考研概率论与数理统计题库题目.docx
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考研概率论与数理统计题库题目
概率论与数理统计
第一章概率论的基本概念
1.写出下列随机试验的样本空间
(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)
(2)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。
(3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
2.设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。
(1)A发生,B与C不发生
(2)A,B都发生,而C不发生
(3)A,B,C中至少有一个发生
(4)A,B,C都发生
(5)A,B,C都不发生
(6)A,B,C中不多于一个发生
(7)A,B,C中不多于二个发生
(8)A,B,C中至少有二个发生。
3.设A,B是两事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问
(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?
(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?
4.设A,B,C是三事件,且
,
.求A,B,C至少有一个发生的概率。
5.在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。
(设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2……9)
6.在房间里有10人。
分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码。
(1)求最小的号码为5的概率。
(2)求最大的号码为5的概率。
7.某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。
在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?
8.在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。
(1)求恰有90个次品的概率。
(2)至少有2个次品的概率。
9.从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?
10.将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少?
11.已知
。
12.
。
13.设有甲、乙二袋,甲袋中装有n只白球m只红球,乙袋中装有N只白球M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少?
(2)第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球。
先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。
14.已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。
今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
15.一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为P,若第一次及格则第二次及格的概率也为P;若第一次不及格则第二次及格的概率为
(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率。
(2)若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率。
16.某人下午5:
00下班,他所积累的资料表明:
到家时间
5:
35~5:
39
5:
40~5:
44
5:
45~5:
49
5:
50~5:
54
迟于5:
54
乘地铁到
家的概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到
家的概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:
47到家的,试求他是乘地铁回家的概率。
17.有两箱同种类型的零件。
第一箱装5只,其中10只一等品;第二箱30只,其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样。
试求
(1)第一次取到的零件是一等品的概率。
(2)第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率。
18.设有4个独立工作的元件1,2,3,4。
它们的可靠性分别为P1,P2,P3,P4,将它们按图
(1)的方式联接,求系统的可靠性。
2
4
1
3
19.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7。
飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落。
求飞机被击落的概率。
20.设由以往记录的数据分析。
某船只运输某种物品损坏2%(这一事件记为A1),10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分别为P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05,现从中随机地独立地取三件,发现这三件都是好的(这一事件记为B),试分别求P(A1|B)P(A2|B),P(A3|B)(这里设物品件数很多,取出第一件以后不影响取第二件的概率,所以取第一、第二、第三件是互相独立地)
21.将A,B,C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为α,而输出为其它一字母的概率都是(1-α)/2。
今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1,p2,p3(p1+p2+p3=1),已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率是多少?
(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。
)
第二章随机变量及其分布
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只,以X表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律
2.进行重复独立实验,设每次成功的概率为p,失败的概率为q=1-p(0
(1)将实验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布律。
(此时称X服从以p为参数的几何分布。
)
(2)将实验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分布律。
(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布。
)
(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率。
3.一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1,问在同一时刻
(1)恰有2个设备被使用的概率是多少?
(2)至少有3个设备被使用的概率是多少?
(3)至多有3个设备被使用的概率是多少?
(4)至少有一个设备被使用的概率是多少?
4.一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去。
鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。
假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各扇窗子是随机的。
(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律。
(2)户主声称,他养的一只鸟,是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次。
以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求Y的分布律。
(3)求试飞次数X小于Y的概率;求试飞次数Y小于X的概率。
5.甲、乙二人投篮,投中的概率各为0.6,0.7,令各投三次。
求
(1)二人投中次数相等的概率。
(2)甲比乙投中次数多的概率。
6.有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。
如果从中挑4杯,能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次。
(1)某人随机地去猜,问他试验成功一次的概率是多少?
