北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明 测试题及答案.docx
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北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明测试题及答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明
评卷人
得分
一、单选题
1.下列说法错误的是( )
A.等腰三角形两腰上的中线相等B.等腰三角形两腰上的高线相等
C.等腰三角形的中线与高重合D.等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等
2.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为()
A.8或10B.8C.10D.6或12
3.直角三角形的两直角边长分别是3cm,4cm,则斜边上的中线长为( )
A.5cmB.2.4cmC.2.5cmD.5cm或
cm
4.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,且AB=AD=DC,∠BAD=40°,则∠C为( )
A.25°B.35°C.40°D.50°
5.把直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b,这两条直线之间的距离是( )
A.1.5cmB.3cmC.0.75cmD.
cm
6.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E,已知PE=3,则点P到AB的距离是()
A.3B.4C.5D.6
7.如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE的度数为()
A.80°B.70°C.60°D.50°
8.如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC的度数为( )
A.120°B.30°C.60°D.80°
9.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,∠A=40°,P是△ABC内的一点,且∠1=∠2,则∠P的度数为()
A.110°B.120°C.130°D.140°
10.如图,已知AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分别E、F、G,且PF=PG=PE,则∠BPD=( ).
A.60°B.70°C.80°D.90°
评卷人
得分
二、填空题
11.在等腰三角形ABC中,
,则
________.
12.在△ABC中,∠A=50°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于D,则∠DBC的度数是________°.
13.如图,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,则∠DBC=________度.
14.如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,点E为AB的中点,AD=6,DE=5,则线段BD的长等于 ________.
15.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是________cm.
16.如图:
∠DAE=∠ADE=15°,DE∥AB,DF⊥AB,若AE=8,则DF等于________.
17.如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是.
18.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为________.
19.如图,AB+AC=7,D是AB上一点,若点D在BC的垂直平分线上,则△ACD的周长为.
20.如图,在△ABC中,AB=AC=11,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长为________.
评卷人
得分
三、解答题
21.如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC,求证:
∠C=2∠D.
22.如图,∠A=∠D=90°,AB=DE,BF=EC.求证:
Rt△ABC≌Rt△DEF.
23.已知:
如图,
,
分别是
、
的中点.求证:
.
24.如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G.
(1)求证:
AD垂直平分EF;
(2)若∠BAC=60°,猜测DG与AG间有何数量关系?
请说明理由.
25.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
AC=AE;
(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.
26.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求证:
(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
27.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
(1)求证:
AD平分∠BAC;
(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.
参考答案
1.C
【解析】
试题解析:
根据全等三角形的判定定理SAS,A选项正确;
根据全等三角形的判定定理SAS,B选项正确;
非等边三角形的等腰三角形的腰上的中线与高不重合,C错误;
根据三线合一的性质,D正确;
故选C.
考点:
命题与定理.
2.C
【解析】
试题分析:
①2是腰长时,三角形的三边分别为2、2、4,∵2+2=4,∴不能组成三角形,
②2是底边时,三角形的三边分别为2、4、4,能组成三角形,周长=2+4+4=10,
综上所述,它的周长是10.故选C.
考点:
1.等腰三角形的性质;2.三角形三边关系;3.分类讨论.
3.C
【解析】
本题考查的是勾股定理,直角三角形斜边上的中线.由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,因此要先求出斜边的长;在直角三角形中,已知了两条直角边的长,由勾股定理可求出斜边的长为:
=5cm;故斜边上的中线长为2.5cm.故选C
4.B
【解析】
解:
∵AB=AD,∴∠B=∠ADB,
由∠BAD=40°得∠B=∠ADB=70°,
∵AD=DC,∴∠C=∠DAC,
∴∠C=
∠ADB=35°.故选B.
5.C
【解析】
如图,AB=1.5cm,作BC⊥a交于点C,
∵∠CAB=30°,∴BC=0.75cm.
故选C.
点睛:
直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半.
6.A
【解析】
角平分线上的点到角的两边的距离相等,故点P到AB的距离是3,故选A
7.D
【解析】
因为DE垂直平分AC,所以EA=EC,∠A=∠ACE.
因为∠A=30°,所以∠ACE=30°.
所以∠BCE=∠ACB-∠ACE=80°-30°=50°.
故选D.
8.C
【解析】
因为AB=AC,∠BAC=120°,所以∠B=30°.
因为AB的垂直平分线交BC于点D,所以DB=DA,所以∠B=∠DAB=30°.
所以∠ADC=∠B+∠DAB=30°+30°=60°.
