函数积分学与空间图形的画法.docx
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函数积分学与空间图形的画法
项目二一元函数积分学与空间图形的画法
实验1一元函数积分(基础实验)
实验目的掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察,深入理解
定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用
定积分解决各种问题的能力.
基本命令
1.计算不定积分与定积分的命令Integrate:
求不定积分时,其基本格式为
Integrate[f[x],x]
如输入Integrate[x^2+a,x]
则输出
其中a是常数.注意积分常数C被省略.
求定积分时,其基本格式为
Integrate[f[x],{x,a,b}]
其中a是积分下限,b是积分上限.
如输入Integrate[Sin[x],{x,0,Pi/2}]
则输出1
注:
Mathematica有很多的命令可以用相应的运算符号来代替.例如,命令Integrate可用积分号
代替,命令Sum可以用连加号
代替,命令Product可用连乘号
代替.因此只要调出这些运
算符号,就可以代替通过键盘输入命令.调用这些命令,只要打开左上角的File菜单,点击Palettes
中的BasicCalculations,再点击Calculus就可以得到不定积分号、定积分号、求和号、求偏导数
号等等.为了行文方便,下面仍然使用键盘输入命令,但也可以试用这些数学符号直接计算.
2.数值积分命令NIntegrate
用于求定积分的近似值.其基本格式为
NIntegrate[f[x],{x,a,b}]
如输入NIntegrate[Sin[x^2],{x,0,1}]
则输出0.310268
3.循环语句For
循环语句的基本形式是
For[循环变量的起始值,测试条件,增量,运算对象]
运行此命令时,将多次对后面的对象进行运算,直到循环变量不满足测试条件时为止.这里必须
用三个逗号分开这四个部分.如果运算对象由多个命令组成,命令之间用分号隔开.
例如,输入
t=0;
For[j=1,j<=10,j++,t=t+j];
t
则循环变量j从取值1开始,到10结束.每次增加1.执行结果,输出变量t的最终值1+2+…
+10=55.
注:
For语句中的j++实际表示j=j+1
实验内容
用定义计算定积分
当
在
上连续时,
因此可将
与
作为
的近似值.为了下面计算的方便,在例1.1中定义这两个近似值为
和n的函
数.
例1.1计算
的近似值.
输入
s1[f_,{a_,b_},n_]:
=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]];
s2[f_,{a_,b_},n_]:
=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];
再输入
Clear[f];f[x_]=x^2;
js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}];
TableForm[js1,TableHeadings->{None,{"n","s1","s2"}}]
输出为
ns1s2
20.1250.625
40.218750.46875
80.2734380.398438
160.3027340.365234
320.3178710.349121
640.3255620.341187
1280.3294370.33725
2560.3313830.335289
5120.3323570.334311
10240.3328450.333822
这是
的一系列近似值.且有
不定积分计算
例1.2求
输入
Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x]
则输出
例1.3求
输入
Integrate[x^2*ArcTan[x],x]
则输出
定积分计算
例1.4求
输入
Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}]
则输出
4
例1.5求
输入
Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}]
则输出
例1.6求
输入
Integrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]
则输出
其中Erf是误差函数,它不是初等函数.改为求数值积分,输入
NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]
则有结果
0.746824.
变上限积分
例1.7求
输入
D[Integrate[w[x],{x,0,Cos[x]^2}],x]
则输出
-2Cos[x]Sin[x]w[Cos[x]2]
注意这里使用了复合函数求导公式.
例1.8画出变上限函数
及其导函数的图形.
输入命令
f1[x_]:
=Integrate[t*Sin[t^2],{t,0,x}];
f2[x_]:
=Evaluate[D[f1[x],x]];
g1=Plot[f1[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];
g2=Plot[f2[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]];
Show[g1,g2];
则输出所求图形.
定积分应用
例1.9设
和
计算区间
上两曲线所围成的平面的面
积.
