则用比值法和用比值法和根值法判断的结论一致；根值法判断的结论一致；备用题备用题例例2-1解解例例8-1讨论讨论的敛散性的敛散性.解解由由定理定理11.4，级数收敛级数收敛;级数发散级数发散;解解例例8-2解解例例10-1故故原级数发散原级数发散.（方法方法1）比较法比较法解解例例11-1（方法方法3）根值法根值法小结小结:

通项含通项含an的级数，的级数，适合用适合用根值法根值法判敛散判敛散.（方法方法2）利用性质利用性质注注