(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒。
他连续试验10次,成功3次。
试问他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。
)
7.有一大批产品,其验收方案如下,先做第一次检验:
从中任取10件,经验收无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,其做法是从中再任取5件,仅当5件中无次品时接受这批产品,若产品的次品率为10%,求
(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率
(2)需作第二次检验的概率
(3)这批产品按第2次检验的标准被接受的概率
(4)这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率
(5)这批产品被接受的概率
8.电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有8次呼唤的概率
(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率。
9.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计),X的分布函数是
求下述概率:
(1)P{至多3分钟};
(2)P{至少4分钟};(3)P{3分钟至4分钟之间};
(4)P{至多3分钟或至少4分钟};(5)P{恰好2.5分钟}
10.设随机变量X的分布函数为
,
求
(1)P(X<2),P{0 ); (2)求概率密度fX(x). 11.设随机变量 的概率密度 为 (1) (2) 求X的分布函数F(x),并作出 (2)中的f(x)与F(x)的图形。 12.某种型号的电子的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度: 现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立)。 任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少? 13.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为: 某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开。 他一个月要到银行5次。 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y的分布律。 并求P(Y≥1)。 14.设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程 有实根的概率 15.设X~N(3.22) (1)求P(2 (2)决定C使得P(X>C)=P(X≤C) 16.由某机器生产的螺栓长度(cm)服从参数为μ=10.05,σ=0.06的正态分布。 规定长度在范围10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格的概率是多少? 17.设随机变量X的分布律为: X: -2,-1,0,1,3 P: , , , , 求Y=X2的分布律 18.设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布 (1)求Y=eX的分布密度 (2)求Y=-2lnX的概率密度。 19.设X~N(0,1) (1)求Y=eX的概率密度 (2)求Y=2X2+1的概率密度。 (3)求Y=|X|的概率密度。 20. (1)设随机变量X的概率密度为f(x),求Y=X3的概率密度。 (2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,求Y=X2的概率密度。 第三章多维随机变量及其分布 1.在一箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只。 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样。 我们定义随机变量X,Y如下: 试分别就 (1) (2)两种情况,写出X和Y的联合分布律。 2.盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到白球的只数,求X,Y的联合分布律。 3.设随机变量(X,Y)概率密度为 (1)确定常数k。 (2)求P{X<1,Y<3} (3)求P(X<1.5}(4)求P(X+Y≤4} 分析: 利用P{(X,Y)∈G}= 再化为累次积分,其中 4.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (1)试确定常数c。 (2)求边缘概率密度。 6.设X,Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布。 Y的概率密度为 (1)求X和Y的联合密度。 (2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。 7.设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为 并设各周的需要量是相互独立的,试求 (1)两周 (2)三周的需要量的概率密度。 8.设随机变量(X,Y)的分布律为 X Y 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.03 0.04 0.05 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.06 0.05 0.06 0.09 0.08 0.06 0.05 (1)求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0} (2)求V=max(X,Y)的分布律 (3)求U=min(X,Y)的分布律 9.设随机变量(X,Y)的概率密度为 (1)试确定常数b; (2)求边缘概率密度fX(x),fY(y) (3)求函数U=max(X,Y)的分布函数。 第四章随机变量的数字特征 1.某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次。 每次随机地抽取10件产品进行检验,如果发现其中的次品数多于1,就去调整设备,以X表示一天中调整设备的次数,试求E(X)。 (设诸产品是否是次品是相互独立的。 ) 2.有3只球,4只盒子,盒子的编号为1,2,3,4,将球逐个独立地,随机地放入4只盒子中去。 设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码(例如X=3表示第1号,第2号盒子是空的,第3号盒子至少有一只球),求E(X)。 3.设在某一规定的时间间段里,其电气设备用于最大负荷的时间X(以分计)是一个连续型随机变量。 其概率密度为 求E(X) 4.设随机变量X的分布为 X-202 Pk0.40.30.3 求E(X),E(3X2+5) 5.设(X,Y)的分布律为 X Y 1 2 3 -1 0 1 0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0 0.3 0.1 (1)求E(X),E(Y)。 (2)设Z=Y/X,求E(Z)。 (3)设Z=(X-Y)2,求E(Z)。 6.设随机变量X1,X2的概率密度分别为 求 (1)E(X1+X2),E(2X1-3 ); (2)又设X1,X2相互独立,求E(X1X2) 7.将n只球(1~n号)随机地放进n只盒子(1~n号)中去,一只盒子装一只球。 将一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对,记X为配对的个数,求E(X) 8. (1)设随机变量X的数学期望为E(X),方差为D(X)>0,引入新的随机变量(X*称为标准化的随机变量): 验证E(X*)=0,D(X*)=1 (2)已知随机变量X的概率密度。 求X*的概率密度。 9.设X为随机变量,C是常数,证明D(X) ) 10.设随机变量X服从指数分布,其概率密度为 其中θ>0是常数,求E(X),D(X)。 11.设X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量且有 i=1,2,…,n.记 , . (1)验证 (2)验证 .(3)验证E(S2) 12.设X~N(μ,σ2),Y~N(μ,σ2),且X,Y相互独立。 试求Z1=αX+βY和Z2=αX-βY的相关系数(其中 是不为零的常数). 13.对于两个随机变量V,W若E(V2)E(W2)存在,证明[E(VW)]2≤E(V2)E(W2)这一不等式称为柯西施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式. 14. (1)设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4。 