八年级数学变量与函数通用版知识精讲.docx
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八年级数学变量与函数通用版知识精讲
初二数学变量与函数通用版
【本讲主要内容】
变量与函数
1.常量和变量
2.函数的定义、表示方法和图象
3.如何求函数自变量的取值范围
4.函数在你身边
【知识掌握】
【知识点精析】
一.常量和变量
在某个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,在过程中保持同一数值的量或数,叫做常量或常数.
1.变量和常量都是相对于某一过程而言,没有绝对的变量.例如,一辆汽车用了2小时,从北京驶到天津,在这2小时的过程中,这辆汽车驶过的路程,是一个变量.但在分析这辆汽车到达天津的时间和它的速率之间的关系这个过程中,路程(从北京到天津)则成为了常量.
二.函数的定义、表示方法和图象
1.如何理解函数的定义
设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量.对于函数定义,应通过分析一些实例,才能对定义中的关键性词语,如“某一范围”、“每一个确定的值”、“唯一确定的值”、“对应”等进行深入的理解.请看下面的例子:
(1)圆的周长C(厘米)与它的半径r(厘米)之间的关系是C=2πr;
(2)铁的密度是7.8克/厘米3,V立方厘米的铁的质量是m;
(3)某种商品,单价是0.52元,一顾客买这种商品的个数x和应付的钱数y;
(4)设矩形的面积是24厘米2,长是x厘米,它的宽是y厘米;
(5)如图是某一天一昼夜间温度变化情况的曲线:
(6)某气象台气球上升的高度h和气球周围温度T之间的对应关系如下表所示:
由
(2),V立方厘米铁的质量是m=7.8V.体积V在正实数范围内任意选取,对于V的每一个确定的值,质量m都有唯一确定(一个而且只有一个)的值与它对应.由函数定义,m是V的函数.
由(6),气球上升的高度h在0到9这个范围内的整数中选取,对于气球上升高度h的每一个确定的值,气球周围温度T有唯一确定(一个而且只有一个)的值与它对应.由函数定义,T是h的函数.
函数的三要素:
自变量的取值范围、函数的取值范围和两个变量的对应关系称为函数的三要素.
2.函数的表示法:
(1)解析法
(2)列表法
(3)图象法
3.函数的图象
(1)函数的图象
把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标系内描出一个点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象.
(2)由函数解析式画函数图象的步骤
①列表.列表给出自变量与函数一些对应值.
②描点.以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点.
③连线.用平滑的曲线,按照自变量由小到大的顺序,把所描各点连接起来.
三.如何求函数自变量的取值范围
如果所研究的函数是用解析式表示,那么自变量的取值必须使它的解析式有意义.
求函数的解析式中自变量的取值范围的方法是:
(1)当函数的解析式是整式时,自变量取任意实数(即全体实数);
(2)当函数的解析式是分式时,自变量取使分母不等于零的任意实数.
(3)当函数的解析式是开平方的无理式时,自变量取使被开方的式子为非负数的实数;
(4)如果研究的是实际问题,自变量的取值还必须使实际问题有意义.
四.现代生活中,函数在你身边
你打开电视,翻开报纸,常常会看到一些曲线,如经济增长情况,一周气温变化,甚至甲A足球赛某队的战绩,……,直观地表达了许多语言不易表达清楚的意思.还有,到医院检查身体时,有时医生会说:
“做个心电图吧!
”然后,医生会仔细分析那个画着波浪曲线的纸带(如下图),这上面的波形曲线,就是一个图象.一百多年前,人们就知道心脏的跳动会产生一种极其微弱但又能测定的电流.1903年——正好距今一百年前,艾因特霍芬记录下了类似于今天的心电图的东西,他设想把心脏的跳动,用函数关系来表达,这种函数关系以图象——波形显示以后,心脏病的诊断就变成了现在一般医院都能做的临床检查方法.
心电图
函数的概念及表示法
定义
函数的表示法
变
量
与
常
量
在某个变化过程中,可以取不同的数值的量叫做变量;数值保持不变的量叫做常量.
解
析
法
用关于自变量x表示函数y的等式(即解析式)表示函数的方法叫做解析法.
注意:
在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义;如果遇到实际问题,还必须使实际问题有意义.
自
变
量
与
函
数
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在一个数集中取的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数
列
表
法
把自变量x的值与函数y的对应值列成表格表示函数的方法叫做列表法.
图
象
法
以自变量x的值为横坐标,以函数y的对应值为纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就叫做这个函数的图象.
用图象表示函数的方法叫做图象法.
【解题方法指导】
例1.指出下列公式中的常量与变量,自变量函数.
(1)由圆的半径r,求圆的周长:
C=2πr;
(2)由球的半径r,求球的表面积S:
S=4πr2;
(3)时间t一定,由速度v求距离S:
S=tv.
解:
(1)2π是常量,C和r是变量,其中r是自变量,C是r的函数;
(2)4π是常量,S和r是变量,其中r是自变量,S是r的函数;
(3)t是常量,S和v是变量,其中v是自变量,S是v的函数.
例2.求下列函数的自变量取值范围.