故选C.
9.A
【解析】
试题解析:
∵∠A=40°,
∴∠ACB+∠ABC=180°-40°=140°,
又∵∠ABC=∠ACB,∠1=∠2,
∴∠PBA=∠PCB,
∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×
=70°,
∴∠BPC=180°-70°=110°.
故选A.
10.D
【解析】
∵PE⊥AB,PF⊥BD,PF=PE,
∴PB平分∠ABD,
∴∠PBD=
∠ABD,同理∠PDB=
∠CDB,
∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠CDB=180°,
∴2∠PBD+2∠PDB=180°,
∴∠PBD+∠PDB=90°,
∴∠BPD=180°-∠PBD-∠PDB=90°.
故选D.
点睛:
本题最后求的是角度,关键是利用角平分线的判定将PF=PG=PE转化为角度的关系.
11.400
【解析】
试题分析:
由条件可判断∠A为顶角,再利用三角形内角和定理求得∠B.
解:
∵
100°,
∴∠A只能为△ABC的顶角,
∵△ABC为等腰三角形,
∴∠B=∠C=
×(180°−100°)=40°,
故答案为40°.
12.15
【解析】
【详解】
因为∠A=50°,AB=AC,所以∠ABC=65°.
因为DE垂直平分AB,所以DA=DB,所以∠DBA=∠A=50°.
所以∠DBC=65°-50°=15°.
故答案为15.
点睛:
本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,等腰三角形的两个底角相等(等边对等角),结合三角形的内角和定理求解.
13.25
【解析】
【详解】
∵在△AOB和△DOC中,
,
∴△AOB≌△DOC,
∴OB=OC,
∴∠DBC=∠OCB,
∵∠DOC=50°,∠DOC=∠DBC+∠OCB,
∴∠DBC=25°.
故答案为25.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,三角形外角的性质等,熟练掌握相关知识是解题的关键.
14.8
【解析】
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,进而结合勾股定理得出BD的长.
【详解】
∵BD⊥AC于D,点E为AB的中点,
∴AB=2DE=2×5=10,
∴在Rt△ABD中,
BD=
=
=8.
故答案为8.
15.3
【解析】
试题分析:
如图,过点D作DE⊥AB于点E,然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得DE=CD=3,即D到AB的距离是3.
考点:
角平分线的性质.
16.4
【解析】
作DG⊥AC,垂足为G.
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE,
∵∠DAE=∠ADE=15°,
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°,
∴∠DEG=15°×2=30°,
∴ED=AE=8,
∴在Rt△DEG中,DG=
ED=
×8=4,
∴DF=DG=4.
故答案为4.
17.4.
【解析】
试题分析:
∵CD平分∠ACB交AB于点D,∴∠DCE=∠DCF,∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,在△DEC和△DFC中,∵∠DCE=∠DCF,∠DEC=∠DFC,CD=CD,∴△DEC≌△DFC,∴DF=DE=2,∴S△BCD=BC×DF÷2=4×2÷2=4.故答案为4.
考点:
角平分线的性质.
18.9
【解析】试题分析:
因为∠ABC与∠ACB的平分线交于点E,所以∠ABE=∠CBE,∠ACE=∠BCE,又MN//BC,所以∠MEB=∠CBE,∠NEC=∠BCE,所以∠MEB=∠MBE,∠NEC=∠NCE,所以MB=ME,NC=NE,所以MN=ME+NE=BM+CN=9.
考点:
角的平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质.
19.7.
【解析】
试题分析:
先根据点D在BC的垂直平分线上得出BD=CD,故△ACD的周长=AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC.
试题解析:
∵AB+AC=7,D是AB上一点,点D在BC的垂直平分线上,
∴BD=CD,
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=7.
故答案为:
7.
考点:
线段垂直平分线的性质.
20.5.5
【解析】
试题分析:
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,再求出∠DAE=∠EAB=30°,然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°,从而得到∠DAE=∠F,再根据等角对等边求出AD=DF,然后求出∠B=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答.
解:
∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=
∠BAC=
×120°=60°,
∵AE是∠BAD的角平分线,
∴∠DAE=∠EAB=
∠BAD=
×60°=30°,
∵DF∥AB,
∴∠F=∠BAE=30°,
∴∠DAE=∠F=30°,
∴AD=DF,
∵∠B=90°﹣60°=30°,
∴AD=
AB=
×9=4.5,
∴DF=4.5.
故答案为5.5.
