高等代数北大版第6章习题参考答案.docx
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高等代数北大版第6章习题参考答案
第六章线性空间
1•设
M
N,证明:
M1
NM,MUN
N。
证
任取
M,由M
N,得N,
所以
MN,
即证MN1
M。
又因
M
N
M,故MlN
M。
再证第二式
'任取
M或
N,但M
N,因此无论
哪一种情形,都有
N,此即。
但N
M
N,所以MUNN。
2.证明M(NL)
(MN)(M
L)
,M(NL)(MN)(ML)。
证xM(N
L),则xM且x
N
L.在后一情形,于是xMN或xML.
所以x(MN)
(ML),由此得
M
(NL)(MN)(ML)。
反之,若
x(MN)(M
L),则xM
N或xML.在前一情形,xM,xN,因此
xNL.故得x
M(NL),在后一
•情形,因而xM,xL,xNUL,得
xM(NL),故(MN)(M
L)
M(NL),
于是M(NL)
(MN)(M
L)。
若xMU(NIL)
,则xM,x
NIL。
在前一情形XxM
UN,且XM
UL,
因而x(MUN)I(MUL)o
在后一情形,xN,xL,因而xMUN,且XMUL,即X(MUN)I(MUL)所以(MUN)I(MUL)MU(NUL)
故MU(NIL)=(MUN)I(MUL)
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1)次数等于n(n1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2)设A是一个nxn实数矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体,对于矩阵的加法和数量
乘法;
3)全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
(a’,»(ab(ca2,blb2ala2)
k。
(ai,b)=(ka’,kb’+k"k°a;
6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
koa0;
7)集合与加法同6),数量乘法定义为:
koaa;
8)全体正实数r,加法与数量乘法定义为:
abab,koaak;
解1)否。
因两个n次多项式相加不一定是n次多项式,例如
(xn5)(xn2)3。
2)令v={f(A)|f(x)为实数多项式,A是nxn实矩阵}因为
f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=d(x)
所以
f(A)+g(A)=h(A),kf(A)=d(A)
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条,故v构成线性空间。
3)矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质,只需证明对称矩阵(上三角矩阵,反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明:
当A,B为反对称矩阵,k为任意一实数时,有
(A+B=A+B=-A-B=-(A+B,A+B仍是反对称矩阵。
(KA)KAK(A)(KA),所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4)否。
例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5)不难验证,对于加法,交换律,结合律满足,(0,0)是零元,任意(a,b)的负元是
2
1。
(a,b)
(1a,。
b
k.(l.(a,b)
k.(la,lb
Ld
2
1(11)a2)(ab)
a)(a,b),
2
1)2l(l1)
a)(kla,k[lba2]
l(l1)
2
(kla,k^a2
2
(kla,k[lb
a2]
klb)
(kl).(a,b)[(k
k.(a,b)l.(a,b)
(ka,kb
2
k(k1)“、2、kl(kl1)2
(la))(kla,a
2
(kl).(a,b),
k(k1)2
(kala,kba
2
(k1)(kl1)
[(kl)a,
l)(kl1)2a
2
k(k1)a2)Ta)k(k1)2a
(kl)b].
(k
l)b]
(la,lb
kla2)
k(k1)2
(la))
2
k(k1)2
(la))
2
(-a,a-b)。
对于数乘:
k[(ai,d)(a2,b2)]k⑻a2,db?
aQ?
)
k(ai,bi)kOb)
7)否,因为(kl),kl
2,所以(kl)(k)(l),
6)否,因为i0
所给集合不满足线性空间的定义。
8)显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的,满足
i)abab
bab
a
;
ii)(ab)c
(ab)
c
abc
a
(bc)a(bc)
iii)i是零元:
ai
ai
a;
iv)a的负兀是
i
:
a
i
ia-
i,且
丄ai;
a
a
a
a
v)iaai
a;
vi)(ko(loa))
ko(a'
)
(a)
alk
akl(kl)oa;
vii)(kl)oa
kla
ka
lai
(ka)
(la);
kkk
viii)ko(ab)ko(ab)(ab)ab(koa)(kob).
