数学建模线性规划模型.pptx
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数学建模数学建模规划模型规划模型11规划(最优化)模型规划(最优化)模型nn1.1.基本概念基本概念n2.2.线性规划线性规划n3.3.非线性规划非线性规划n4.4.组合优化组合优化2022/11/7u什么是最优化?
什么是最优化?
最优化模型最优化模型最优化模型最优化模型的分类的分类u如何得到最优解如何得到最优解?
常用求解方法(算法)常用求解方法(算法)常用求解软件常用求解软件基本概念基本概念2022/11/7引例:
有边长为3m的正方形铁板,在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?
这是一个优化问题,首先确定优化的目标是什么,寻求的决策是什么,决策受到哪些条件的限制(如果有的话),然后用数学工具(变量,函数,常数等)表示出来。
引例:
有边长为3m的正方形铁板,在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?
决策(如何剪法):
x表示剪去的正方形边长用数学工具描述:
目标(容积最大):
maxV=(3-2x)2x限制(边长3m):
0x1.5如何剪法边长为边长为3m容积最大决策变量决策变量目标函数目标函数约束条件约束条件maxV=(3-2x)2xs.t.0x=0,hj(X)=0为约束条件。
为约束条件。
其它情况其它情况:
求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式的情况,都可通过取其相反数化为上述一般形式82022/11/7线性规划:
目标函数和约束条件都是线性的则称为线性规划。
规划规划模型的分类模型的分类l根据是否存在约束条件:
根据是否存在约束条件:
有约束问题有约束问题和和无约束问题无约束问题。
l根据设计变量的性质:
根据设计变量的性质:
静态问题静态问题和和动态问题动态问题。
l根据目标函数和约束条件表达式的性质:
根据目标函数和约束条件表达式的性质:
线性规划线性规划,非非线性规划线性规划,二次规划二次规划,多目标规划多目标规划等。
等。
l根据设计变量的允许值:
根据设计变量的允许值:
整数规划整数规划,0-10-1整数规划整数规划。
l根据变量具有确定值还是随机值:
根据变量具有确定值还是随机值:
确定规划确定规划和和随机规划随机规划。
非线性规划:
目标函数和约束条件如果含有非线性的,则称为非线性规划。
建立规划模型建立规划模型的一般步骤的一般步骤10运用最优化方法解决最优化问题的一般方法步骤如下:
前期分析:
分析问题,找出要解决的目标,约束条件,并确立最优化的目标。
定义变量,建立最优化问题的数学模型,列出目标函数和约束条件。
针对建立的模型,选择合适的求解方法或数学软件。
编写程序,利用计算机求解。
对结果进行分析,讨论诸如:
结果的合理性、正确性,算法的收敛性,模型的适用性和通用性,算法效率与误差等。
规划模型规划模型的求解的求解11
(1)
(2)定义定义22:
X*D,且对任意的XD,都有f(X)f(X*),称X*为该最优化问题的最优解。
定义1:
记D=X|gi(X)0,hj(X)=0,即D为满足约束条件
(2)的变量组成的集合,称为最优化问题的可行域。
若XD,则称其为可行解。
lLindo/Lingo:
专业,强大lMatlab:
常用,有些功能使用不便(如整数规划)l1stopt:
易写程序lExcel:
直观,但有限制(如约束方式)二二.常用软件常用软件针对不同的模型有不同的算法,如求解线性规划的单纯形法;求解非线性规划的最速下降法,牛顿法,罚函数法等;求解整数线性规划的分支定界法和割平面法。
一一.优化方法优化方法规划(最优化)模型规划(最优化)模型n1.1.基本概念基本概念n2.2.线性规划问题线性规划问题n3.3.非线性规划问题非线性规划问题n4.4.组合优化问题组合优化问题2022/11/7线性规划问题的建模与求解线性规划问题的建模与求解n线性规划:
目标函数和约束条件都是线性的则称为线性规划。
n线性整数规划:
线性规划问题中有一部分或全部变量要求取整数的,称为线性整数规划。
2022/11/72022/11/7线性规划模型的软件求解线性规划模型的软件求解-LINGO-LINGOminz=cX1.模型模型:
命令:
命令:
x=linprog(c,A,b)2.模型模型:
minz=cX命令:
命令:
x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)注意:
若没有不等式:
注意:
若没有不等式:
存在存在,则令,则令A=,b=.线性规划模型的软件求解线性规划模型的软件求解-Matlab-Matlab3.模型模型:
minz=cXVLBXVUB命令命令:
x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)注意注意:
若没有等式约束若没有等式约束:
则令则令Aeq=,beq=.4.命令:
命令:
x,fval=linprog()返回最优解返回最优解及及处的目标函数值处的目标函数值fval.18线性规划模型的软件线性规划模型的软件求解求解1stopt1stopt2022/11/7线性规划模型的软件求解线性规划模型的软件求解-EXCEL-EXCEL目标函数决策变量约束条件生产生产中通过切割、剪裁、冲压等手中通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需段,将原材料加工成所需大小。
大小。
案例分析:
钢管下料问题案例分析:
钢管下料问题原料下料问题原料下料问题按照按照工艺要求,确定下料方案,使工艺要求,确定下料方案,使所用材料最省,或利润所用材料最省,或利润最大。
最大。
2022/11/7问题问题.如何下料最节省如何下料最节省?
例:
例:
钢管下钢管下料问题料问题原料钢管原料钢管:
每根每根19米米4米米50根根6米米20根根8米米15根根客户需求客户需求节省的标准是什么?
节省的标准是什么?