考点:
等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
21.证明见解析
【解析】
试题分析:
首先根据AB=AC=AD,可得∠C=∠ABC,∠D=∠ABD,∠ABC=∠CBD+∠D;然后根据AD∥BC,可得∠CBD=∠D,据此判断出∠ABC=2∠D,再根据∠C=∠ABC,即可判断出∠C=2∠D.
试题解析:
∵AB=AC=AD,
∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD.
∴∠ABC=∠CBD+∠D.
∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=2∠D.
又∵∠C=∠ABC,∴∠C=2∠D.
22.证明见解析.
【解析】
试题分析:
在Rt△ABC和Rt△DEF中,由BF=EC可得BC=EF,又因为AB=DE,所以Rt△ABC≌Rt△DEF.
试题解析:
∵BF=EC,
∴BF+FC=FC+EC,即BC=EF,
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABC和△DEF都是直角三角形,
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
点睛:
掌握直角三角形全等的判定方法.
23.见解析
【解析】
【分析】
连接BE、DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE=
AC,再根据等腰三角形三线合一的性质证明.
【详解】
证明:
如图,连接BE、DE,
∵∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,
∴BE=DE=
AC,
∵F是BD的中点,
∴EF⊥BD.
【点睛】
此题考查直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的性质,解题关键在于作辅助线.
24.
(1)证明见解析;
(2)AG=3DG,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)、根据角平分线的性质得出DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,从而得出∠DEF=∠DFE,则∠AEF=∠AFE,从而说明AE=AF,即点A、D都在EF的垂直平分线上,得出答案;
(2)、根据∠BAC=60°,AD平分∠BAC得出AD=2DE,根据∠EGD=90°,∠DEG=30°得出DE=2DG,从而说明AD=4DG,即AG=3DG.
【详解】
(1)、∵AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,
∴∠DEF=∠DFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF∴点A、D都在EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF.
(2)、AG=3DG.
∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,∴∠EAD=30°,∴AD=2DE,∠EDA=60°,
∵AD⊥EF,∴∠EGD=90°,∴∠DEG=30°∴DE=2DG,∴AD=4DG,∴AG=3DG.
考点:
(1)、角平分线的性质;
(2)、中垂线的性质.
25.
(1)证明见解析;
(2)BE=
.
【解析】试题分析:
(1)求出△ACD≌△AED,根据全等三角形的性质得出即可;
(2)求出AD=BD,推出∠B=∠DAB=∠CAD,求出∠B=30°,即可求出BD=2CD=8,根据勾股定理求出即可.
(1)证明:
∵在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,
∴CD=DE,∠AED=∠C=90°,∠CAD=∠EAD,
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED,
∴AC=AE;
(2)解:
∵DE⊥AB,点E为AB的中点,
∴AD=BD,
∴∠B=∠DAB=∠CAD,
∵∠C=90°,
∴3∠B=90°,
∴∠B=30°,
∵CD=DE=4,∠DEB=90°,
∴BD=2DE=8,
由勾股定理得:
BE=
=4
.
考点:
角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
26.
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由AD⊥BC,CE⊥AB,易得∠AFE=∠B,利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB;
(2)由全等三角形的性质得AF=BC,由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD,等量代换得出结论.
【详解】
(1)证明:
由于AB=AC,故△ABC为等腰三角形,∠ABC=∠ACB;
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠AEC=∠BEC=90°,∠ADB=90°;
∴∠BAD+∠ABC=90°,∠ECB+∠ABC=90°,
∴∠BAD=∠ECB,
在Rt△AEF和Rt△CEB中
∠AEF=∠CEB,AE=CE,∠EAF=∠ECB,
所以△AEF≌△CEB(ASA)
(2)∵△ABC为等腰三角形,AD⊥BC,
故BD=CD,
即CB=2CD,
又∵△AEF≌△CEB,
∴AF=CB=2CD.
27.
(1)见解析;
(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF,故可得出DE=DF,所以AD平分∠BAC;
(2)由
(1)中△BDE≌△CDE可知BE=CF,AD平分∠BAC,故可得出△AED≌△AFD,所以AE=AF,故AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.
【详解】
(1)证明:
∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴∠E=∠DFC=90°,
∴△BDE与△CDE均为直角三角形,
∵
∴△BDE≌△CDF,
∴DE=DF,即AD平分∠BAC;
(2)AB+AC=2AE.
证明:
∵BE=CF,AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD,
∵∠E=∠AFD=90°,
∴∠ADE=∠ADF,
在△AED与△AFD中,
∵
,
∴△AED≌△AFD,
∴AE=AF,
∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质,熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键.
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