设Y=2X1-X2+3X3- X4,求E(Y),D(Y)。 (2)设随机变量X,Y相互独立,且X~N(720,302),Y~N(640,252),求Z1=2X+Y,Z2=X-Y的分布,并求P{X>Y},P{X+Y>1400} 第五章大数定理及中心极限定理 1.据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现在随机的抽取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。 2.计算机在进行加法时,对每个加数取整(取为最接近它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少? (2)几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 3.一复杂的系统,由100个互相独立起作用的部件所组成。 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。 为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。 求整个系统工作的概率。 (2)一个复杂的系统,由n个互相独立起作用的部件所组成,每个部件的可靠性(即部件工作的概率)为0.90。 且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作,问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。 4.随机地取两组学生,每组80人,分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值,各人测量的结果是随机变量,它们相互独立,且服从同一分布,其数学期望为5,方差为0.3,以 分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均: (1)求P{4.9< } (2) } 5.某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知),方差σ2=400为了估计μ,随机地取几只这种器件,在时刻t=0投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得其寿命X1,…,Xn,以 作为μ的估计,为使 问n至少为多少? 第六章样本及抽样分布 1.在总体N(52,6.32)中随机抽一容量为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8之间的概率。 2.在总体N(12,4)中随机抽一容量为5的样本X1,X2,X3,X4,X5. (1)求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。 (2)求概率P{max(X1,X2,X3,X4,X5)>15}. (3)求概率P{min(X1,X2,X3,X4,X5)>10}. 3.设X1,X2,…,Xn是来自泊松分布π(λ)的一个样本, ,S2分别为样本均值和样本方差,求E( ),D( ),E(S2). 4.设总体X~b(1,p),X1,X2,…,Xn是来自X的样本。 (1)求 的分布律; (2)求 的分布律; (3)求E( ),D( ),E(S2). 5.设总体X~N(μ,σ2),X1,…,X10是来自X的样本。 (1)写出X1,…,X10的联合概率密度 (2)写出 的概率密度。 第七章参数估计 1.随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm计) 74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S2。 2.设X1,X1,…,Xn为准总体的一个样本。 求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 (1) 其中c>0为已知,θ>1,θ为未知参数。 (2) 其中θ>0,θ为未知参数。 (5) 为未知参数。 3.求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 4.设X1,X1,…,Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 5.设总体X~N(μ,σ2),X1,X1,…,Xn是来自X的一个样本。 试确定常数c使 的无偏估计。 6.设X1,X2,X3,X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本,其中θ未知,设有估计量 (1)指出T1,T2,T3哪几个是θ的无偏估计量; (2)在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。 7.设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。 设干燥时间总体服从正态分布N~(μ,σ2),求μ的置信度为0.95的置信区间。 (1)若由以往经验知σ=0.6(小时) (2)若σ为未知。 8.随机地取某种炮弹9发做试验,得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。 设炮口速度服从正态分布。 求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。 9.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。 设两者都服从正态分布,并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为 设两样本独立,求两燃烧率总体均值差μ1-μ2的置信度为0.99的置信区间。 10.设两位化验员A,B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定,其测定值的样本方差依次为 分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的。 设两样本独立,求方差比 的置信度为0.95的置信区间。 第八章假设检验 1.某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定为(%)3.253.273.243.263.24。 设测定值总体服从正态分布,问在α=0.01下能否接受假设: 这批矿砂的含镍量的均值为3.25. 2.如果一个矩形的宽度ω与长度l的比 ,这样的矩形称为黄金矩形。 这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。 现代建筑构件(如窗架)、 工艺品(如图片镜框)、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。 设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布,其均值为μ,试检验假设(取α=0.05) H0: μ=0.618H1: μ≠0.618 0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.668 0.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933. 3.要求一种元件使用寿命不得低于1000小时,今从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命的平均值为950小时,已知这种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布。 试在显著水平α=0.05下确定这批元件是否合格? 设总体均值为μ。 即需检验假设H0: μ≥1000,H1: μ<1000。 4.某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。 今在生产的一批导线中取样品9根,测得s=0.007(欧姆),设总体为正态分布。 问在水平α=0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大? 5.检查了一本书的100页,记录各页中印刷错误的个数,其结果为 错误个数fi 0 1 2 3 4 5 6 ≥7 含fi个错误的页数 36 40 19 2 0 2 1 0 问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布(取α=0.05)。
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