2022/11/7按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
切割模式切割模式余料余料11米米4米米1根根6米米1根根8米米1根根余料余料3米米4米米1根根6米米1根根6米米1根根合理切割模式合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸余料余料3米米8米米1根根8米米1根根钢管下料钢管下料2022/11/7为满足客户需要,按照哪些种合理模式,每种模式为满足客户需要,按照哪些种合理模式,每种模式切割多少根原料钢管,最为节省?
切割多少根原料钢管,最为节省?
合理切割模式合理切割模式2.所用原料钢管总根数最少所用原料钢管总根数最少模式模式4米钢管根数米钢管根数6米钢管根数米钢管根数8米钢管根数米钢管根数余料余料(米米)14003231013201341203511116030170023两种两种标准标准1.原料钢管剩余总余量最小原料钢管剩余总余量最小2022/11/7xi按第按第i种模式切割的原料钢管根数种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,7)约束约束满足需求满足需求决策决策变量变量目标目标1(总余量)(总余量)按模式按模式2切割切割12根根,按模式按模式5切割切割15根,余料根,余料27米米模模式式4米米根数根数6米米根数根数8米米根数根数余余料料14003231013201341203511116030170023需需求求502015最优解:
最优解:
x2=12,x5=15,其余为其余为0;最优值:
最优值:
27。
整数约束:
整数约束:
xi为整数为整数2022/11/7当余料没有用处时,当余料没有用处时,通常以总根数最少为通常以总根数最少为目标。
目标。
目标目标2(总根数)(总根数)约束条约束条件不变件不变最优解:
最优解:
x2=15,x5=5,x7=5,其余为其余为0;最优值:
最优值:
25。
xi为整数按模式按模式2切割切割15根,根,按模式按模式5切割切割5根,根,按模式按模式7切割切割5根,根,共共25根,余料根,余料35米米虽余料增加虽余料增加8米,但减少了米,但减少了2根根与与目标目标1的结果的结果“共切割共切割27根,余料根,余料27米米”相比相比2022/11/72022/11/7model:
min=3*x1+x2+3*x3+3*x4+x5+x6+3*x7;4*x1+3*x2+2*x3+x4+x5=50;x2+2*x4+x5+3*x6=20;x3+x5+2*x7=15;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);LINGOLINGO求解求解整数线性规划整数线性规划模型模型模型1:
LINGOLINGO求解求解整数线性规划整数线性规划模型模型模式模式2:
每根原料钢管切割成每根原料钢管切割成3根根4米和米和1根根6米钢管,共米钢管,共12根根;模式模式5:
每根原料钢管切割每根原料钢管切割成成1根根4米、米、1根根6米米和和1根根8米米钢管,钢管,共共15根根;余料余料27米;原料米;原料钢管总根数为钢管总根数为27根根。
2022/11/7模型12022/11/7model:
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;4*x1+3*x2+2*x3+x4+x5=50;x2+2*x4+x5+3*x6=20;x3+x5+2*x7=15;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);LINGOLINGO求解求解整数线性规划整数线性规划模型模型模型2:
LINGOLINGO求解求解整数线性规划整数线性规划模型模型模式模式1:
每根原料钢管切割成:
每根原料钢管切割成4根根4米,米,共共5根;根;模式模式2:
每根原料钢管切割成每根原料钢管切割成3根根4米米和和1根根6米钢管,米钢管,共共5根根;模式模式5:
每根原料钢管切割每根原料钢管切割成成1根根4米、米、1根根6米米和和1根根8米米钢管,共钢管,共15根根;原料原料钢管总根数为钢管总根数为25根根。
2022/11/7模型2板材板材规格规格2:
长方形,长方形,3228cm,2万张。
万张。
练习:
练习:
易拉罐易拉罐下料问题下料问题每周工作每周工作4040小时,每只易拉罐利润小时,每只易拉罐利润0.100.10元,原料余料损失元,原料余料损失0.0010.001元元/cm/cm22(不能装配的罐身、(不能装配的罐身、盖、盖、底也是余料)底也是余料)模式模式1:
1.5秒秒模式模式2:
2秒秒模式模式3:
1秒秒模式模式4:
3秒秒上盖上盖下底下底罐罐身身罐身高罐身高10cm,上,上盖盖、下底、下底直径均直径均5cm。
板材规格板材规格1:
正方形,边长正方形,边长24cm,5万张。
万张。
如何安排每周生产如何安排每周生产?
2022/11/7罐身个数罐身个数底、盖底、盖个数个数余料损失余料损失(cm2)冲压时间(秒)冲压时间(秒)模式模式1110222.61.5模式模式224183.32模式模式3016261.81模式模式445169.53模式模式1:
正方形正方形边长边长24cm问题分析问题分析计算各种模式下的余料损失计算各种模式下的余料损失上、下底直径上、下底直径d=5cm,罐身高,罐身高h=10cm。
模式模式1余料损失余料损失242-10d2/4-dh=222.6cm22022/11/72022/11/7请建立易拉罐下料问题的数学模型,并进行求解,给出最优下料方案。
罐身个数罐身个数底、盖底、盖个数个数余料损失余料损失(cm2)冲压时间(秒)冲压时间(秒)模式模式1110222.61.5模式模式224183.32模式模式3016261.81模式模式445169.53模式模式1:
正方形正方形边长边长24cm问题分析问题分析计算各种模式下的余料损失计算各种模式下的余料损失上、下底直径上、下底直径d=5cm,罐身高,罐身高h=10cm。
模式模式1余料损失余料损失242-10d2/4-dh=222.6cm22022/11/7问题分析分析目标目标:
易拉罐利润扣除原料余料损失后的净利润最大易拉罐利润扣除原料余料损失后的净利润最大约束:
约束:
每周工作时间不超过每周工作时间不超过40小时;小
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