微积分课后习题答案知识讲解.docx
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微积分课后习题答案知识讲解
习题1
—1解答
1.
设
f(x,y)
xy
x11x
,求f(x,y),f(,),f(xy,),-
1
f(x,y)
y
xyy
解
f(
x,y)
xy
-;f(-,-
yxy
)1
-;f(xy,-)x2
xy
2y;
1
y
丿
xy
f(x,y)
2
xyx
2.
设
f(x,y)
InxIny,证明:
f(xy,uv)f(x,u)f(x,v)
f(y,u)
f(y,v)
f(xy,uv)In(xy)In(uv)(InxIny)(1nuInv)InxInuInxInvInyInuInyInvf(x,u)f(x,v)f(y,u)f(y,v)
(1)
f(x,y)
1x2
y2
1;
(2)
f(x,y)
\i'4x
2
y.
In(1x2
2/y)
(3)
f(x,y)
1x2
a2
2yb2
2
z.
2;c
(4)
f(x,y,z)
、x
、y
-z
1x
22
y
2z
3.求下列函数的定义域,并画出定义域的图形:
解
(1)D
1,y1
{(x,y)x
(2)D
(x,y)0
y
x2
(3)D
2
x
(x,y)~r
a
(4)D
(x,y,z)x
0,y
2
y
2yb2
I1z
4.求下列各极限:
5.证明下列极限不存在:
xy
0xy
则Hm3lim^3;
x20x0xyx0x2x
如果动点P(x,y)沿x2y趋向(0,0),贝ylim
y0x2y
所以极限不存在。
(2)证明如果动点P(x,y)沿yx趋向
(0,0)
则lim
x0
yx0
22
xy
~2~22
xy(xy)
如果动点P(x,y)沿y2x趋向
(0,0),则
lim
x0y2x0
22
xy
~2~22
xy(xy)
"m0-^0
x04xx
所以极限不存在。
6•指出下列函数的间断点:
(1)
f(x,y)=;
y2x
(2)Z
lnxy。
(1)为使函数表达式有意义,
2
2x0,所以在y2x0处,函数间断。
习题
(2)为使函数表达式有意义,
1—2
y,所以在x
y处,函数间断。
1.
(1)Z
x
~~2.
y
Z
⑵—
x
ycos(xy)
2ycos(xy)sin(xy)
y[cos(xy)
sin(2xy)]
xcos(xy)
2xcos(xy)sin(xy)
x[cos(xy)
sin(2xy)]
y(1xy)y
12“
yy(1
y1
xy)
lnz=
yin(1+xy),
两边同时对
y求偏导得1二ln(1xy)
y
z[ln(1xy)弋]
(1xy)y[ln(1xy)弋];
z1马
⑷一J
xy
x7
X32y
x(x3y)
2x
u
1;.
u
xzlnx,-
y
z
z
y
1
xz
y
xzInxz
u
⑹一
x
z(xy)z1uz(xy)z1u
1(xy)2zy1(xy)
2.
(1)
Zx
y,Zyx,Zxx0,Zxy1,Zyy0;
5.
(1)
(xy)zln(xy)
1(x
\2z
y)
Zx
Zxx
asin2(axby),zybsin2(axby),
2
2acos2(ax
2xz,fy2xy
fxx(0,0,1)2,fxz(1,0,2)
Zx
2z
tt
Zx
by),zxy2abcos2(ax
22-
z,fz2yzx,f
xx
2,fyz(0,1,0)0.
sin2(x2),Zxtzxt2cos2(x》)2cos2(x£)
2sin2(x》,乙
y
£匚
2-
x
ln(x2
by),Zyy
2z,fxz
⑶Zx
_y_
2
x
y21C)
x
⑷ux
2
2bcos2(ax
2x,fyz2z,
cos2(x
0.
by).
i)
Zy-ex,dz
x
y
2exdx
x
隽dy;
x
),Zx
x
~~2
x
,zy
—,dzy
—dy;y
yz1
yzxy,Uy
du
6.设对角线为
当x6,y
Zy
dzx2
ydxxdy
zxyzlnx,uz
yxyzInx,
yzxyz1dxzxyzlnxdy
乙则z■■x2
8,x0.05,
7.设两腰分别为x、y斜边为
X
Zxx2y2,Zy
yxyzInxdz.
2
y,zx
,Zy
xdxydy
-x2y2
y0.1时,zdz
乙则z
x2
°.05_8_(_0.1)
,6282
=-0.05(m).
xdx
ydy
设x、y、z的绝对误差分别为
当x7,y24,
0.1,y
y0.1时,
z7224225
dz
70.1240.1=0.124,z的绝对误差
J72
242
z0.124
z的相对误差
0.124
8.设内半径为r,
r2h,Vr
25
0.496%.
内高为h.
容积为V,则
2rh,Vhr2,dV2
rhdr
4,h
20,r
0.1,h
dV
23.14
420
0.13.14
42
0.1
3
55.264(cm).
习题1—3
dufdx
1.-
dxxdx
fdy
ydx
£dzzdx
z
◎)2
z
ae
ax
1)](ax
1)eax(1
1理)2
z
xy
2
z
xy2
1()
z
2a(ax1)
f
222-zxy
f
x
x1
2
vi
4x3
r
arcsin'
1x2
y
2
4
4
x
y
z
f
f
y
y
y
4y3
arcsin,1x2
y
2
4
4
x
y
u
=2xf1
xyr
yef2,
u
x
y
u
1
u
x
=f1,
2
x
y
y
y
u
=f1yf
2yzf3
5
u
x
y
y[zaxz
2axy(ax
3.