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(1)全体实数;
(2)当
,即
时,
有意义.
∴x的取值范围是
且
.
(3)当
,即
时,
有意义
∴x的取值范围是
(4)当2x-1≥0且x-3>0时,
有意义.
解不等式组
得
∴x的取值范围是x>3
例3.画出函数
的图象.
解:
当x-2≥0,即x≥2时,
有意义.
∴函数
的自变量x的取值范围是x≥2.
列表,在x的取值范围内取一些值,算出y的对应值,列成下表:
描点
连线,
的图象如图:
点评:
利用描点法画函数图象,应先确定函数自变量的取值范围,然后再按照列表、描点、连线的步骤,画出函数的图象.
例4.在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y,求△ABP的面积与P点移动路程间的函数解析式.
解:
如图
当0≤x≤4时,P在BC边上移动,△ABP中AB边上的高为x
;
当4 ; 当8 故所求的函数解析式为 点评: 上边这个函数为分段函数,对应规律直接依赖于自变量的取值范围. 【考点突破】 【考点指要】 常量和变量,函数的定义和表示方法在中考说明中是B级知识点,函数的图象,求函数自变量的取值范围在中考说明中是C级知识点,常以选择题、填空题等题型出现在中考题中,大约占有4分左右.现代社会充满了各种信息,考查学生从文字、图形、与数据中获取信息的能力的中考试题越来越多,其研究的对象涉及社会的各个方面,解决这类问题要用到数形结合的数学思想方法. 【典型例题分析】 例1.(2006年成都市中考题) 如图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米,由A地到B地时,行驶的路程y(千米)与经过的时间x(小时)之间的函数关系.请根据这个行驶过程中的图象填空: 汽车出发___________小时与电动自行车相遇;电动自行车的速度为_______千米/小时;汽车的速度为____________千米/小时;汽车比电动自行车早________小时到达B地. 答案: 0.5,9,45,2. 观察图形可知,相遇时,汽车用了0.5小时;电动汽车共用了5小时走完45千米,所以其速度为每小时9千米;汽车共用了一小时走完45千米,所以其速度为每小时45千米;汽车早到达2小时. 点评: 本题考查学生从图象、数据中获取信息的能力,用到了数形结合的数学思想方法. 例2.(2006年重庆市中考题) 观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民年人均收入每年比上年增长率的统计图,下列说法中正确的是(纵轴为年增长率)() A.2003年农村居民年人均收入低于2002年 B.农村居民年人均收入每年比上年增长率低于9%的有2年 C.农村居民年人均收入最多的是2004年 D.农村居民年人均收入每年比上年的增长率有大有小,但农村居民年人均收入在持续增加 答案: D 2003年比去年同期2002年的增长率是5.6%,故排除A,农村居民收入增长率低于9%的有三年,故排除B.2005年的增长率是11.9%,故排除C,选D. 点评: 本题考查了折线统计图的识图能力. 例3.(2006年南宁市中考题) 第三届南宁国际龙舟赛于2006年6月3日至4日在南湖举行,甲、乙两队在比赛时,路程y(米)与时间x(分钟)的函数图像如图所示,根据函数图像填空和解答问题: (1)最先到达终点的是__________队,比另一队领先____________分钟到达; (2)在比赛过程中,乙队在__________分钟和__________分钟时两次加速,图中点A的坐标是__________,点B的坐标是___________; (3)假设乙队在第一次加速后,始终保持这个速度继续前进,那么甲、乙两队谁先到达终点? 请说明理由. 答案: (1)乙,0.6; (2)1,3,(1,100),(3,450) (3)设直线AB的解析式为y=kx+b ,解得 ∴y=175x-75,当y=800米时,800=175x-75,解得x=5(分钟) ∴甲、乙两队同时到达终点 点评: 本题(3)由图象建立一次函数解析式,再用一次函数解析式解决实际问题. 例4.(2006年长春市中考题) 小张骑车往返于甲、乙两地,距甲地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数图像如图所示. (1)小张在路上停留________小时,他从乙地返回时骑车的速度为___________千米/时. (2)小李与小张同时从甲地出发,按相同路线匀速前往乙地,到乙地停止.途中小李与小张共相遇3次.请在图中画出小李距甲地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数的大致图像. (3)小王与小张同时出发,按相同路线前往乙地,距甲地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系式为y=12x+10.小王与小张在途中共相遇几次? 请你计算第一次相遇的时间. 答: (1)1,30 (2)所画图像如图所示 要求图像能正确反映起点与终点. (3)由函数y=12x+10的图像可知,小王与小张在途中共相遇2次,并在出发后2小时到4小时之间第一次相遇 当2≤x≤4时,y=20x-20 由 ,得 所以第一次相遇的时间为 小时. 例5.根据下面的表格回答问题: 表中x表示乘坐某路公共汽车的站数,y表示应付的票价(元). (i)y是x的函数吗? 为什么? (ii)x是y的函数吗? 为什么? 错误回答: (ii)x是y的函数,因为对于y的每一个值,x都有一个值和它对应. 错因: 没有理解函数概念中自变量与函数的对应关系. 