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作业布置说明
对分层教学的一些实践和体会
内容提要:
根据学生的数学基础和思维能力,把学生分开层次进行教学,更能体现因材施教的教学原则,有利于对学生进行个性化教育,有利于培养学生的思维能力,因而能较好地提高数学教学效果。
关键词:
分层教学 教学策略 因材施教
目前素质教育正在全面推广,素质教育的主要目标是培养学生的创新意识和创新能力。
数学教学要体现素质教育的精神必须要以人为本,充分发展学生的潜能。
但初中学生尤其是初三学生的知识水平和思维能力都不尽相同,所以(根据我们多年的数学教学实践)初中数学教学尤其是初三数学教学,进行分层教学能更好地进行因材施教和发展学生的思维能力,进而较快地提高教学效果。
我个人在初中数学教学多年的实践中体会到,初中数学教学进行分层教学,教学效果比不分层的传统教学要好,初二和初三的学生的知识水平和思维能力差别会更大,进行分层教学效果会更加显著。
以下谈谈我在初中数学教学实践中进行分层教学的一些做法和教学效果:
一。
在充分了解学生的数学知识水平和数学思维能力的基础上。
根据学生的数学知识和思维能力水平对学生分开几个层次。
并根据不同层次的学生制订不同层次的教学目标和教学策略。
首先对自己所教的学生进行分层:
A层:
数学基础较好,思维能力也较好。
B层:
数学基础一般,思维能力一般或较好。
C层:
数学基础中下,思维能力一般,或思维能力较好但数学基础较差,学习品质不够好。
D层:
数学基础较差,思维能力一般或中下。
当然,这样将学生进行分层我是不告诉学生的,只要自己心中有数,教学有针对性就行了。
对学生分层后,针对不同层次的学生制订不同层次的教学目标和教学策略:
数学基础要更扎实,数学思维能力要更强,成为数学尖子。
有针对性地对他们提出较高要求和开小灶。
要求他们除完成课本习题外,尽量多看些有关解题和数学竞赛的数学课外书,鼓励他们提数学问题,多鼓励他们自学和进行一题多解。
B层
提高数学基础知识水平和数学基本运算技能,提高他们的思维能力,使他们一部分能向A层转化。
提高他们学习数学的兴趣,鼓励他们在课堂上多问,多提问题,多鼓励他们自学,多鼓励他们一题多解,要求他们在测验时争取优分并追上成绩最好的同学。
C层
提高他们学习数学的积极性,提高他们的数学基础和数学思维能力,使他们其中一部分向B层转化。
多鼓励多提问多辅导,提高他们学习数学的兴趣和解数学题的兴趣。
要求他们在测验中取得合格以上成绩。
D层
尽量提高他们的数学基础和数学思维能力,提高他们学习数学的积极性。
使部分向C层甚至B层转化。
多耐心辅导教育多鼓励,尽量多提问,提高他们听数学课的兴趣,要求他们完成作业和在测验中争取合格以上成绩。
二。
做好教材的分析研究和结合学生情况进行教材处理。
初中数学教材尽管较系统地叙述初中的数学知识,但其中包涵的数学思想和数学方法没有明显地叙述出来,探索推导的过程也不可能全部叙述出来,所以,我首先吃透教材,把握数学知识的系统,挖掘数学知识所包涵的数学思想和数学方法(数学思想和数学方法是数学的精髓)。
而我的学生(初中学生)的数学基础和思维能力以及学习数学的兴趣都有差异,所以我又必须对数学的教材进行恰当的处理。
为了学生更好地掌握数学知识和培养学生的数学思维能力,每节数学课都要进行精心的教学设计:
各层次的学生的教学目标和教学策略如何;为了实现教学目标,如何创设问题情景,如何设计层层深入的问题让学生去探索,讨论;如何把例题分解和组合;哪个地方该精讲,哪个地方该让学生去探求;如何设计各层次学生的作业。
等等。
三。
在课堂教学中进行分层教学的实践和教学效果。
2001学年,我担任初二两个数学基础一样的班的数学教学工作,在一班我用传统教学法,在二班我试用分层教学法,以便探究分层教学法和提高自己的教学水平。
以下我主要谈谈我在二班进行分层教学的一些做法:
(1)在课堂教学中我针对不同层次的学生采取不同的导学方法,使各层次的学生都能理解掌握数学知识和发展能力。