(1)
⑵
⑶
z
2.—
x
(ax1)4
a
22ax
xe
arcsin
4x3
7
xln(x4
y4)
(1x2y2)(x2
y
121x2
yln(x4y4)
(1x
2yf1
=xf2
y2)
arcsin
4y3
44
xy
2222、
y)(xy)
xy
£
xef2.
2,
u
xzf3,—=xyf3.
z
2xf1
x
y
z
z
z
xf1
.
(1)
——yf1-—
f2,
x
y
2
2
z
2
2■
yfn,
z
f1y
(xfnf
12)
f1xyfnyf12
x
xy
2
z
2
x(xf11
J)
xf21
f22=x
f11
2xf12f22
y
z
(2)—
y2f1
z
2xyf2,_
2xyf1
2x
f2,
x
y
2
z
2
y2(y2
fn2xyfQ
2yf2
2xy(y2
f21
2xyf22)
x
2yf2
y4f
114xy
3f
T12
4x2y2
f22
2
z
2yf1
y2(2x
yfn
x2«)
2xf2
2
2xy(2xyf21xf22)
xy
2yf1
2xf2
2xy3
fn
2x3yf22
5x2y2
f12
2z
2
2xf1
2xy(2x【
yfn
x2J)
2
x(2xyf21
x2f22)
22
4
22
y
f3—=2yf|xf?
x4
4x2y2f114x3yf12
(4)—=2xf1yf2
35
uy
ys
(丄)2
s
1u
4U)
3
(二)
(丄)2
s
(x
u)2
(丄)2.
y
6
(1)
设F(x,y,z)
e(xyz),Fx1
(xyz)F
5Fy
(xy
1e
z)
Fz
e(x
z)
Fa
Fz
Fy
Fz
⑵设F(x,y,z)z.x2y2
tan22,xy
Fy
Fz
xz
tan——
222
xyx
——tan
22y.x
y
r~22
xy
y
x2
tan
z
x2
——tan
22yx
x2
Fx
Fz
Fy
2_
ysec
⑶设F(x,y,z)x
xz
~22
xy
x2
3
y2)^2xz
yz~2x
——cot
2
y
2y
yz.xyz
x
xFzxyz
xy
cot
x
(4)设F(x,y,z)-
In
Fz
7•设F(x,y,z)x
2y
Fy24cos(x
2y
5
Fz
2zsec
和'x2
2z
sec
}22
■.xy
2sec
z
x2
1)(x2
3
y2)2(2yz)
x2
tan
z
x2
2.xyz,Fx
Fl
Fz
InzIn
2
z
y(xz)
3z2sin(x
3z),Fz
Fy
Fz
xz
2
x
cot2
y2),
xz
yz
2d
y
1
Fy
2.xyz
..xyz
xy
cot2
y2).
2xz
Fx
xy
z
-,Fyz
丄Fz
y
2y3z),Fx
36cos(x2y
2cos(x
2y3z),
3z),
8•设F(x,y,z)
(exaz,cybz),F*
C1,FyC2,Fz
Fye2
Fzaib2
z£xeiz
xFzaib2'y
z.z
abe.
xy
9.
(1)方程两边同时对x求导得
dz2x2ydX,包x(6zJ
dxdx‘解之得dx2y(3z1)
2x4y史6zdz0,巴亠
dxdxdx3z1
(2)方程两边同时对z求导得
空巴10,
dzdz解之得
cdxcdycc2x2y2z0dzdz
(3)方程两边同时对x求偏导得
1
ue
u
u
sinv
ucosv
v
x
x
x
0
ue
u
u
cosv
usinv
v
x
x
x
同理方程两边同时对y求偏导得
dx
y
z
dz
x
J
y
dy
z
x
dz
x
y
u
sinv
解之得
x
eu(sinvcosv)1'
u
v
cosve
x
u[eu(sinvcosv)1]
uue——y
uue——y
u.
v
u
cosv
sinv
ucosv,
y
y解之得
x
e(sinvcosv)1
・u
u
v
v
sinve
cosv
usinv,
—
y
y
x
u[eu(sinvcosv)1]
习题14
1。
求下列函数的方向导数—
l
2y23z2,Po(1,1,o),l
(1)ux2
解:
u
x
u
l0
Po
Po
Po
2x
4y
6z
Po
Po
Po
Po
2,
4,
0,
:
2*;
4*(
1
•6)
(2)u(与,Po(1,1,1),l(2,1,
x
解:
u
x
l0
Po
Po
Po
po
1);
(1,1,2)
2
..6.
xx
z(^)z1(-)
xx
(-)zlnC)
xx
11
2
my
Po
2
⑶uIn(x
解:
u
x
Po
Po
2
(1)*6
Po
1,
Po
Po
Po
1,
o,
1
1*.6
1
J6.
y2),p0(1,1),l与ox轴夹角为一;
3
2x
22
xy
2y
22
xy
cos—
3
Po
Po
1,
1,
sin—
3
uuuir
⑷uxyz,Po(5,1,2),5(9,4,14),丨PoPi.
PoxzPo10,
(1)f(x,y)sin(x2y)cos(xy2);
解:
cos(x2y)*(2xy)sin(xy2)y2,
x
222
(cos(x2y)*(2xy)sin(xy2)y2,cos(x2y)*y2sin(xy2)*(2xy)).
cos(xy)*ysin(xy)*(2xy),y
(2)f(x,y)
x
yje.
x
x
x
x
解:
f(
爲)j工
e1
1e—e
(11
x
xx
y
x
x
xx
x
f
e
彳yj(e(
4)
et丄
-),
y
x
y
x
y
gradf
gradf
3•山坡的高度z由公式z=5-x2-2y2近似,其中x和y是水平直角坐标,他决定按最陡的道路上登,
问应当沿什么方向上登
4,
4y
按最陡的道路上登,应当沿(3,4)方向上登
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