所以,所给集合R构成线性空间。
4在线性空间中,证明:
i)k0
02)k(
)k
k。
证i)k0k((
))k
k()
kk(i)
(k(k))00。
2)因为k()k
k(
)k
所以k(
)kk。
5证明:
在实函数空间中,1,cos2t,cos2t式线性相关的。
证因为cos2t2cos2t1,所以1,cos21,cos2t式线性相关的。
6如果fi(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互素,那么他们线性无关。
证若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x)k2f2(x)k3f3(x)0,
不妨设k10,则h(x)邑f2(x)'f3(X),这说明f2(X),f3(X)的公因式也是f1(X)
k1k1
这与三者互素矛盾,所以
的因式,即f1(X),f2(X),f3(X)有非常数的公因式,
f1(x),f2(X),f3(X)线性无关。
a2bc0
可得
在基1,2,3,4下的坐标为a1,b0,c
1,d0。
8求下列线性空间的维数于一组基:
1)数域P上的空间Pnn;2)Pnn中全体对称(反对
1
n2。
实系数多项式组成的空间,其中A=0
解1)Pnn的基是Ej}(i,j1,2,...,n),且dim(Pnn)
iii)En,...,E1n,E22,■■■,E2n,■■■,Enn
是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是咛
维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取
2,且对于任一正实数a,可经2线性表
晋维的。
9在P4中,求由基1,,
2,3,4,到基
4的过渡矩阵,并求向量
在所指基下的坐
标。
设
1
1,0,0,0
12,1,1,1
2
0,1,0,0,
20,3,1,0,
12
3
0,0,1,0
35,3,2,1
4
0,0,0,1
46,6,1,3
x1,x2,x3,x4在1,
2,3,4下的坐标;
1
1,2,10
12,1,0,1
2
1,1,1,1,
20,1,2,2,
22
3
1,2,1,1
32,1,1,2
4
1,1,0,1
41,3,1,2
1,0,0,0
在1,2,3,
4,下的坐标;
1
1,1,1,1
11,1,0,1
2
1,1,1,1,
22,1,3,1
32
3
1,1,1,1
31,1,0,0
4
1,1,1,1
40,1,1,1
1,0,0,1在1,2,3,4下的坐标;
2
0
5
6
1
3
3
6
解1(1,2,3,4)=(1,2,3,4,)
=(1,2,3,4)A
123412341
1
2
11234
1
0
1
3
这里A即为所求由基1,2,3,4,到1,2,3,4的过渡矩阵,将上式两边右乘得
得(1,2,3,4)=(1,2,3,4)
于是
x1x1
(x2=(1x2,
(1,2,3,4)=(1,2,3,4),
x3x3
x4x4
所以在基下的坐标为
x1
1x2
x3
x4
4
1
1
11
9
3
1
9
1
4
1
23
这里
1=
27
9
3
27
1
2
0
0
3
3
7
1
1
26
27
9
3
27
2令ei(1,0,0,0),e(0,1,0,0)(3(001,0)(4(0Q0,1)则
1111
2
1
2
(1,2,3,4)=(e1,e2,e3,e4)‘
1
1
1
0
1
1
1
0=(e1,e2,e3,e4)A,
1
111
(1,2,3,4)=("2)021
1222
1
将(色(2,目(4)=(1,2,3,4)A代入上式,得
(1,2,3,4)=(1,2,3,4)AB,
这里