课堂上多让A和B层学生探求问题(例题,习题或老师和同学提出的数学问题),讨论问题,最后独立地或在老师的引导下找出答案,并多鼓励他们质疑已有答案(或解法,证法)和对数学题进行一题多解,以培养他们的创新意识和创造性思维能力。
而对C和D层次的学生则在讲解教学内容之后还加强个别辅导。
上课前的复习提问,课堂的练习,课外的作业都针对不同层次的学生分开层次,一般课堂练习和课外作业分基础题(必做)和提高题(选做),提高题鼓励A层次和B层次的学生做,C和D层次的学生可以不做,但仍鼓励他们尽量去做,能做几题就做几题。
如何将各章节的练习和作业分层次则视学生的整体基础情况而定。
如果学生对某节的基础知识掌握较好,则对该节的基础题和提高题的深度就适当增加一些。
(基础题一般是教材中练习,习题中较浅的题目和老师编的单或双知识点题。
而提高题则是练习和习题中较深的题目,开放性数学题和新型数学应用题)。
(2)采取多举学生感兴趣的实例或采用多媒体教学的方法,提高学生(尤其是C,D层次学生)对数学概念,定理,性质的感性认识,提高他们学习数学的兴趣。
二班C,D层次的学生基础较差,有一次,我发现他们老是把解方程当作式题计算来做,知道他们对解方程的同解原理不理解,我就这样引导他们认识解方程的同解原理:
我要知道你们这一列同学中最后一位同学有多少只手指,现在我要倒数第二位同学跟最后一位同学比较手指数,如果相同,则要倒数第三位同学跟倒数第二位同学比较手指数,如果相同,再进行下去,直到我面前这位同学。
因为你们这一列同学前后两个同学的手指数都相同,所以,我只要看我面前这位同学的手指数就可以知道最后那位同学的手指数。
然后,我类比此例讲解用同解原理解方程的原理(板书):
通过这样举例讲解,提高了学生学习的兴趣,使C,D层次的学生理解了用同解原理解方程的原理,以后他们都会用同解原理按解方程的步骤来解方程了。
(3)对学生的引导由少到多,使各层次的学生都能得到所需的启发
在初二几何中的梯形中位线定理的教学中,我采取了以下方法进行分层教学:
要求学生先回忆三角形中位线定理和梯形中位线的概念。
(鼓励C,D层次学生回答)
学生回答出来以后,我提出问题:
梯形中位线有没有三角形中位线定理类似的性质呢?
(要求学生画图探讨和讨论,然后讲出答案或猜想答案)
学生讲出答案(梯形的中位线平行于两底且等于梯形两底之和的一半)后,我把学生讲出的答案作为命题板书在黑板上,再要求学生就这命题画图写已知求证。
然后抽一个B层次的学生板书他自己所写的关于这命题的已知求证。
该学生板书后,通过让C,D层次学生提问,该学生作答,老师再引导的办法纠正学生所写的已知求证。
已知:
梯形ABCD的中位线为MN
求证:
MN∥BC,MN=1/2(AD+BC)
接着,我要求学生写证明过程或思考证明过程(要求:
A层次学生用两种以上方法来证,B层次学生写出一种证明方法的全过程,C,D层次的学生思考并尽量写出一种证法的部分或全部证明过程)
我作引导1:
能不能用三角形中位线定理来证明?
引导后检查A,B层次学生有多少能写出证明过程(发现还有很多学生没能写出证明过程)。
我再作引导2:
如何把你画的梯形转化成以梯形中位线作为它的中位线的三角形?
让学生讨论这问题后再去证明。
我再检查又有多少学生能写出证明过程。
(发现A层次的少数,B层次的多数,C,D层次全部还是不能写出证明过程)
我再作引导3:
如图 在梯形ABCD中,过D,M作射线交BC的反向延长线于点E得△DEC.引导后,我再检查又有多少学生能写出证明过程(发现B层次部分,C和D层次的多数学生还是没能写出证明过程).
我再作引导4:
如图(上图),能不能证明线段MN是△DEC的中位线?
点N已是DC边的中点,要证MN是△DEC的中位线先要证明什么?
提问B,C,D层次学生,学生答出:
要证明点M是DE边的中点即DM=EM.我再问:
要证明DM=EM先要证明什么?
(提问B,C,D层次学生)学生答:
要证明△ADM≌△BEM.够条件证明这两个三角形全等吗?