输入命令
Clear[f,g];f[x_]=Exp[-(x-2)^2Cos[Pix]];g[x_]=4Cos[x-2];
Plot[{f[x],g[x]},{x,0,4},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],
RGBColor[0,0,1]}];
FindRoot[f[x]==g[x],{x,1.06}]
FindRoot[f[x]==g[x],{x,2.93}]
NIntegrate[g[x]-f[x],{x,1.06258,2.93742}]
则输出两函数的图形及所求面积
例1.10
计算
与
两点间曲线的弧长.
输入命令
Clear[f];f[x_]=Sin[x+x*Sin[x]];
Plot[f[x],{x,0,2Pi},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];
NIntegrate[Sqrt[1+f'[x]^2],{x,0,2Pi}]
则输出曲线的图形及所求曲线的弧长12.0564.
注:
曲线
在区间
上的弧长
.
例1.11求曲线
与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋
转体体积.
输入
Clear[g];
g[x_]=x*Sin[x]^2;
Plot[g[x],{x,0,Pi}]
则输出图1-1.
图1-1
观察
的图形.再输入
Integrate[Pi*g[x]^2,{x,0,Pi}]
得到输出
又输入Integrate[2Pi*x*g[x],{x,0,Pi}]
得到输出
若输入NIntegrate[2Pi*x*g[x],{x,0,Pi}]
则得到体积的近似值为
27.5349.
注:
图1-1绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积
此外,我们还可用ParametricPlot3D命令(详见本项目实验2的基本命令)作出这两个旋转体的
图形.
输入
Clear[x,y,z,r,t];
x[r_,t_]=r;
y[r_,t_]=g[r]*Cos[t];
z[r_,t_]=g[r]*Sin[t];
ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}]
则得到绕x轴旋转所得旋转体的图形.
又输入
Clear[x,y,z];
x[r_,t_]=r*Cos[t];
y[r_,t_]=r*Sin[t];
z[r_,t_]=g[r];
ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[r,t]},{r,0,Pi},{t,-Pi,Pi}]
则得到绕y轴旋转所得旋转体的图形.
实验习题
1.求下列不定积分:
(1)
;
(2)
;
(3)
;(4)
;
(5)
;(6)
.
2.求下列定积分:
(1)
;
(2)
;
(3)
(a>0);(4)
;
(5)
;(6)
.
3.求
的近似值.
4.设
作出
的图形,并求
5.画出变上限函数
及函数
的图形.
6.设
求
x轴,
所围曲边梯形绕x轴旋转
所成旋转体的体积V,并作出该旋转体的图形.
实验2空间图形的画法(基础实验)
实验目的掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法.熟悉常用空间曲线和空间曲面
的图形特征,通过作图和观察,提高空间想像能力.深入理解二次曲面方程及其图形.
基本命令
1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D:
命令Plot3D主要用于绘制二元函数
的图形.该命令的基本格式为
Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项]
其中f[x,y]是
的二元函数,x1,x2表示x的作图范围,y1,y2表示y的作图范围.
例如,输入
Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]
则输出函数
在区域
上的图形.
与Plot命令类似,Plot3D有许多选项.其中常用的有PlotPoints和ViewPoint.PlotPoints的用
法与以前相同.由于其默认值为PlotPoints->15,常常需要增加一些点以使曲面更加精致,可能要
用更多的时间才能完成作图.选项ViewPoint用于选择图形的视点(视角),其默认值为
ViewPoint->{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变观点.
2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D:
用于作曲面时,该命令的基本格式为
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项]
其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式.u1,u2是作图时参数u的范围,v1,v2是参数v的
范围.
例如前面的旋转抛物面,输入
ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2Pi}]
同样得到曲面
由于自变量的取值范围不同,图形也不同.不过,后者比较好的反映了旋转曲面的特点,因
而是常用的方法.
