完整基本初等函数知识点及练习文档docx.docx

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【指数与指数函数】

一、指数

（一）整数指数幂

1．整数指数幂概念：

an（nN）；

144424443

个a

a

n

（a

0,n

N

）．

规定：

a0

（a

0）．

2．整数指数幂的运算性质：

（1）am

an

，

（2）am

an

（m,nZ）；

（3）am

n

（m,nZ）；

（4）ab

n

（n

Z）．

（二）根式

1．根式的概念（a的n次方根的概念）：

一般地，如果一个数的

n次方等于a

n

1,n

N

，那么这个数叫做

a的n次方根．

即：

若

，则x叫做a的n次方根．

n

1,n

N

例如：

27的3次方根

，

27

的3

次方根

，

32的5次方根

，

32的5次方根

．

说明：

（1）若n是奇数，则a的n次方根记作na；若a

0，则na

，若a

0，则n

a

；

（2）若n是偶数，且a

0，则a的正的n次方根记作na，a的负的

n次方根，记作：

na；

例如：

8的平方根

；16的4次方根

．

（3）若n是偶数，且a

0则na没意义，即负数没有偶次方根

；

（4）Q0n

0n1,nN

，

n00；

（5）式子na叫根式，n叫

，a叫

．

2．a的n次方根的性质

（1）一般地，若n是奇数，则n

an

；若n是偶数，则n

an

．

n

（注意a必须使n

（2）

na

a有意义）．

（二）分数指数幂

1．分数指数幂：

m

规定：

（1）正数的正分数指数幂的意义是

an

a

0,m、n

N,n

1

；

m

（2）正数的负分数指数幂的意义是

a

n

a0,m、n

N

n

1；

（3）0的正分数指数幂等于

，0

的负分数指数幂

．

2．分数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

1aras

a0,r,sQ；

1

2

ar

s

a

0,r,s

Q

；

3

ab

r

a

0,b

0,r

Q

．

说明：

当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；

例如：

5a10

a

0，

3

a12

a

0

【练习巩固】

（1）3

83

2

（3）43

4

2

1．求下列各式的值：

（2）

10

（4）

abab

2．已知ab0，n1,n

N，

化简：

n

n

n

n

ab

ab．

3．计算：

740740

5

9

5．

4．求值：

4

2

5．用分数指数幂的形式表示下列各式a0：

（1）a2a；

（2）a33a2；（3）aa．

2

1

1

1

1

5

1

3

8

6．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）2a3b2

6a2b3

3a6b6

；

（2）m4n

8；

7．计算下列各式：

（1）

35

125

45；

（2）

a2

a0．

a3

a2

2

二、指数函数

1

．指数函数定义：

一般地，函数

叫做指数函数，其中

是自变量，函数定义域是

．

2

．指数函数yax

在底数a

1及0a

1的图象特征及函数性质：

图象特征

函数性质

图象的伸展：

图象的对称性：

图象的位置：

图象过定点：

自左向右看，图象逐渐

自左向右看，图象逐渐

在第一象限内的图象纵坐标

在第一象限内的图象纵坐标

都

都

在第二象限内的图象纵坐标

在第二象限内的图象纵坐标

都

都

函数值开始增长

，到了

函数值开始减小

，到了

图象上升趋势是越来越

图象下降趋势是越来越

某一值后增长速度

某一值后减小速度

总结：

指数函数y

ax在底数a

1及0

a1这两种情况下的图象和性质：

a

1

0a

1

图

象

（1）定义域：

．

（2

）值

域：

．

性

质

（3

）过点

，即x

0时，y

．

（4

）在R上是

函数，

（4）在R上是

函数，

当x

0时，

；当x

0时，

．当x

0时，

；当x

0时，

．

掌握指数函数在底数不同时的图象变化规律．

当a1时，ayax的图象向上越接近y轴，向下越接近x轴．

当0a1时，ayax的图象向上越接近y轴，向下越接近x轴．

【练习巩固】

一、指数函数的定义问题

3

例：

若f（52x1）

x

2，则f（125）

______________．

练1

．已知指数函数图像经过点

P（

1,

3）

，则f（3）

______________

．

练2

．设函数f（x）

ax

（a

0且a

1），f

（2）

4，则（

）

A．f

（1）

f

（2）

B．f

（1）

f

（2）

C．f

（2）

f

（2）

D．f（3）f

（2）

练3

．已知f

（x）是指数函数，且

f（

3

）

5

2

，则f（3）

．

25

二、指数函数的图像问题

例1：

若函数y

ax

（b

1）（a

0,

a

1）的图像经过第一、三、四象限，则一定有（

）

A．a1且b0

B．0a

1且b

0C．0a1且b

0

D．a1且b1

例2：

画函数y

ax

（a

1）的图像．

练1．方程2xx2的实根的个数为_______．

练2．直线y3a与函数yax1（a0且a1）的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．

练3．若1x0，则下列不等式中成立的是（）

x

x

A.5x

5x

1

B.5x

1

5x

C.5x

5x

2

2

练4．函数y

ax3

3（a

0且a

1）的图象恒过定点____________．

练5．函数yax21（a0且a1）的图像必经过点____________．

x

x

1

D.