3365
13
5
13
13
13
4
1
0
0
1
1=13
2
13
13
4
13
1
11,AB=0
1
1
0
1
1
1
13
13
13
13
0
0
1
0
3_
2
7_
_8
13
13
13
13
且A1B即为所求由基
1,2,
3,4
至U基1,2,
3,
4
的过渡矩阵,进而有
1
1
0
2,3,4)
1,0,0,0=(e1,e2,e3,e4)0=(1,
1313
1313
35
所以在1,2,3,4下的坐标为,一
1313
3e,e2,e3,e4同2,同理可得
再令
a1+b2+c3+d4,即
1111
111111
=41111
1111
a,b,c,d
2,24,2
1
0
5
6
12
3
1
2
3
6
01且
11
1
1
1
1
1
10
1
1
0
1
2
AE
0,
标。
解设在两基下的坐标为x1,x2,x3,x4,则
又因为
所以
于是只要令X4C1就有
x-i2x23x36c
X1x2x3c,
x-ix32c
X11X21X3,X4
C1C1C1c(c为任意非零常数),
解此方程组得
取c为某个非零常数c0,则所求为
Co1C02C03C04。
11•证明:
实数域作为它自身的线性空间与第3题8)中的空间同构。
证因为它们都是实数域上的一维线性空间,故同构。
12设V11V2都是线性空间V的子空间,且ViV2,证明:
如果Vi的维数与V2的维数相
等,那么V1V2。
证设dim(Vi)=r,则由基的扩充定理,可找到V的一组基ai,a2,••…ar,,因V5,
且它们的唯数相等,故a1,a2,••…ar,,也是V2的一组基,所以V1=V2。
13.APnn。
1)证明:
全体与可交换的矩阵组成的一个子空间,记做C(A);
2)当A=E时,求C(A);
1
2
3)当A=时,求C(A)的维数和一组基。
n
证1)设与A可交换的矩阵的集合记为C(A)。
若B,D属于C(A),可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A,
故B+DC(A)。
若k是一数,BC(A),可得
A(kB)=k(AB)=k(BA)=(kB)A,
所以kBC(A)。
故C(A)构成Pnn子空间。
2)当A=E时,C(A)=Pnn。
3)设与A可交换的矩阵为B=(bj),则B只能是对角矩阵,故维数为n,En,E22,...Enn即为它的一组基。
14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。
解若记
1
0
0
0
0
0
A=
0
1
0
0
0
0
E
S,
0
0
1
3
1
1
a
b
c
并设
B=
a1
b1
c1
与A
可交换,即
A
B=BA
则
SB=BS。
且由
a2
b2
c2
0
0
0
a
b
c
0
0
0
SB=
0
0
0
a1
b1
c1
0
0
0
3
1
1
a2
b2
c2
3a
a1
a2
3b
b1b2
3c
c1c2
a
b
C
0
0
0
3c
C
C
BS=
a1
b1
C1
0
0
0=
3c1
C1
C1
a2
b2
C2
3
1
1
3c2
C2
C2
可是
C1
C
0,
又
3a
3b
a1
b1
a2
b2
3c2
C2
a〔a?
3c23a
c23bb1b2'
该方程组的系数矩阵的秩为2,所以解空间的维数为5。
取自由未知量a,C2,并
令b=1,其余为0,得c2=3,a=3;
1
令ai=1,其余为0,得C2=3,a=_;
3
令b1=1,其余为0,得C2=1,a=1;
1
令a2=1,其余为0,得C2=0,a=—;
3
令b?
=1,其余为0,得C2=1,a=1;
则与A可交换的矩阵为
ab0
B=a1b10,
a?
b?
