待定系数法分解因式.docx
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待定系数法分解因式
待定系数法分解因式
【要点讲解】
这一部分中,通过一系列题目的因式分解过程,同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法,步骤,技巧等。
★★例1分解因式
思路1因为
所以设原式的分解式是
然后展开,利用多项式的恒等,求出m,n,的值。
解法1因为
所以可设
比较系数,得
由①、②解得
把
代入③式也成立。
∴
思路2前面同思路1,然后给x,y取特殊值,求出m,n的值。
解法2因为
所以可设
因为该式是恒等式,所以它对所有使式子有意义的x,y都成立,那么无妨令
得
令
得
解①、②得
或
把它们分别代入恒等式检验,得
∴
说明:
本题解法中方程的个数多于未知数的个数,必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。
若有的解对某个方程或所设的等式不成立,则需将此解舍去;若得方程组无解,则说明原式不能分解成所设形成的因式。
★★例2分解因式
思路本题是关于x的四次多项式,可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解设
由恒等式性质有:
由①、③解得
代入②中,②式成立。
∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解,故设原式
★★★例3在关于x的二次三项式中,当
时,其值为0;当
时,其值为0;当
时,其值为10,求这个二次三项式。
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式,然后利用已知条件求出各项的系数。
可考虑利用恒待式的性质。
解法1设关于x的二次三项式为
把已知条件分别代入,得
解得
故所求的二次三项为
思路2根据已知
时,其值0这一条件可设二次三项式为
然后再求出a的值。
解法2由已知条件知当
时,这个二次三项式的值都为0,故可设这个二次三项式为
把
代入上式,得
解得
故所求的二次三项式为
即
说明要注意利用已知条件,巧设二次三项式的表达式。
★★★★例4已知多项式
的系数都是整数。
若
是奇数,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积,然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明:
设
(m,n,r都是整数)。
比较系数,得
因为
是奇数,则
与d都为奇数,那么mr也是奇数,由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令
,得
②
由
是奇数,得
是奇数。
而m为奇数,故
是偶数,所以
是偶数。
这样②的左边是奇数,右边是偶数。
这是不可能的。
因此,题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明:
所要证的命题涉及到“不能”时,常常考虑用反证法来证明。
★★★★例5已知
能被
整除,求证:
思路:
可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明:
设
展开,比较系数,得
由①、②,得
,
代入③、④得:
,
∴
★★★例6若a是自然数,且
的值是一个质数,求这个质数。
思路:
因为质数只能分解为1和它本身,故可用待定系数法将多项式分解因式,且使得因式中值较小的为1,即可求a的值。
进而解决问题。
解:
由待定系数法可解得
由于a是自然数,且
是一个质数,
∴
解得
当
时,
不是质数。
当
时,
是质数。
∴
=11.
A级
★★★1、分解因式
_______.
★★★2、若多项式
能被
整除,则n=_______.
★★3、二次三项式当
时其值为-3,当
时其值为2,当
时其值为5,这个二次三项式是_______.
★★4、m,n是什么数时,多项式
能被
整除?
B级
★★★5、多项式
能分解为两个一次因式的积,则k=_____.
★★★6、若多项式
能被
整除,则
_______.
★★7、若多项式
当
2时的值均为0,则当x=_____时,多项式的值也是0。
★★★8、求证:
不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示:
1.
提示:
设原式
比较两边系数,得
由①、②解得
将
代入③式成立。
∴原式
2、-4。
提示:
设原式
=
比较系数,得
由①、②解得
代入③得
3、
提示:
设二次三项式为
把已知条件代入,得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数,得
解得
∴当m=-11,n=4已知多项式能被
整除。
5.-2
提示:
设原式
.
比较系数,得
解得
6.-7
提示:
设原式
比较系数,得
解得
∴
7.3.
提示:
设原式
比较系数,得
解得c=3.
∴当x=3时,多项式的值也是0.
8.设原式
且
展开后比较系数,得
由④、⑤得
代入③,再由①、③得
将上述
入②得
.而这与③矛盾,即方程组无解。
故命题得证。
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- 关 键 词:
- 待定系数法 分解 因式