1

5x

5x

2

2

练6．设a,b,c,

d都是不等于1的正数，yax,ybx,y

cx,ydx

ybx

y

ycx

在同一坐标系中的图像如图所示，则

a,b,c,d的大小顺序是（

）

yax

ydx

A．abcd

B．abdc

C．badc

D．bacd

x

三、求解有关指数不等式、方程

o

例：

已知（a2

2a5）3x

（a2

2a5）1

x，则x的取值范围是___________．

22

练1．设0a1，解关于x的不等式a2x3x2a2x2x3．练2．解方程3x232x80．

练3．若方程

（1）x

（1）x

a0有正数解，则实数

a的取值范围是

．

4

2

4

练4．设0a

1，使不等式ax2

2x1

ax2

3x5成立的x的集合是

．

四、定义域与值域问题

例：

求下列函数的定义域、值域．

1

1

（1）x

x

a

x

1（a0,a1）．

（1）y

82x1；

（2）y

；

（3）y3

；

（4）y

2

ax

1

练1．当x1,1时，f（x）3x2的值域为________．

练2．已知函数yf（x）的定义域为1,2，则函数yf（2x）的定义域为________．

练3

．设集合S{y|y

3x,x

R},T

{y|yx2

1,x

R}，则SI

T是（

）

A、

B、T

C、S

D、有限集

1

4x

2x1

1

）2x22

练4

．求下列函数的定义域与值域（

1）y

2x3；

（2）

y

1；（3）y

（

．

3

练5．已知2x1

4

五、最值问题

x3

x

，求函数y

1

的值域．

2

例：

函数ya2x

2ax

1（a0且a

1）在区间

1，1

上有最大值14，则a的值是_______．

练1．已知x

3,2，求f（x）

1

1

1的最小值与最大值．

4x

2x

练2．已知1x2，求函数f（x）323x19x的最大值和最小值．

5

练3．设0x

x

1

32x

5的最大值和最小值．

2，求函数y4

2

六、比较大小问题

例：

设1

1

b

1

a

1，则（

）

3

3

3

A．aa

ab

ba

B．aa

ba

ab

C．ab

aa

ba

D．ab

ba

aa

2a

1

3

2a

练1．若

1

1

，则实数a的取值范围是（

）

2

2

A．1,

B．

1,

C．

1

D．

1

2

2

练2．下列三个实数的大小关系正确的是（

）

2

21

2

A．

1

1

B．

1

121

2011

2011

2011

2011

1

2

1

1

1

2

C．1

2

D．1

2

2011

2011

2011

2011

练3．比较下列各组数的大小：

（1）若abc1，比较1

a

b

与

1

a

c

；

（2）若ab0，c0，比较ac与bc；

（3）若ab0，c0，比较ac与bc；（4）若a,b1,，xy0，且axby，比较a与b；

（5）若a,b0,1，xy0，且axby，比较a与b．

七、单调性问题

x2

2x

1

例：

讨论函数

f（x）

的单调性．

3

x2

2x

练1

．函数y

1

的单调增区间为___________．练2．函数y2x2

x

的单调递增区间为

．

2

练3

．函数f（x）

2x2

2（a1）x1

在区间[5,

）上是增函数，则实数

a的取值范围是（

）

A．6,

B．6,

C．

6

D．

6

6

1

x

练4

．函数y

1

的单调增区间为（

）

2

A．

B．0,

C．1,

D．0,1

练5

．函数f（x）

1

在

上（

）

2x

1

A．单调递减无最小值

B．单调递减有最小值

C．单调递增无最大值

D．单调递增有最大值

x2

3x2

练6

．求函数y

2

x2

2x2的定义域，值域和单调区间．

练7．求函数y

1

的单调区间．

3

八、函数的奇偶性问题

例：

当a

1

ax

1

时，证明函数y

是奇函数．

ax

1

练1．如果函数f（x）在区间[2,4a2a]上是偶函数，则a_________．

练2．若函数f（x）a

1

是奇函数，则

a_________．

4x

1

2

练3．若函数f（x）e（xu）的最大值为m，且f（x）是偶函数，则mu________．

练4．设a是实数，f（x）a

2

a,f（x）在R为增函数；

（2）试确定a的值，

（xR），

（1）试证明：

对于任意

2x

1

使f（x）为奇函数及此时

f（x）的值域．

练5．已知f（x）（

x

1

1

1

）x．

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数

f（x）的奇偶性；（3）求证：

f（x）0．

2

2

7

【对数与对数函数】

一、对数

1

．对数的概念：

一般地，如果

a

x

N（a

0,a

1）

，那么数

x

．a

．．N

的对数，记作：

x

logaN

叫做以

为底

（其中：

a是

，N是

，logaN是

）

两个重要对数：

（1）常用对数：

以10

为底的对数lgN；常用对数：

lgN

log10N

（2）自然对数：

以无理数e2.71828L

为底的对数的对数

lnN．

自然对数：

lnN

logeN（其中e

2.71828L）；

对数式与指数式的互化：

ax

N

转化

logaN

x

2

．对数的性质：

（1）负数和零没有对数；

（2）1

的对数是零：

loga1

_______；

（3）底数的对数是

1：

logaa

_______；

（4）对数恒等式：

alogaN

_______；

（5）logaan

_______．

3

．对数的运算法则：

loga

MN

M，N

R

；

loga

M

M，N

R；

N

loga

Nn

N

R

；

loga

n

N

N

R

4

．对数换底公式：

logb

N______________

；

5

．由换底公式推出一些常用的结论：

（1）logab·logba

，logab

；

（2）log

a

nbm

；

（3）logan

bn

；

（4）loganam

．

二、对数函数

1

．对数函数的概念：

函数ylogax（a

0且a1）叫做对数函数其中

x是自变量，函数的定义域是

0,

2

．对数函数y

logax在底数a1及0

a

1的图象特征及函数性质：

图象特征

函数性质

a

1

0

a

1

a1

0

a1