正确回答: (i)y是x的函数,因为对于自变量x在表中取的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应; (ii)x不是y的函数,因为对于自变量y,并不是它的每一个值,x都有唯一的值与它对应,例如对于y=1时,x有三个值和它对应: x=1,x=2,x=3. 点评: 函数概念中的两个变量x和y之间的对应关系非常严格: 对于x的每一个允许取的值,y都有唯一的值与它对应,这里“唯一”有两个意思: 有一个且只有一个.但是,要说明y不是x的函数,只要x有一个值,它对应的y值至少有两个就行了.本题的两个小题,实质上是从正反两方面来加深对函数概念的理解. 【综合测试】 一、选择题: 1.(北京市课改实验区)在函数 中,自变量x的取值范围是() A.x≠3B.x≠0C.x>3D.x≠-3 2.(海南省)函数 中,自变量x的取值范围是() A.x≥1B.x>1C.x>0D.x≠1 3.(2003年北京市西城区中考模拟题)一杯水越晾越凉,下列图象中可以表示这杯水的水温T(℃)与时间t(分)的函数关系() ABCD 4.(2002年江西省南昌市中考题)选择题: 下图是南昌市某天的温度随时间变化的图像,通过观察可知: 下列说法错误的是() A.这天15点时温度最高 B.这天3点时温度最低 C.这天最高温度与最低温度的差是13℃ D.这天21点时温度是30℃ 5.(2001年安徽省中考题)近年来国内生产总值年增长率的变化情况如图所示,从图上看,下列结论中不正确的是() A.1995—1999年国内生产总值的年增长率逐年减小 B.2000年国内生产总值的年增长率开始回升 C.这7年中每年的国内生产总值不断增长 D.这7年中每年国内生产总值有增有减 二、填空题: 1.(上海市)函数 的定义域是_________. 2.(常州市)在函数 中,自变量x的取值范围是_________. 3.(陕西省课改实验区)双曲线 与直线 的交点坐标为_________. 4.(南通市)在函数 中,自变量x的取值范围是_________. 5.(河南省)函数 中,自变量x的取值范围是_________. 6.(黄冈市课改实验区)函数 中自变量x的取值范围是_________. 7.(芜湖市课改实验区)在函数 中,自变量x的取值范围是_________. 8.(成都市)函数 的自变量x的取值范围是_________. 9.设长方形的周长为30,宽为x,那么它的长y与宽x的函数关系的解析式为_________. 10.已知等腰三角形的周长为20cm,底边y(cm)与腰长x(cm)的函数关系是_________,自变量的取值范围是__________________. 三、一个水池有水60立方米,现要将水池的水排出,如果排水管每小时排出的水量为3立方米. (1)写出水池中余水量Q与排水时间t之间的函数关系式. (2)画出这个函数图像. 四、某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同,设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主的月费用是 元,应付给出租车公司的月费用是 元, 分别与x之间的函数关系图像(两条射线)如图所示,观察图像回答下列问题: (1)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同? (2)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营公司的车合算? (3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租哪家的车合算? 五、小明同学骑自行车去郊外春游,下图为表示他离家的距离y(千米)与所用的时间x(时)之间关系的函数图像. (1)根据图象回答: 小明到达离家最远的地方需几小时? 此时离家多远? (2)求小明出发2.5小时离家多远? (3)求小明出发多长时间距家10千米. 六、小明、小强两人进行百米赛跑,小明比小强跑得快,如果两人同时跑,小明肯定赢,现在小明让小强先跑若干米,图中的射线a、b分别表示两人跑的路程与小明追赶时间的关系,根据图象判断: 小明的速度比小强的速度每秒快多少米? 综合测试答案 一、选择题 1.A2.A3.D4.C 5.D提示: 由示意图可知,年增长率从1994年到1999年是逐年下降的,只有1999—2000年开始回升,但增长率为“正增长率”,所以这7年中国内生产总值还是逐年上升,这7年中只是前6年增长速度下降,因此,选项A、B、C都正确,而D不正确,故选D. 点评: 要仔细审题,提高对相近概念的分辨能力. 二、填空题: 1.x≠32.x≥1 3.(2,4),(-2,-4)4.x>5 5.x≠56.x≤2 7. 8.x≥0且x≠1 9. (0 (5 三、解: (1)由题意 ( ) (2)图象如图 (注意自变量的取值范围,图象为线段而不是直线) 四、分析: 在两个函数图像的交点处,它们的函数值相同,即当x=1500km时, ,在两个图像交点的左侧, 的图像在 图像的上面,说明 ;在交点的右侧, 的图像在 图像的下面,说明 . 解: (1)每月行驶1500km时,租两家车的费用相同 (2)每月行驶少于1500km时,租国营公司的车合算 (3)如果估计每月行驶2300km时,那么租个体车合算 五、解: (1)小明到达离家最远的地方需3小时,此时离家30千米; (2)小明出发2.5小时离家22.5千米; (3)小明在出发 小时和在出发 小时时距家10千米. 六、解: 根据图像,小明的速度 (米/秒) 小强的速度: (米/秒) (米/秒) 答: 小明的速度比小强的速度每秒快2.5米.
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