北师大版八年级数学下册11等腰三角形同步练习.docx
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北师大版八年级数学下册11等腰三角形同步练习
北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形同步练习
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则其顶角为()
A.45°B.135°C.45°或67.5°D.45°或135°
2.等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长是()
A.17B.22C.17或22D.13
3.如图,已知在△ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE
4.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
5.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为( )
A.6B.8C.10D.12
6.如图,ΔABC是等腰三角形,AB=AC=3,BC=1.点D在AB边上,点E在CB的延长线上,已知AD=1,BE=1,连接ED并延长交AC于点F,则线段AF的长为()
A.
B.
C.
D.1
7.将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′,若AC=1,则图中阴影部分面积为( )
A.
B.3
C.
D.
8.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=10,BC=15,MN=3,则AC的长是( )
A.12B.14C.16D.18
二、填空题
9.等腰三角形的两边长分别是3和7,则其周长为 .
10.如图,△ABC中,点D在边BC上,若AB=AD=CD,∠BAD=100°,则∠C=___度.
11.已知等腰△ABC的两边长a、b满足(a-2)2+|b-4|=0,则等腰△ABC的周长为______.
12.如图,在△ABC中,∠ACB=3∠B,AB=10,AC=4,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE⊥AD于E,则CE=______.
13.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=∠B,AB=2
cm,点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动,当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时,则运动的时间为______.
三、解答题
14.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
15.已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在AC、BC上,且CD=BE
(1)求证:
△ABE≌△BCD;
(2)求出∠AFB的度数.
参考答案
1.D
【解析】
①如图,等腰三角形为锐角三角形,
∵BD⊥AC,∠ABD=45°,
∴∠A=45°,
即顶角的度数为45°.
②如图,等腰三角形为钝角三角形,
∵BD⊥AC,∠DBA=45°,
∴∠BAD=45°,
∴∠BAC=135°.
故选:
D.
2.B
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【详解】
解:
分两种情况:
当腰为4时,4+4<9,不能构成三角形;
当腰为9时,4+9>9,所以能构成三角形,周长是:
9+9+4=22.
故选B.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形,这点非常重要,也是解题的关键.
3.C
【解析】
解:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,∴BE=BC,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,∴∠BAC=∠EBC.故选C.
点睛:
本题考查了等腰三角形的性质,当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等,难度不大.
4.D
【解析】
试题分析:
在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,求得∠ABC=∠C=72°,且△ABC是等腰三角形;因为CD是△ABC的角平分线,所以∠ACD=∠DCB=36°,所以△ACD是等腰三角形;在△BDC中,由三角形的内角和求出∠BDC=72°,所以△BDC是等腰三角形;所以BD=BC=BE,所以△BDE是等腰三角形;所以∠BDE=72°,∠ADE=36°,所以△ADE是等腰三角形.共5个.
故选D
考点:
角平分线,三角形的内角和、外角和,平角
5.C
【分析】
连接AD,由于△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,故AD⊥BC,再根据三角形的面积公式求出AD的长,再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的最小值,由此即可得出结论.
【详解】
解:
连接AD,
∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,
∴AD⊥BC,
∴S△ABC=
BC•AD=
×4×AD=16,解得AD=8,
∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴点C关于直线EF的对称点为点A,
∴AD的长为CM+MD的最小值,
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+
BC=8+
×4=8+2=10.
故选:
C.
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
6.B
【解析】
过点B作BG∥AC,BH∥EF,
则四边形BHFG是平行四边形
∴BG=FH=
CF=
(3-AF)
∴△ADF∽△BDG,
∴
∴
解得
点睛:
本题考查平行线分线段成比例基本事实,以等腰三角形为载体,以平行四边形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成;解题的关键是作辅助线,灵活运用相似三角形的性质等几何知识点来分析、判断、解答.
7.D
【分析】
设B′C′与AB交点为D,根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=45°,再根据旋转的性质求出∠CAC′=15°,AC′=AC,然后求出∠C′AD=30°,再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得AD=2C′D,然后利用勾股定理列式求出C′D,再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解.
【详解】
如图,设B′C′与AB交点为D,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到,
∴∠CAC′=15°,AC′=AC=1,
∴∠C′AD=∠BAC−∠CAC′=45°−15°=30°,
∵AD=2C′D,
∴
=AC′2+C′D2,
即(2C′D)2=12+C′D2,
解得C′D=
故阴影部分的面积=
故选D.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键.
8.C
【解析】
延长线段BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC,∴∠BAN=∠EAN.
在△ABN与△AEN中,
∵∠BAN=∠EAN,AN=AN,∠ANB=∠ANE=90∘,
∴△ABN≌△AEN(ASA),∴AE=AB=10,BN=NE.
又∵M是△ABC的边BC的中点,∴CE=2MN=2×3=6,
∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.
