提公因式法分解因式典型例题.docx
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提公因式法分解因式典型例题
因式分解
(1)
一知识点讲解
知识点一:
因式分解概念:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征:
因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系:
因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
(a
b)2
a2
2ab
b2
a2
2ab
b2
(a
b)2
整
因
式
(a
b)2
a2
2ab
b2
式
a
2
2ab
b2
(a
b)2
乘
分
法
解
(a
b)(a
b)
a2
b2
a2
b2
(a
b)(a
b)
(x3y)(x3y)x29y2x29y2(x3y)(x3y)
知识点二:
寻找公因式
1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因(约)数方法:
(短除法)
例如:
求20,36,80的最大公(约)数?
最大公倍数?
1
2、寻找公因式的方法:
3a2y
3ay
6y
,
4xy3
8
x3y2,
9
27
a(x
y)3
b(x
y)2
(xy)3,
-27a2b3
36a3b2
9a2b
1.
确定公因式的系数
当多项式中各项系数是整数时,公因式的系数是多项式中各项
系数的最大公因数;
当多项式中各项系数是分数时,则公因式的系数为分数,而且
分母取各项系数中分母的最小公倍数,分子取各项系数中分子的最
大公因数。
2.
确定相同字母
公因式的字母是各项都含有的字母
3.
看次数
相同字母的指数取最低次数
4.
看整体
如果多项式中含有相同的多项式,应将其看成整体不要拆开。
5.
看符号
若多项式的首项是“-”,则公因式的符号一般为负。
知识点三:
因式分解的方法(重点)
(一)因式分解的第一种方法(提公因式法)(重点):
1.提取公因式法:
如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到括号外面,把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形,这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言:
mambmcm(abc)
3.提公因式的步骤:
(1)确定公因式
(2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式)
原多项式
另一个因式
公因式
4.注意事项:
因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块1:
考察因式分解的概念
1.(2017春峄城区期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是()
A、x296x(x3)(x3)6xB、(x5)(x2)x23x10
C、x28x16(x4)2D、6ab2a3b
2
2.
(2017秋抚宁县期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是(
)
A、x2
2x
3
(x1)2
2
B
、(x
y)(x
y)
x2
y2
C、x2
xyy2
(xy)2
D
、2x2y2(xy)
3.
(2017秋姑苏区期末)下列从左到右的运算是因式分解的是(
)
A、2
a
2
2
a
12(
a
1)1
B
、(x
y)(x
y)
x
2
y
2
a
C、9x2
6x
1
(3x
1)2
D
、x2
y2
(x
y)2
2xy
4.
(2017秋华德县校级期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是(
)
A、3x
2y
1
5x1
B
、(3a
2b)(3a
2b)
9a2
4b2
C、x2
x
x2(1
1)
D
、2x2
8y2
2(x
2y)(x
2y)
x
5.
(2017春新城区校级期中)下列各式从左到右的变形是因式分解的是(
)
A、a(ab)
a2
ab
B
、a2
2a1a(a2)1
C、x2
xx(x1)
D
、xy2
x2yx(y2
xy)
6.
(2016秋濮阳期末)下列式子中,从左到右的变形是因式分解的是(
)
A、(x1)(x2)x23x2C、x24x4x(x4)4
B
、x2
3x2(x1)(x2)
D
、x2
y2
(xy)(xy)
模块2:
考察公因式
1.
(2017春抚宁县期末)多项式
15m3n2
5m2n20m2n3的公因式是(
)
A、5mn
B
、5m2n2
C
、5m2n
D
、5mn2
2.
(2017
春东平县期中)把多项式
8a2b3c16a2b2c2
24a3bc3分解因式,应提的公因
式是(
)
A、8a2bc
B
、2a2b2c3
C
、
4abc
D
、24a3b3c3
3.
(2017
秋凉州区末)多项式a2
9与a2
3a的公因式是(
)
A、a
3
C
、a3
B
、a1
D
、a1
4.
(2017
春邵阳县期中)多项式
8xmyn1
12x3myn的公因式是(
)
A、xmyn
B
、xmyn1
C
、4xmyn
D
、4xmyn1
5.
(2016
春深圳校级期中)多项式
5mx3
25mx210mx各项的公因式是(
)
3
A、5mx2
B
、
5mx3
C
、mx
D
、5mx
6.
下列各组代数式中没有公因式的是(
)
A、5m(a
b)与ba
B
、(ab)2
与
a
b
C、mx
y与xy
D
、a2
ab与a2bab2
7.