(提问C,D层次学生,直到他们答对为止)
然后,抽一位B层次的学生板书他对这命题的证明过程。
学生板书后,我请A,B层次的学生纠正。
要求C,D层次不能写出证明过程的学生认真看黑板上正确的证明过程,鼓励他们对不理解的地方提问。
并让A,B层次的学生回答。
最后,为了使C和D层次的学生更好地理解,我再讲解一次这命题的证明思路和证明过程。
接着,检查A,B层次学生对这个命题的另外的证明方法,抽其中部分学生讲解他们的证明思路。
我板书出学生所讲的证明思路,并作评价和纠正。
教学效果对比:
(1)就教学进度来说,进行分层教学的二班要比用传统教学法的一班快。
因为在一班有些数学课有较多学生掌握得不够好要经常补课和增加练习课,而在二班则较少需要这样做。
(2)两班年终考数学成绩对比:
显然,使用分层教学法比使用传统教学法教学效果要好。
差生减少了,而优生增多了。
其中原因是什么呢?
由我多年的教学经验和对分层教学的实践使我体会到其中的原因是:
在班级教学中,传统教学法主要照顾全面,往往没有强调个别,其实不能真正做到因材施教,而分层教学法虽然也是班级教学,但要求老师强调个别(至少是一个层面上的部分学生),也就是在某个层面上做到因材施教,体现出对学生进行个性化教育,因而能更好地提高学生的学习积极性和数学思维能力,进而提高了数学的教学效果。
分类思想在初中教学中的渗透
推行素质教育,培养面向新世纪的合格人才,使学生具有创新意识,在创造中学会学习,教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。
数学家乔治。
波利亚所说:
“完善的思想方法犹如北极星,许多人通过它而找到正确的道路”.随着课程改革的深入,"应试教育“向”素质教育“转变的过程中,对学生的考察,不仅考查基础知识,基本技能,更为重视考查能力的培养。
如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法;要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括;会阐述自己的思想和观点。
从而提高学生的数学素养,对学生进行思想观念层次上的数学教育。
数学学习离不开思维,数学探索需要通过思维来实现,在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法,培养思维能力,形成良好的数学思维习惯,既符合新的课程标准,也是进行数学素质教育的一个切入点。
数学分类思想,就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数学思想。
它既是一种重要的数学思想,又是一种重要的数学逻辑方法。
所谓数学分类讨论方法,就是将数学对象分成几类,分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想,贯穿于整个中学数学的全部内容中。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为:
①涉及的数学概念是分类定义的;②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能;④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论,往往能使复杂的问题简单化。
分类的过程,可培养学生思考的周密性,条理性,而分类讨论,又促进学生研究问题,探索规律的能力。
分类思想不象一般数学知识那样,通过几节课的教学就可掌握。
它根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵。
教学中可以从以下几个方面,让学生在数学学习过程中,通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括,形成对分类思想的主动应用。
一、 渗透分类思想,养成分类的意识
每个学生在日常中都具有一定的分类知识,如人群的分类、文具的分类等,我们利用学生的这一认识基础,把生活中的分类迁移到数学中来,在教学中进行数学分类思想的渗透,挖掘教材提供的机会,把握渗透的契机。
如数的分类,绝对值的意义,不等式的性质等,都是渗透分类思想的很好机会。
整数、
分数
正有理数
零
负有理数
教授完负数、有理数的概念后,及时引导学生对有理数进行分类,让学生了解到对不同的标准,有理数有不同的分类方法,如分为:
有理数 有理数
为下一步分类讨论奠定基础。
认识数a可表示任意数后,让学生对数a进行分类,得出正数、零、负数三类。
讲解绝对值的意义时,引导学生得到如下分类:
通过对正数、零、负数的绝对值的认识,了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。
又如,两个有理数的比较大小,可分为:
正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较,而负数和负数的大小比较是新的知识点,这就突出了学习的重点。
结合“有理数”这一章的教学,反复渗透,强化数学分类思想,使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。
并能在分类讨论的时候注意一些基本原则,如分类的对象是确定的,标准是统一的,如若不然,对象混杂,标准不一,就会出现遗漏、重复等错误。
如把有理数分为:
正数、负数、整数,就是犯分类标准不一的错误。
在确定对象和标准之后,还要注意分清层次,不越级讨论。
二、 学习分类方法,增强思维的缜密性
在教学中渗透分类思想时,应让学生了解,所谓分类就是选取适当的标准,根据对象的属性,不重复、不遗漏地划分为若干类,而后对每一子类的问题加以解答。
掌握合理的分类方法,就成为解决问题的关键所在。
分类的方法常有以下几种:
1、根据数学的概念进行分类
有些数学概念是分类给出的,解答此类题,一般按概念的分类形式进行分类。
例1,化简解:
这是按绝对值的意义进行分类。
例2、比较与易得的错误,导致错误在于没有注意到数可表示不同类的数。
而对数进行分类讨论,既可得到正确的解答:
〉0时,=0时,<0时,2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类
