平行四边形矩形菱形正方形的性质与判定5.docx
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平行四边形矩形菱形正方形的性质与判定5
1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(5)
编写:
王玉琴审定:
陆海泉
教学目标
1、会证明平行四边形的判定定理,结合具体命题了解反证法
2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明
3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明
4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程
教学重、难点
重点:
平行四边形判定定理的证明,反证法
难点:
用反证法证明
教学过程:
一、情境创设
回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件,填写下表:
条件
结论
四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O
四边形ABCD是平行四边形
二、合作交流
问题一你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的吗?
证明:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
分析:
先根据命题画出图形,再写出已知、求证,最后用研究平行四边形常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等,得到两组内错角相等,由平行线证出平行四边形。
问题二证明:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
问题三你认为“一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论正确吗?
为什么?
问题四你认为“在四边形ABCD中,如果OA=OC,OB≠OD,那么四边形ABCD不是平行四边形”这个结论正确吗?
为什么?
分析:
假设四边形ABCD是平行四边形,那么OA=OC,OB=OD,这与条件OB≠OD矛盾,所以四边形ABCD不是平行四边形。
假设条件成立,结论不成立,然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾的结果,从而证明结论一定成立,这种证明方法叫做反证法。
例1已知:
如图,在□ABCD中,对角线AC、BD
相交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F。
求证:
四边形AECF是平行四边形。
分析:
由垂直可证一组对边平行,再利用全等证这组对边相等;或由平行四边形对角线互相平分知OA=OC,再证OE=OF即可;或由垂直证一组对边平行,再利用面积相等法证这组对边相等。
练习:
P20页拓展与延伸及练习1、2
例2、(哈尔滨市)如图,已知E为平行四边形ABCD
中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、
BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.
求证:
AB=2OF.
证明:
连结BE
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD,AO=OC
=
AB=CD
∵CE=CD,
∴AB=CE,
∴四边形ABEC为平行四边形,
∴BF=FC,
∴
即AB=2OF.
说明能用平行四边形的知识解决的问题,不必用三角形的知识解决,这样更简便
练习
1.如图,平行四边形ABCD中,EF为边AD、BC上的点,且AE=CF,连结AF、EC、BE、DF交于M、N,试说明:
MFNE是平行四边形
2.如图:
已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上任意一点,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:
DE+DF=AC
3.平行四边形ABCD中,E、G、F、H分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH.
求证:
EF和GH互相平分.
4.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,连结BD
⑴ 求作:
∠A的平分线AE交BC于E,交BD于F;
(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
⑵ 求证:
①AB=BE;②
三、分层训练:
1.已知AD∥BC,要使四边形ABCD为平行四边形,需要增加条件
(只需填一个你认为正确的条件即可).
2.已知:
□ABCD的周长是30cm,对角线AC,BD相交于点O,⊿AOB的周长比⊿BOC的周长为5cm,则这个平行四边形的各边长为_____.
3.如图,在□ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF、GH的交点P在BD上,则图中有对四边形面积相等;它们是
4.□ABCD中,过O点的直线EF分别交AD、CB于E、F,AB=2.4㎝,BC=4㎝,OE=1.1㎝,则四边形CDEF的周长为______________㎝.
5.□ABCD中,AC、BD的长满足方程
,则CB的长的取值范围为.
6、(2006·广东省)如图,在□ABCD中,∠DAB=60°,点E、F分别在CD、AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB.
(1)求证:
四边形AFCE是平行四边形.
(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°,上述的结论还成立吗?
若成立,请写出证明过程;
若不成立,请说明理由.
四、小结
1.从边与边的关系:
两组对边分别平行
一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等
2.从角与角的关系:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3.从对角线的相互关系:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
五、课堂检测
六、教后感
C
B
E
A
D
F
例2、已知,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD上,∠FAE﹦∠BAE.
求证:
AF﹦BC+FC.
例3、求证:
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
例4、已知正方形ABCD。
(1)如图1,E是AD上一点,过BE上一点O作BE的垂线,交AB于点G,交CD于点H,求证:
BE=GH;
(2)如图2,过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线,分别交AD、BC于点E、F,交AB、CD于点G、H,EF与GH相等吗?
请写出你的结论;
(3)当点O在正方形ABCD的边上或外部时,过点O作两条互相垂直的直线,被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗?
其中一种情形如图3所示,过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n,m与AD、BC的延长线分别交于点E、F,n与AB、DC的延长线分别交于点G、H,试就该图对你的结论加以证明。
练习:
1、(2006年潍坊市)如图7,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为()
A.
B.
C.1-
D.1-
2、已知:
如图,正方形ABCD的周长为4a,四边形EFGH四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动,在滑动过程中,始终有EH∥BD∥FG,且EH=FG,那么四边形EFGH的周长是否可求?
若能求出,它的周长是多少?
若不能求出,请说明理由.
三、分层训练
1、如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是对角线AC上的一点,分别以AP、PC为对角线作正方形,则两个小正方形的周长的和是_________。
E
P
D
C
B
A
F
_
F
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A
2、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,则∠BEC=度.
3、如图:
正方形ABCD中,AC=10,P是AB上任意一点,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,则PE+PF=。
可以用一句话概括:
正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于
。
4、如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE平分∠DAC,则下列结论:
(1)∠E=22.50.
(2)∠AFC=112.50.(3)∠ACE=1350(4)AC=CE(5)AD∶CE=1∶
.其中正确的有()(A)5个(B)4个(C)3个(D)2个
5、如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C作CN⊥DM交AB于N,设正方形对角线交点为O,试确定OM与ON之间的关系,并说明理由.
6、(2006·济南市)现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片,从中任选一张,如图从距离正方形的四个顶点2cm处,沿45°角画线,将正方形纸片分成5部分,则中间阴影部分的面积是8;cm
;若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程,并计算阴影部分的面积,你能发现什么规律?
.得到的阴影部分的面积是
,即阴影部分的面积不变.
四、小结
(1)
正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如下图。
(2)正方形的性质:
①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形。
⑤正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对
(3)本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论,从特殊情形逐步推广到一般的情形,从而得到一般的结论,这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。
五、课堂检测
六、教后感
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 平行四边形 矩形 菱形 正方形 性质 判定