观察下列各组式子:
①
2ab和a
b;②5m(a
b)和
a
b;③3(a
b)和
ab;
④x2
y2和x2
y2。
其中有公因式的是(
)
A、①②
B
、②③
C
、③④
D
、①④
模块3:
利用提公因式法分解因式
①因式分解的第一种类型:
直接提取公因式
1、分解因式:
(1)x23x
(2)2x218x2y4xy2(3)6a(ab)4b(ab)
(4)
1abc
1ab2
a2bc
(5)
1
a2b
5
a
(6)xn
xn1
xn2
5
5
4
6
②因式分解的第二种类型:
变形后提取公因式
2.分解因式:
(1)3a(xy)6b(yx)
(2)a(xy)b(yx)c(xy)
③因式分解的第三种类型:
分组后提取公因式
3.分解因式:
(1)mxmynxny
(2)2a4b3ma6mb
4
模块4:
提公因式法的综合应用
类型1:
利用提公因式法进行简便计算
1.利用简便方法计算:
(1)3.2200.94.7200.9200.92.1
(2)36.813
13
20.2213
55
55
55
类型2:
利用提公因式法进行化简求值
2.先分解因式,在计算求值:
(2x1)2(3x2)(2x1)(3x2)2x(12x)(3x2)其中x=1.5
3.(2016秋唐河县期末)已知:
ab
2015,ab
2016,求a2b
ab2的值。
2015
4.已知ab4,ab2,求多项式4a2b4ab24a4b的值。
5.若ab210,用因式分解法求ab(a2b5ab3b)的值.
5
6.若a2a10,则a2016a2015a2014=。
2x
y
6
2
2(3y
x)3的值。
7.不解方程组
3y
求7y(x3y)
x
1
类型3:
拔高培优题型
8.(2015杭州模拟)已知(19x31)(13x17)(1713x)(11x23)可因式分解成
(axb)(30xc),其中a、b、c均为整数,求abc的值。
9.已知多项式x4
2012x2
2011x
2012有一个因式为x2
ax1,另一个因式为
x2
bx2012,求ab的值。
10.求证:
320164320151032014能被7整除。
6
11.已知a,b,c满足ababbcbccaca3,求(a1)(b1)(c1)的值。
(a,b,c都是正整数)
12.(学霸题中题★★★)若
x2
x
1是ax3
bx2
1的一个因式,则
b的值为(
)
A、2
B、1
C、0
D、2
13.(2017合肥月考★★★)要使多项式x22xn能分解为两个整系数一次多项式之积,
则不大于100的自然数n的个数为()
A、8B、9C、10D、11
14.(2016秋靖远县期末)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1x
x(x1)
x(x1)2
(1x)[1
xx(x1)]
(1
x)2(1x)(1x)3
(1)上述分解因式的方法是
,共应用了
次。
(2)若分解1
x
x(x
1)
x(x
1)2
...
x(x
1)2004
,则需应用上述方法
次,结果
是
。
(3)分解因式:
1
x
x(x
1)
x(x
1)2
...
x(x
1)n(n为正整数)。
一、选择题
1.(2017开县一模)当a,b互为相反数时,代数式
a2
ab
4的值为(
)
A、4
B
、0
C
、3
D
、
4
2.(2016秋乳山期末)边长为a,b的长方形周长为
12,面积为
10,则a2b
ab2的值为()
A、120
B
、60
C
、80
D
、
40
7
3.
(2017
春蚌埠期末★)计算:
(
2)2016
(
2)2017所得的结果是(
)
A、2
B、2
C
、
22016
D、22016
4.