又如,以原点为中心,2为半径的球面.它是多值函数,不能用命令Plot3D作图.但是,它的
参数方程为
因此,只要输入
ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],2Sin[u]*Sin[v],2Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi}]
便作出了方程为
的球面.
用于作空间曲线时,ParametricPlot3D的基本格式为
ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,t1,t2},选项]
其中x[t],y[t],z[t]是曲线的参数方程的表示式.t1,t2是作图时参数t的范围.
例如,空间螺旋线的参数方程为
输入
ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10,RGBColor[1,0,0]},{t,0,8Pi}]
则输出了一条红色的螺旋线(注意选项RGBColor[1,0,0]的位置).
用于作空间曲线时,ParametricPlot3D的选项PlotPoints的默认值是30,选项ViewPoint的默
认值没有改变.
3.作三维动画的命令MoviPlot3D:
无论在平面和空间,先作出一系列的图形,再连续不断地放映,便得到动画.
例如,输入调用作图软件包命令
< 执行后再输入 MoviePlot3D[Cos[t*x]*Sin[t*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},{t,1,2},Frames->12] 则作出了12幅曲面,选中任一幅图形,双击它便可形成动画. 实验举例 一般二元函数作图 例2.1作出平面 的图形,其中 . 输入 Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2}] 则输出所作平面的图形. 如果只要位于第一封限的部分,则输入 Plot3D[6-2x-3y,{x,0,3},{y,0,2},PlotRange->{0,6}] 观察图形.其中作图范围选项为PlotRange->{0,6},而删除的部分显示为一块水平平面. 例2.2作出函数 的图形. 输入 k[x_,y_]: =4/(1+x^2+y^2) Plot3D[k[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotPoints->30, PlotRange->{0,4},BoxRatios->{1,1,1}] 则输出函数的图形2-1.观察图形,理解选项PlotRange->{0,4}和BoxRatios->{1,1,1}的含义.选项 BoxRatios的默认值是{1,1,0.4}. 图2-1 例2.3作出函数 的图形. 输入命令 Plot3D[-x*y*Exp[-x^2-y^2],{x,-3,3},{y,-3,3}, PlotPoints->30,AspectRatio->Automatic]; 则输出所求图形. 例2.4作出函数 的图形. 输入 Plot3D[Cos[4x^2+9y^2],{x,-1,1},{y,-1,1},Boxed->False, Axes->Automatic,PlotPoints->30,Shading->False] 则输出网格形式的曲面图2-2,这是选项Shading->False起的作用,同是注意选项Boxed->False 的作用. 图2-2 二次曲面 例2.5作出椭球面 的图形. 这是多值函数,用参数方程作图的命令ParametricPlot3D.该曲面的参数方程为 ( ). 输入 ParametricPlot3D[{2*Sin[u]*Cos[v],3*Sin[u]*Sin[v],Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints->30] 则输出椭球面的图形.其中选项PlotPoints->30是增加取点的数量,可使图形更加光滑. 例2.6作出单叶双曲面 的图形. 曲面的参数方程为 ( ) 输入 ParametricPlot3D[{Sec[u]*Sin[v],2*Sec[u]*Cos[v],3*Tan[u]}, {u,-Pi/4,Pi/4},{v,0,2Pi},PlotPoints->30] 则输出单叶双曲面的图形. 例2.7作出圆环 ( ) 的图形. 输入 ParametricPlot3D[{(8+3*Cos[v])*Cos[u],(8+3*Cos[v])*Sin[u], 7*Sin[v]},{u,0,3*Pi/2},{v,Pi/2,2*Pi}]; 则输出所求圆环的图形. 曲面相交 例2.8作出球面 和柱面 相交的图形. 输入 g1=ParametricPlot3D[{2Sin[u]*Cos[v],2Sin[u]*Sin[v],2Cos[u]}, {u,0,Pi},{v,0,2Pi},DisplayFunction->Identity]; g2=ParametricPlot3D[{2Cos[u]^2,Sin[2u],v}, {u,-Pi/2,Pi/2},{v,-3,3},DisplayFunction->Identity]; Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction] 则输出所求图形. 