9.17
【解析】
试题分析:
因为边为3和7,没明确是底边还是腰,所以有两种情况,需要分类讨论:
当3为底时,其它两边都为7,3、7、7可以构成三角形,周长为17;
当3为腰时,其它两边为3和7,3+3=6<7,所以不能构成三角形,故舍去.
∴等腰三角形的周长为17.
10.20
【解析】
∵若AB=AD=CD,∠BAD=100°,
∴∠B=∠ADC=12(180°−100°)=40∘,
又∵在等腰三角形ADC中,∠ADB是三角形ADC的外角,
∴∠BDA=∠DAC+∠C,
又∵∠C=∠DAC,
∴∠C=12×40°=20°,
故答案为:
20.
11.10
【分析】
根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值,再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解.
【详解】
解:
根据题意得:
,解得
,
(1)若2是腰长,则三角形的三边长为:
2,2,4,不能组成三角形;
(2)若2是底边长,则三角形的三边长为:
2,4,4,能组成三角形,
周长为2+4+4=10.
故答案为:
10.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系,解题主要利用了非负数的性质,分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断.
12.3
【解析】
【分析】
作辅助线来构造全等三角形,将已知边长AC和AB之间建立联系,求得AF、BF,再利用∠ACB和∠B之间的关系求出CF,从而得到CE的长.
【详解】
延长CE交AB于F,
∵CE⊥AD,
∴∠AEF=∠AEC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠FAE=∠CAE,
在△AEF与△ACE中,
∴△AEF≌△ACE,
∴AF=AC=4,∠AFE=∠ACE,EF=CE,
∴BF=10-4=6,
∵∠AFC=∠B+∠ECD,
∴∠ACF=∠B+∠ECD,
∴∠ACB=2∠ECD+∠B,
∵∠ACB=3∠B,
∴2∠ECD+∠B=3∠B,
∴∠B=∠ECD,
∴CF=BF=6,
∴CE=
CF=3.
故答案为:
3.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及其性质、全等三角形的判定方法和三角形外角的利用。
熟练运用以上内容并在解题是灵活运用,寻找相关角度和边长之间的特殊关系是解题的关键.
13.2
s或6s
【解析】
当AB=AP时,点P与点C重合,如图1所示,
过点A作AD⊥BC于点D,
∵∠B=30∘,AB=2
cm,
∴BD=AB⋅cos30°=2
×
=3cm,
∴BC=6cm,即运动的时间6s;
当AB=BP时,
∵AB=2
cm,
∴BP=2
cm,
∴运动的时间2
s.
故答案为:
2
s或6s.
14.
(1)见解析;
(2)△ACF是等腰三角形,见解析
【分析】
(1)欲求证AD⊥CF,先证明∠CAG+∠ACG=90°,需证明∠CAG=∠BCF,利用三角形全等,易证.
(2)要判断△ACF的形状,看其边有无关系.根据
(1)的推导,易证CF=AF,从而判断其形状.
【详解】
(1)证明:
在等腰直角三角形ABC中,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=∠CAB=45°.
又∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∴∠BDE=45°.
又∵BF∥AC,
∴∠CBF=90°.
∴∠BFD=45°=∠BDE.
∴BF=DB.
又∵D为BC的中点,
∴CD=DB.
即BF=CD.
在△CBF和△ACD中,
,
∴△CBF≌△ACD(SAS).
∴∠BCF=∠CAD.
又∵∠BCF+∠GCA=90°,
∴∠CAD+∠GCA=90°.
即AD⊥CF.
(2)△ACF是等腰三角形,理由为:
连接AF,如图所示,
由
(1)知:
△CBF≌△ACD,∴CF=AD,
∵△DBF是等腰直角三角形,且BE是∠DBF的平分线,
∴BE垂直平分DF,
∴AF=AD,
∵CF=AD,
∴CF=AF,
∴△ACF是等腰三角形.
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题,掌握全等三角形的性质以及判定定理、垂直的定义、等腰三角形的性质以及判定是解题的关键.
15.
(1)见解析;
(2)120°.
【解析】
试题分析:
(1)根据等边三角形的性质得出AB=BC,∠BAC=∠C=∠ABE=60°,根据SAS推出△ABE≌△BCD;
(2)根据△ABE≌△BCD,推出∠BAE=∠CBD,根据三角形的外角性质求出∠AFB即可.
解:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC(等边三角形三边都相等),
∠C=∠ABE=60°,(等边三角形每个内角是60°).
在△ABE和△BCD中,
,
∴△ABE≌△BCD(SAS).
(2)∵△ABE≌△BCD(已证),
∴∠BAE=∠CBD(全等三角形的对应角相等),
∵∠AFD=∠ABF+∠BAE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)
∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°,
∴∠AFB=180°﹣60°=120°.
考点:
全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
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- 北师大 八年 级数 下册 11 等腰三角形 同步 练习