(2017
春乐亭县期末)(
8)2014
(
8)2013能被下列数整除的是(
)
A、3
B、5
C
、7
D
、9
5.(2017春源城区校级月考)把多项式
p2(a
1)
p(1
a)分解因式的结果是(
)
A、(a1)(p2
p)
B、(a
1)(p2
p)
C、p(a
1)(p1)D、p(a1)(p1)
6.(2017春阳谷县期末)把
xn3
xn1分解因式得(
)
A、xn1(x21)
B、xn(x3
x)
C、x(xn2
xn)
D、xn1(x2
x)
7.(2017春北湖区校级期中)整式
a2(a2
1)
a2
1的值(
)
A、不是负数
B
、恒为正数
C
、恒为负数
D
、结果的符号不确定
8.(2016赵县模拟)若
ab
3,a
2b
5
,则a2b
2ab2的值是(
)
A、15
B
、15
C
、2
D
、8
9.(2016春高密市期末)将
3x(a
b)
9y(ba)因式分解,应提的公因式是(
)
A、3x9y
B、3x9y
C、ab
D
、3(ab)
10.(2016春临清市期末)计算(
3)m
2
(
3)m1,得(
)
A、3m1
B
、(3)m1
C
、
(3)m1
D、(3)m
11.(2016春深圳期末)若
ab
3
,ab
2
,则代数式a2b
ab2的值为(
)
A、1
B
、1
C
、
6
D
、6
12.(2016秋美兰区校级期中)若
a
b
5,c
2,则
ac
bc等于(
)
A、10
B
、10
C
、3
D
、3
13.(2016秋简阳市期中)如果多项式
mx
A可分解为m(x
y),则A为(
)
A
B
、
my
C
、
y
D
、
my
、m
14.(2016春深圳期中)若
ab
2,ab
3,则ab2
a2b的值为(
)
A、6
B
、5
C
、
6
D
、
5
15.(2016春港南区期中)设
P
a2(
a
b
c),Q
a(a2
abac),则P与Q的关
系是(
)
A、PQ
B
、P
Q
C
、P
Q
D
、互为相反数
8
16.
(2016
春锡山区校级月考)计算:
22014
(
2)2015的结果是(
)
A、
22015
B
、22014
C
、
22014
D
、3
22014
17.
(2016
春宿州校级月考)下列运算中,因式分解正确的是(
)
A、
m2
mn
m
m(m
n1)
B
、9abc
6a2b2
3bc(3
2ab)
C、3
2
x
6
bx
3
x
3(
a
2
2)
D
、
1
ab
2
1
2
b
1
b)
a
x
b
2
a
ab(a
2
2
18.
(2015
春杭州期末)多项式(x2)(2x
1)
(x
2)可以因式分解成
(x
m)(2x
n),
则m
n的值是(
)
A、2
B、2
C
、4
D
、
4
19.(2015春莲湖区校级月考)把多项式3m(x
y)
2(y
x)2
分解因式的结果是(
)
A、(x
y)(3m
2x
2y)
B
、(x
y)(3m
2x
2y)
C、(xy)(3m2x2y)
D
、(y
x)(3m
2x
2y)
二、填空题
1.
(2016潍坊模拟)分解因式:
a4b
6a3b
9a2b=
。
2.
(2017潍坊)因式分解:
x2
2x
(x
2)=
。
3.
(2017崇安区一模)分解因式
(x
y)2
3(x
y)的结果是
。
4.
(2016秋内江期末)因式分解:
(x
y)2
2y(x
y)=
。
5.
(2016滨海县二模)分解因式:
m(x
y)
n(y
x)=
。
6.
(2017春醴陵市期末)因式分解:
6(x
3)
x(3
x)=
。
7.
(2017春碑林区校级期中)分解因式
2
(
n
)2
8
m
2(
n
)
。
mm
m=
8.
(2016陕西校级三模)分解因式
:
(3a
b)(a
b)
ab
b2=
。
9.
(2017沂源县一模)因式分解
(a
b)(a
b
1)ab1的结果为
。
10.
(2016
春寿光市期末)计算:
5652
0.134652
0.13=
。
11.
(2015
秋孟津县期末)简便计算:
1210.1312.10.9
1.21
12=
。
12.
(2017
春宜兴市期中)把多项式
16x3
40x2y提出一个公因式
8x2后,另一个因式
是
。
13.
(2016
安徽模拟)已知长和宽分别为
a,b的长方形,其面积等于
15,周长等于
16,则
2a2b
2ab2
=
。
9
14.(2016北京)如图中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式。
16.(2015秋黄山期末)若a
2,a2bc
3,则2a2
4abc的值为
。
17.(2016秋望谟县期末)已知
x
y
10,xy
16,则x2yxy2的值为
。
18.(2017春临泽县校级期中)若m
n
3,mn
2,则4m2n
4mn21的值为
。
19.(2017秋越秀区期末)化简:
a
1
a(a
1)
a(a1)2
...
a(a1)99=
。
三、解答题。
1.(2015春乐平市期末)若a
b
3
,ab
1。
求1a3b
a2b2
1ab3的值。
2
2
2.用提公因式法将下列各式分解因式:
(1)(ab)(xy)(ba)(xy)
(2)x(ax)(ay)y(xa)(ya)
10
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