学习一元二次方程,根的判别式时,对于变形后的方程
用两边开平方求解,需要分类研究大于0,等于0,小于0这三种情况对应方程解的情况。
而此题 的符号决定能否开平方,是分类的依据。
从而得到一元二次方程的根的三种情况。
例3、解关于x的不等式:
ax+3>2x+a
分析通过移项不等式化为(a-2)x>a-3的形式,然后根据不等式的性质可分为a-2>0,a-2=0,和a-2<0三种情况分别解不等式。
当a-2>0,即a>2时,不等式的解是x>
当,a-2=0,即a=2时,不等式的左边=0,不等式的右边=-1
因为01-1,所以不等式的解是一切实数。
当a-2<0,即a<2时,不等式的解是x<
3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类
如三角形按角分类,有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为:
直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
例如等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,底边长为a,则其腰上的高是 .(2002年河南中考题)
分析:
本题根据图形的特征,把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD,如图,可得腰上的高是或从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类
在证明圆周角定理时。
由于圆心的位置有在角的边上、角的内部,角的外部三种不同的情况,因此分三种不同情况分别讨论证明。
先证明圆心在圆周角的一条边上,这种最容易解决的情况,然后通过作过圆周角顶点的直径,利用先证明(圆心在圆周角的一条边上)的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。
这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。
它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。
教材中在证明弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
也是如此分圆心在弦切角的一条边上,弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。
三、引导分类讨论,提高合理解题的能力
初中课本中有不少定理、法则、公式、习题,都需要分类讨论,在教授这些内容时,应不断强化学生分类讨论的意识,让学生认识到这些问题,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的、正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误。
在解题教学中,通过分类讨论还有利于帮助学生概括,总结出规律性的东西,从而加强学生思维的条理性,缜密性。
一般来讲,利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类:
;其一是涉及代数式或函数或方程中,根据字母不同的取值情况,分别在不同的取值范围内讨论解决问题。
其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况,逐一讨论解决问题
例4、已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1(m是实数)。
如果函数的图象和x轴只有一个交点,求m的值。
分析:
这里从函数分类的角度讨论,分m-1=0和m-110两种情况来研究解决问题。
解:
当m=l时函数就是一个一次函数y=-x-1,它与x轴只有一个交点(-1,0)。
当m11时,函数就是一个二次函数y=(m-1)x2+(m-2)x-1
当△=(m-2)2+4(m-1)=0,得m=0.
抛物线y=-x2-2x-1,的顶点(-1,0)在x轴上
例5、函数y=x6–x5+x4-x3+x2–x+1,求证:
y的值恒为正数。
分析:
将y的表达式分解因式,虽可证得结论但较难。
分析可发现,若将变量x在实数范围内适当分类,则问题容易解决。
证明:
⑴当x≤0时
∵x5-x3-x≥0,∴y≥1恒成立;
⑵当0 y=x6+(x4–x5)+(x2–x3)+(x–1) ∵x4>x5,x2>x3,1>x ∴y>0成立; ⑶当x=1时,y=1>0成立; ⑷当x>1时 y=(x6–x5)+(x4–x3)+(x2–x)+1 ∵x6>x5,x4>x3,x2>x ∴y>1成立 综上可知,y>0成立。 例6、已知△ABC是边长为2的等边三角形,△ACD是含30°角的直角三角形。 △ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD. (1)画出四边形ABCD; (2)求四边形ABCD的面积。 分析含30°角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。 如图1是以AC为斜边和等边三角形ABC拼成的四边形ABCD(DDAC=30°和DDAC=60°这两种图形算出的四边形ABCD面积相同的,故归纳为同一类)。 AC为直角边又可分为二种不同情况如图2和3.从图1,S四边形ABCD=;从图2,可算得S四边形ABCD=;可算得S四边形ABCD=3 由以上的几个例子,我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单,解题思路非常的清晰,步骤非常的明了。 另一方面在讨论当中,可以激发学生学习数学的兴趣。 利用现有教材,教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法,结合其它数学思想方法的学习,注意几种思想方法的综合使用,给学生提供足够的材料和时间,启发学生积极思维。 相信会使学生在认识层次上得到极大的提高,收到事半功倍的教学成效。
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