例2.9作出曲面 及 面所围成的立体图形. 输入 g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2},{t,0,2*Pi},{r,0,1},PlotPoints->30]; g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]*Sin[r],Sin[t]Sin[r],Cos[r]+1},{t,0,2*Pi}, {r,0,Pi/2},PlotPoints->30]; Show[g1,g2] 则输出所求图形. 例2.10作出螺旋线 ( )在 面上的正投影曲线的图形. 所给螺旋线在 面上的投影曲线的参数方程为 . 输入 ParametricPlot[{2t,10Cos[t]},{t,-2Pi,2Pi}]; 则输出所求图形. 注: 将表示曲线的方程组,消去其中一个变量,即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投 影曲线的方程,不考虑曲线所在平面,它就是投影柱面方程;对于参数方程,只要注意将方程中 并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可. 例2.11作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形. 输入 Clear[r,x,y,z]; r[t_,v_]: =2+0.5*v*Cos[t/2]; x[t_,v_]: =r[t,v]*Cos[t] y[t_,v_]: =r[t,v]*Sin[t] z[t_,v_]: =0.5*v*Sin[t/2]; ParametricPlot3D[{x[t,v],y[t,v],z[t,v]},{t,0,2Pi}, {v,-1,1},PlotPoints->{40,4},Ticks->False] 则输出所求图形.观察所见到的曲面,理解它是单侧曲面. 空间曲线 例2.12作出空间曲线 的图形. 输入 ParametricPlot3D[{t*Cos[t],t*Sin[t],2*t,RGBColor[1.0,0,0.5]},{t,0,6Pi}] 则输出所求图形. 动画 例2.13作模拟水波纹运动的动画. 输入调用软件包命令 < 执行后再输入 MoviePlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]+t*2*Pi],{x,-8Pi,8Pi},{y,-8Pi,8Pi}, {t,1,0},PlotPoints->50,AspectRatio->0.5, ViewPoint->{0.911,-1.682,2.791},Frames->12] 则输出12幅具有不同相位的水面图形,双击屏幕上任意一幅画,均可观察动画效果. 例2.14用动画演示由曲线 绕z轴旋转产生旋转曲面的过程. 该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为 其参数方程为 输入 For[i=1,i<=30,i++,ParametricPlot3D[{Sin[z]*Cos[u],Sin[z]*Sin[u],z}, {z,0,Pi},{u,0,2*Pi*i/30},AspectRatio->1,AxesLabel->{"X","Y","Z"}]]; 则输出连续变化的30幅图形.双击屏幕上任意一幅画,均可观察动画效果. 实验习题 1.用Plot3D命令作出函数 的图形,采用选项 PlotPoints->40. 2.作出函数 的图形. 3.用Plot3D命令作出函数 在 上的图形, 采用选项PlotPoints->60. 4.二元函数 在点(0,0)不连续,用Plot3D命令作出在区域 上 的图形(采用选项PlotPoints->40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况. 5.一个环面的参数方程为 试用ParametricPlot3D命令作出它的图形. 6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为 试用ParametricPlot3D命令作出它的图形. 7.用Plot3D命令作双曲抛物面 其中 (用选项 BoxRatios->{1,1,1},PlotPoints->30). 8.用ParametricPlot3D命令作出圆柱面 和圆柱面 相交的图形. 9.用ParametricPlot3D命令作出抛物柱面 和平面 相交的图形. 10.用ParametricPlot3D命令作出圆柱面 和圆柱面 相交所成的空间曲线 在第一封内的图形. 11.用ParametricPlot3D命令作出球面 和柱面 相交所成的空 间曲线的图形. (注: 本资料素材和资料部分来自网络,仅供参考。 请预览后才下载,期待您的好评与关注! )
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