专题讲解对勾函数.docx
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专题讲解对勾函数
学大教育个性化教学学案
姓名
年级性别
课题
对勾函数
教学目的
了解对勾函数的概念、性质和图像
教学重难点
运用对勾函数的性质和图像解决实际问题。
教学过程(内容可附后)
对勾函数:
数学中一种常见而又特殊的函数。
如图
、对勾函数f(x)=ax+错误!
未找到引用源。
的图象与性质
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要注意它和了解它。
(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如f(x)=ax+错误!
未找到引用源。
(接下来写作f(x)=ax+b/x)。
当a≠0,b≠0时,f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x叠“加”而成的函数。
这个观点,对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。
当a,b同号时,f(x)=ax+b/x的图象是由直线y=ax与双曲线y=b/x构成,形状酷似双勾。
故称“对勾函数”,也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示:
a>0b>0
a<0b<0
对勾函数的图像(
ab同号)
当a,b异号时,f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
(请自己在图上完成:
他是如何叠加而成的。
)
对勾函数的图像(ab异号)
一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来,为了研究方便,我们规定a>0,b>0。
之后当a<0,b<0时,根据对称就很
容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到:
当x>0时,
错误!
未找到引用源。
。
当x<0时,错误!
未找到引用源。
。
即对勾函数的定点坐标:
(三)对勾函数的定义域、值域
由
(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性
(五)对勾函数的渐进线
由图像我们不难得到:
(六)对勾函数的奇偶性
:
对勾函数在定义域内是奇函数
二、类耐克函数性质探讨
函数yaxb,在a0或b0时为简单的单调函数,不予讨论。
x
在a
(3)a
0且b0时有如
0,b
(4)a
下几种情况:
(1)a0,b0
0,b0
(2)a0,b0
设y1
ax,
y2
b,则y
x
y1y2axb,其定义域为x|xR,且x
12x
(1)a
0,b
0时,
y1
ax,
y2bx在(
x
0),(0,)上分别单调递增。
yy1
y2
ax
b在(,0),(0,)为单调递增函数。
x
(2)a
0,b
0时,
y1
ax,
y2
b在(
x
0),(0,)上分别单调递减。
yy1
y2
ax
b在(,0),(0,)为单调递减函数
x
(3)a
0,b
0图像略
1当x0时,y1ax0,y2axb,即xb取等号。
xa
0yy1
y2
axb
2axbx
x
2ab。
当且仅当
2当x
0时
y1ax0,y2
b
x
且仅当
b
ax,
x
即x
ba
(因为
x
0b
yy1y2ax
x
0,故舍掉xb)a
4)a0,b0
(axb)2axb
xx
,当
2ab,当
等号。
1当x0时,y1ax0,y2b0yy1y2axbx12x当axb,即xb取等号。
xa
2当x0时
b
ax,即x
x
y1ax0,y2
0yy1y2axb
x
2axbx
x
2ab,
当且仅当
三、关于求函数y
x1x0最小值的十种解法x
1.均值不等式
1
x0,yx
x
的时候,ymin2
1
2,当且仅当x,即x1的时候不等式取到
x
2.法
12
yxxyx
x
10
若y的最小值存在,则
2
y240必需存在,即y2或y2(舍)
找到使y2时,存在相应的x即可。
通过观察当x1的时候,
ymin
3.单调性定义
设0x1x2
fx1
fx2
x1
x2
x1x21
x1
x2
x1x21
x1x2
x1x2
当对于任意的x1,x2,只有x1,x20,1时,fx1
fx20,此时fx单调递增;
当对于任意的x1,x2,只有x1,x21,时,fx1
fx20,此时fx单调递减。
当x1取到最小值,yminf12
4.复合函数的单调性
1
tx
1在0,
x
2
单调递增,yt22在
0单调递减;在0,
单调递增
又x
0,1t
0x1,t0,
原函数在0,1
上单调递减;
在1,
上单调递增
即当x
1取到最小值,
yminf12
y
x
x
2
5.求一阶导
1'1yxy12xxy'0,函数单调递增。
当x0,1时,y'0,函数单调递减;当x1,时,
当x1取到最小值,yminf12
6.三角代换
令x
tan,
0,2
,则1
,则cotx
1
2
yx
tan
cot
x
sin2
0,22
0,
,即2
4
时,sin2max1,ymin2,显然此时x12
7.向量
11
xx11ab,
xx
1
x,1,b1,1
ab
abcos
根据图象,a为起点在原点,终点在
x0图象上的一个向量,
acos
的几何意
义为a在b上的投影,
显然当ab时,
8.图象相减
acos取得最小值。
此时,
x1,ymin222
1
1,即y表示函数y
x
1
x和y两者之间的距离
x
求ymin,即为求两曲线竖直距离的最小值
平移直线yx,
1
显然当yx与y相切时,两曲线竖直距离最小。
x
y1关于直线
x
yx轴对称,若yx与y
1在x
x
1处有一交点,根据
对称性,在0x
1处也必有一个交点,即此时y
1
相交。
x
的情况。
所以,切点一定为
1,1点。
此时,x
1,ymin
9.平面几何
依据直角三角形射影定理,设AEx,EB
1,则ABAD
x
1
显然,x为菱形的一条边,只用当
x
AD
CD之间的距离时,
x1取得最小值。
x
1
此时,x1,即
1,ymin2
10.对应法则
显然不是距离最小
AB,即AD为直线AB和
即四边形ABCD为矩形。
设fx
min
x0,
x2
0,
,对应法则也相同
x2
min
左边的最小值右边的最小值
2
t2t2t1(舍)或t2
且ymin2
2
当xPx2,即x1时取到最小值,
练习:
1
的最小值x1
2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围
6.:
方程sin2x-asinx+4=0在[0,2]内有解,则a的取值范围是
大值为
8.函数y
23x
4的最大值为
x
9、若4
x22x2
则yx2x2x22的最值是
10.函数y
9
2
sinx
4sin2x的最小值是
11.若不等式
at22在t
t2
0,2上恒成立,则a的取值范围是
1的最值。
12.求函数fx
116x
x2x
xx21
13.当x(0,1)时,
求f(x)4x2
4
1的值域
2
14.求f(x)x2
1
x2的值域x2x3
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