C2
同理,
也可经
线性表出。
故La,
=L
其中,a,C2可经
16.在P4中,求由下面向量组生成的子空间的基与维数。
设
b,a1,a2,b1,b2表示,所求子空间的一组基为
解1)a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组a「a2,a4,因此a「a2,a4为
La1,a2,a3,a4的一组基,且的维数是3。
a1,a2,故a1,a2是La1,a2,a3,a4的
2)a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组为
3x1
2x25x3
4x4
0
3x
Ix23x3
3x4
0
3x-|
5x213x3
11x4
0
确定的解空间的基与维数。
解对系数矩阵作行初等变换,有
32
54
3
25
31
33
0
38
35
1311
0
38
所以解空间的维数是
2,它的一组基为
1
8,小
2
7「
a1
,1,0,a2
,0,1。
93
9
3
4
3
2
5
4
7
0
3
8
7
7
0
0
0
0
一组基,且维数为2。
17•在P4中,由齐次方程组
18•求由向量1,2生成的子空间与由向量1,2生成的子空间的交的基与维数,设
a1
1,2,1,0
12,1,0,1
1)
a2
1,1,1,1
21,1,3,7
a1
1,1,0,0
10,0,1,1
2)
a2
1,0,1,1
20,1,1,0
a1
1,2,1,2
12,5,6,5
3)
a2
(3,1,1,1)
。
21,2,7,3
解
a3
(1,0,1,1)
r-»t~t
1)设所求父向量
k11k22l11l22,
则有
k11k22I11l220,
k1
k22l1l2
0
即
2k1
k2
l1l2
0
k1
k2
312
0
k2
l1
7l2
0
1
1
2
1
112
可算得D
2
1
1
1
0,
且
211
0,
1
1
0
3
110
0
1
1
7
因此方程组的解空间维数为
1,故交的维数也为
1。
任取一非零解(匕飞2,丨1,12)=
所以它们的交L()是一维的,就是其一组基。
k1k20
k2l10
交的维数为0。
19.设V与V2分别是齐次方程组X1X2
Xn0,X1X2...Xn1X.的解空间,
得l20,因此交向量
l11l22
1就是一组基。
证明:
PnV1V2
由于x1x2...xn0的解空间是你n-1维的,其基为
xn1xn
Pn的一组
1(1,1,0,...,0),2(1,0,1,...,0),...,n1(1,0,0,...,1)而由x1x2...知其解空间是1维的,令xn1,则其基为(1,1,...,1).且1,2,...,n1,即为
基,从而PnViV2.又dim(pn)dim(Vi)dim(V2),故PnVV。
20.证明:
如果VV1V2,V1V11V12,那么VV11V12V2。
证由题设知VV11V12V2,因为VV1V2,所以
dim(V)dim(V1)dim(V2),又因为V1V11V12,所以
dim(V1)dim(V11)dim(V12),
则0
12
k1k,即12
证明:
每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。
k1k1
因此kVj,kVk,,这与VkVj{0}矛盾,充分性得证。
j1j1
23.再给定了空间直角坐标系的三维空间中,所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性空间R3。
1)问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间?
2)设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1,L2,L3,
问LiL2,LiL2L3能构成哪些类型的子空间,试全部列举出来;
3)就用该三维空间的例子来说明,若U,V,X,Y是子空间,满足U+V=X,XY,是否一定有YYIUYIV。
解1)终点所在的平面是过原点的平面,那么所有这些向量构成二维子空间;但终点在不过原点的平面上的向量不构成子空间,因为对加法不封闭。
2)L1L2;
(1)直线li与12重合时,是LiL2一维子空间;
(2)li与J不重合时,时LiL2二维子空间。
LiL2L3:
(1)li,l2,l3重合时,LiL2L3构成一维子空间;
(2)li,l2,l3在同一平面上时,LiL2L3构成二维子空间;
(3)li,l2,l3不在同一平面上时,LiL2L3构成三维子空间。
3)令过原点的两条不同直线li,I2分别构成一维子空间U和V,X=U+V是二维子
空间,在li,l2决定的平面上,过原点的另一条不与li,l2相同的直线l3构成一维
子空间Y,显然YX,YU{0},YV{0},因此(YU)(YV){0},
故Y(YU)(YV)并不成立。
二.补充题参考解答
i.i)证明:
在P[x]n中,多项式fi(Xi)…(Xii)(xii)...(xn)
(i=i,2,…,n)是一组基,其中i,2,…,n是互不相同的数;
ni
2)在i)中,取i,2,…,n是全体n次单位根,求由基i,x,...,x到基fi,f2,...,fn
的过渡矩阵。
证1)设k,k2f2...knfn0,将X!
代入上式,得
f2
(1)f3
(1)...fn
(1)0,fl
(1)0,
于是k1=0。
同理,将X2,...,Xn分别代入,可得
k2k3...kn0,
n维的,故f1,f2,...,fn是P[x]n的一组基。
所以f1,f2,...,fn线性无关。
而P[x]n是
fX
1n
X
1
2
X...
n1n2n1
XX
n1
1
n1
n2
1
n2
n4
2
故所求过渡矩阵为
1
...
n2
・....。
n1
1
1
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